2023-2024学年江苏省无锡市锡山区重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省无锡市锡山区重点中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知点是第二象限的点，则的终边位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.若，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为( )
A. B.
C. D.
5.已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
7.若关于的方程在内有两个不同的解，，的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若存在，，，满足，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若角与角不相等，则与的终边不可能重合
B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则扇形的面积为
C. 终边落在直线上的角的集合是
D. 函数的定义域为
10.设正实数，满足，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线，且经过点则下列说法正确的是( )
A. 函数是奇函数
B. 函数在区间上单调递减
C. ，使得
D. ，存在常数使得
12.若时，不等式恒成立，则实数可取下面哪些值( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，则的定义域为______．
14.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则 ______．
15.某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的，要使该物质上的细菌少于原来的，则至少要喷洒______次
16.已知函数，若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，，，其中．
若；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值；
已知，且，求的值．
19.本小题分
已知．
求函数在上的单调增区间；
将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式．
20.本小题分
已知函数．
当时，求该函数的值域；
若对于恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要，其中心距离地面，半径如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间单位：之后，请解答下列问题．
求出你与地面的距离单位：与时间之间的函数解析式；
当你登上摩天轮后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差单位：关于的函数解析式，并求高度差的最大值．
22.本小题分
设函数，．
当时，判断的奇偶性，并说明理由；
当时，若对任意的，均有成立，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
，则实数的取值范围是．
故选：．
根据集合是集合的子集，结合集合中元素的互异性求解．
本题考查集合间关系的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为点在第二象限，
所以，，所以为第二象限角．
故选：．
点在第二象限，根据坐标特征得，的符号，即可得所在象限．
本题考查三角函数符号，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据指数函数是上的增函数，
可知等价于，即，
因为“”是“”的充要条件，
所以“”是“”的充要条件．
故选：．
根据指数函数的性质化简“”，得到的结论与“”加以比较，即可得到本题的答案．
本题主要考查指数函数的性质、充要条件的判断及其应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为函数为上的奇函数，当时，，
当时，，
所以，
所以，
又，
则可转化或，
解得，或．
故选：．
先由奇偶性求解，再由指数函数单调性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了指数函数单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：点在幂函数的图象上，
，
，
，在上单调递减，
，，，
，
，即．
故选：．
把点代入幂函数的解析式求出的值，进而可得在上单调递减，再结合对数函数的性质可知，从而比较出，，的大小．
本题主要考查了幂函数的定义和性质，考查了对数函数的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由解得，所以的定义域为，
，
所以是奇函数，图象关于原点对称，由此排除选项．
，由此排除选项．
故选：．
根据函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确答案．
本题主要考查了函数的性质在函数图象判断中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：在内有两个不同的解，，
等价于在内有两个不同的解，，
，，
依题意，得，解得，
．
故选：．
原问题等价于在内有两个不同的解，，利用正弦函数的性质可求得，进而可得答案．
本题考查两角和与差的三角函数，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦函数的图象和性质，考查转化思想方法，属于难题．
由正弦函数的有界性可得，对任意，，都有，要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，然后作图可得满足条件的最小值．
【解答】
解：对任意，，
都有，
要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，
考虑，，
按下图取值即可满足条件，
的最小值为．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，由任意角的定义可知，若角与角不相等，则与的终边也可能重合，例如，，故A错误；
对于，由扇形的面积公式可得，扇形的面积为，故B正确；
对于，终边落在直线上的角的集合是，故C正确；
对于，由正切函数的定义域可得，，，
，即函数的定义域为，故D正确．
故选：．
由任意角的定义可判断，由扇形的面积公式可判断，由终边相同角的定义可判断，由正切函数的定义域可判断．
本题主要考查了任意角的定义，考查了扇形的面积公式，以及正切函数的定义域，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，，，
，
当且仅当，即时等号成立，故选项A正确；
，
，当且仅当时，等号成立，故选项B错误；
，
则，
，
，，当且仅当时等号成立，最大值为，故选项C错误；
，当且仅当时等号成立，故选项D正确．
故选：．
利用基本不等式得到选项AD正确；的最大值为，所以选项B错误；的最大值为，所以选项C错误．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为经过，
所以，即，，
解得，，
又，所以，则
对于，，故为奇函数，所以A正确；
对于，时，，结合正弦函数的性质可知时，单调递减，所以B正确；
对于，，所以恒为，所以D正确；
对于，当，时，，
当，时，，
当，时，，所以C错误．
故答案为：．
由经过可求出的解析式，利用正弦函数的对称性可判断的真假；利用正弦函数的单调性可判断的真假；求的值，可判断真假，利用，分，、，、，三种情况求的化简式可判断真假．
本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题也是易错题．
12.【答案】
【解析】解：当时，时，，不等式不恒成立，故A错误；
当时，不等式即为，当，，时，原不等式恒成立；时，原不等式恒成立，故B正确；
当时，不等式即为，当，，时，原不等式恒成立；时，原不等式恒成立，故C正确；
当时，不等式即为，当时，，，原不等式不恒成立，故D错误．
故选：．
由排除法和对数的运算性质，对各个选项一一判断可得正确结论．
本题考查不等式恒成立问题，以及对数的运算性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，，解得，
令，则，
故的定义域为
故答案为：
先求出函数的定义域，进而可求．
本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由角终边经过点，
故，
则．
故答案为：．
由正切函数的定义可得，借助正切函数的二倍角公式计算即可得．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设喷洒次，则：，
，
，且，
，
，即至少喷洒次．
故答案为：．
可设喷洒次，根据题意可得出，代入即可求出，从而得出答案．
本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为对任意的，，当时，恒成立
所以对任意的，，当时，恒成立，
．
不妨设，则问题转化成在单调递减，
所以其中，解得，
所以的取值范围为．
故答案为：．
将问题转化为对任意的，，当时，恒成立，不妨设，将问题转化为在单调递减，再结合利用正弦函数的性质求出的取值范围．
本题考查了利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属难题．
17.【答案】解：集合或，
，
，
；
，，其中．
，解得，
的取值范围是．
【解析】求出集合，，，利用交集定义能求出；
由，，得，由此能求出的取值范围．
本题考查补集、交集、并集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：解方程，得，，
是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，
，
．
，且，
，
，
，，
，
．
【解析】解方程，求出，利用同角三角函数关系式能求出结果．
由，且，得，从而，再由，能求出结果．
本题考查同角三角函数关系式、诱导公式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：由于，
令，，求得，，
可得函数的增区间为，．
将函数的图象向左平移个单位，可得的图象；
再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象．
若函数的图象关于直线对称，则，，即，．
令，求得取最小值为，此时，．
【解析】由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，得出结论．
由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的解析式．
本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
20.【答案】解：，
令，则函数化为，，
因此当时，取得最小值，
当时，，取得最大值，
即当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值，
可得函数的值域为；
，恒成立，
即，恒成立，
令，则，恒成立，
令，，
则，
解得，
所以实数的取值范围为．
【解析】由对数的运算性质和换元法，结合二次函数的最值求法，可得所求值域；
由题意可得，恒成立，运用换元法和参数分离，以及二次函数的图象和性质，解不等式可得所求范围．
本题考查函数的值域求法，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和换元法、运算能力和推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：由已知可设，，
由周期为分钟可知，当时，摩天轮第一次到达最高点，即函数第一次取得最大值，
所以，即，
所以，；
建立如图坐标系，设你到达点，你朋友到达点，
只有地面时，你和你的朋友与地面的距离之差最大，
如图容易知道朋友转了时符合要求，，即分钟，
最大距离为：米．
【解析】依据题意可知应建立余弦型函数模型解题，由摩天轮的转动周期为分钟，振幅为，可以求得函数解析式；
建立坐标系，设你到达点，你朋友到达点，只有地面时，你和你的朋友与地面的距离之差最大，容易求出分钟，最大距离为米．
本题考查了三角函数的图象和性质，涉及实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：由题意得当时，函数，且函数的定义域为，
，
，，
是非奇非偶函数；
因为当时，若对任意的，均有成立，
令，
当时，，对任意的恒成立，
即，解得，的最大值为；
当时，，，
对称轴为，
，则，不等号方向改变，即，
所以，则，的最大值为；
时，，即，所以，即，无解；
时，，所以，即，
即，所以无解；
当时，，，
对称轴为，
，则，即，无解；
时，，即，，，则，
则，
，的最大值为；
时，，，，
则且，
，则，的最大值为；
当时，，
，，，
即，则，
而，
，则，
令，，
则，即在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以的最大值为．
综上所述，对任意的，均有成立，
则的最大值为所有最大值中的最小值．
【解析】由题意得当时，函数，且函数的定义域为，利用函数奇偶性的定义进行判定，即可得出答案；
讨论去绝对值，然后讨论，以及对称轴与区间的位置关系，可求出与的关系式，然后分别求出的最大值，从而可求出所求．
本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想和转化的能力，属于难题．
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