2008年考前冲刺—数学（1）(湖北省宜昌市)

2008年考前冲刺—数学（1）
高考倒计时第23天 — 5月15日（星期四）
天津特级教师：王连笑　
上海特级教师：王海平
1. 对于集合当时，你是否注意到一个极端情况：或,求集合的子集时,是否忘记了?当研究的时候, 你是否考虑到的情形?当时, 你是否注意到的情形?
【例1】已知，，求的取值范围.
【分析】,容易理解为方程的两根为非正,而忽视了的可能,此题应分为,为单元素集合,含有两个非正元素三种情况讨论.(答案:.１
【例2】已知全集,
若，求实数的值.
【分析】满足,有三种可能,(1) ,(2)集合只有一个元素,即或,(3) .(答案:).
2. 对于含有个元素的有限集合,其子集, 真子集,非空子集, 非空真子集的个数依次为
【例】 (2006年,全国卷Ⅰ,理,12)
设集合。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有
(A) (B) (C) (D)
【分析及解】这是一个计数问题，.从条件(2)中的“B中最小的数”入手，显然有四种情形：
① B中最小的数为2.此时仅有1种选法,即的非空子集数,而可以有8种选法,即的所有子集数，有种选法.
② B中最小的数为3,此时有3种选法,即的非空子集数,而有4种选法,即的所有子集数，有种选法.
③ B中最小的数为4, 此时有7种选法,即的非空子集数,而有2种选法,即的所有子集数，有种选法
④ B中最小的数为5, 此时有15种选法,即的非空子集数,而仅有1种选法,即5在中. 有种选法
由以上, 不同的选择方法共有种.
3. 充要条件的概念要掌握好,特别是会用集合的子集的方法判断充要条件.
是的充分条件（或是的必要条件）即
4. 要区分逻辑联结词的不同用法,了解四种命题的相互关系,知道什么时候用反证法.
5. 映射的概念你理解吗?是否注意到了在中,中元素的任意性和中元素的唯一性?
6. 记住函数的几个重要性质：
（1）关于对称性.
函数图象的对称轴和对称中心举例
函 数 满 足 的 条 件
对称轴(中心)
满足的函数的图象
[或]

满足的函数的图象
[或]

满足的函数的图象

满足的函数的图象
满足的函数的图象(偶函数)
满足的函数的图象(奇函数)
满足与的两个函数的图象

满足与的两个函数的图象

满足与的两个函数的图象

(2) 关于奇偶性与单调性的关系.
① 如果奇函数在区间上是递增的,那么函数在区间上也是递增的;
② 如果偶函数在区间上是递增的,那么函数在区间上是递减的;
(3) 关于单调性.
①证明函数的单调性的方法为定义法和导数法.
②关于复合函数的单调性.
如果函数在区间上定义,
若为增函数, 为增函数,则为增函数;
若为增函数, 为减函数,则为减函数;
若为减函数, 为减函数,则为增函数;
若为减函数, 为增函数,则为减函数;
③关于分段函数的单调性.
若函数,在区间上是增函数, 在区间上是增函数,则在区间上不一定是增函数,若使得在区间上一定是增函数,需补充条件:.
【例】（2006年北京卷）已知是上的减函数，那么 a 的取值范围是 ( ).
（A） （B） （C） （D）
【分析及解】本题从表面上看并不困难,
若为减函数,则,
若为减函数,则,于是, a 的取值范围是.选B.
但是,这个结果是错误的,对(B)是误选.为什么呢？解题时，忽略了分段函数的问题.
因为是分段函数,又要求在上是减函数,就必须满足,即,于是,故选(C).
(4) 关于图象变换.
平移
变
换
向左移个单位
向右移个单位
向上移个单位
向下移个单位
按向量平移
的图象→的图象
的图象→的图象
的图象→的图象
的图象→的图象
的图象→的图象
伸
缩
变
换
每点纵标伸倍
每点横标伸倍
的图象→的图象
的图象→的图象
绝对
值
变换
关于轴对称
将轴下方图象翻上
的图象→的图象
的图象→的图象

(5) 关于周期性.
函数的对称性与周期性的关系
函数关系()
周期
























【例1】(2006年安徽卷,理)
函数对于任意实数满足条件，若则__________.
【分析及解】由得，所以，则.
【例2】 (1996年全国卷)
设是上的奇函数,,当时,,则等于( ).
（A） （B） （C） （D）
【分析及解】因为是上的奇函数,且,
则，
于是，关于原点成中心对称，关于成轴对称，因此，是以4为周期的周期函数.
由时,,及是以4为周期的周期函数,则

故选(B).
关于是以4为周期的周期函数.还可作如下证明:
.
(6) 关于奇偶性.
①判断函数的奇偶性,要注意定义域是否关于原点对称.
②若奇函数在处有定义,则;
③任何一个定义域关于原点对称的函数,总可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和,其中
.
(7) 关于反函数.
①你掌握求反函数的步骤了吗?(求的值域反求互换注明定义域)
②反函数存在的充分条件是:与一一对应或在区间上单调;
③若函数在区间上单调递增,则其反函数也在区间上单调递增
④关于反函数的一个结论:或者
⑤ 求一个函数的反函数时,要先求反函数,后求值.(例如求,顺序是先求,再代入得).