人教版小学数学六年级下册4.2 《正比例和反比例》讲义（无答案）
文档属性
| 名称 | 人教版小学数学六年级下册4.2 《正比例和反比例》讲义（无答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 319.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-17 09:28:32 | ||
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文档简介
第四单元 比例
第2课时 正比例和反比例
一、学习目标
1、通过具体问题认识成正比例的量，理解正比例的意义。（重点）
2、认识正比例关系的图像，会根据一个量在图像中找出或估计出另一个量的值，并能在方格纸上画图像。（难点）
3、理解反比例的意义，掌握成反比例的量的变化规律，能找出生活中成反比例的实例。（重难点）
4、培养观察、分析、比较、抽象、概括能力，以及学习方法的迁移能力，渗透函数思想。
二、知识点梳理
温故而知新
1、比例的意义：表示两个比相等的式子。
2、比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
知识点一 成正比例的量
问题
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 ……
总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 ……
观察上表，回答下面的问题。
（1）表中有哪两种量？
（2）总价是怎样随着数量的变化而变化的？
（3）相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？
讲解
（1）表中有数量与总价这两种相关联的量。
（2）总价随着数量的增加而增加，随着数量的减少而减少。
（3）相应的总价与数量的比分别是3.5:1，7:2，10.5:3，……比值都是3.5。
总结
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。
如果用字母和表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子（一定）来表示。
知识点二 正比例图像
问题
知识点一的表中的数据还可以用图像（如下图）表示：
根据图像回答下面的问题：
（1）从图中你发现了什么？
（2）把数对（10，35）和（12，42）所在的点描出来，并和上面的图像连起来并延长，你还能发现什么？
（3）不计算，根据图像判断，如果买9 m彩带，总价是多少？49元能买多少米彩带？
（4）小明买的彩带的米数是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍？
（5）你能举出生活中正比例关系的例子吗？
讲解
（1）发现：图象是一条过原点的直线，彩带米数增加，总价也相应增加。
（2）
发现：这两个数对表示的点在经过原点的这条直线上。
（3）根据图像判断，买9 m彩带的总价是31.5元；49元能买14 m彩带。
（4）他花的钱是小丽的2倍。
（5）①因为＝4（一定），所以正方形的周长与边长成正比例关系；
②如果汽车行驶的速度一定，即路程/时间＝速度（一定），路程与时间成正比例关系。
知识点三 成反比例的量
问题
杯子的底面积与水的高度的变化情况如下表。
杯子的底面积/cm2 10 15 20 30 60 ……
水的高度/cm 30 20 15 10 5 ……
观察上表，回答下面的问题。
（1）表中有哪两种量？
（2）水的高度是怎样随着杯子底面积的大小变化而变化的？
（3）相对应的杯子的底面积与水的高度的成绩分别是多少？
（4）你能举出生活中反比例关系的例子吗？
讲解
（1）表中有两种相关联的量：水的高度和杯子的底面积。
（2）水的高度随着杯子的底面积的增大而不断减小。
（3）相对应的杯子的底面积与水的高度的乘积都是300 cm2。
（4）总价一定，即单价×数量＝总价（一定），单价与数量成反比例关系；
如果长方形的面积一定，长与宽成反比例关系。
总结
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量种相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。
如果用字母和表示两种相关联的量，用表示它们的积（一定），则反比例关系可以用式子=（一定）来表示。
三、典型例题
例1 判断表中两种量成什么比例。
（1）文文看《三国演义》这本书，她看书的天数和页数如下表。
天数/天 1 2 3 4 5 6 ……
页数/页 25 50 75 100 125 150 ……
（2）小白兔贮藏了一些萝卜，每天吃的质量和吃的天数如下表。
每天吃的质量/克 1 2 3 4 5 6 ……
吃的天数/天 240 120 80 60 48 40 ……
解：（1）
因为页数/天数=每天看的页数（一定），所以她看书的天数和页数成正比例。
（2）1×240=2×120=3×80=……=240
因为每天吃的质量×吃的天数=萝卜的总质量（一定），所以每天吃的质量和吃的天数成反比例。
例2 下面的图像反映的是刘奇和李英的睡眠情况。
（1）刘奇的睡眠时间和天数是否成正比例？李英的呢？
（2）刘奇和李英7天分别能睡多少小时？
（3）谁每天的睡眠时间长些？长多少？
解：（1）刘奇：，比值一定。
李英：，比值一定。
所以，刘奇和李英的睡眠时间和天数都成正比例。
（2）由（1）得，刘奇每天睡10小时，李英每天睡10小时，李英每天睡8小时。
10×7=70（时） 8×7=56（时）
答：刘奇和李英7天分别能睡70小时、56小时。
（3）10－8=2（时）
答：刘奇每天的睡眠时间长些，每天长2小时。
例3 一个长方形的面积是36 cm2，用和表示它的长和宽。和成什么比例关系？如果把它们的关系用图像表示出来，图像是一条直线吗？
解：长方形的面积=长×宽=×=36
×=36（一定），所以与成反比例。
画出它们的关系图象如上图，所以它的图像是一条曲线，而不是一条直线。
例4 判断：圆的面积与半径成正比例。（ ）
解：×
因为圆的面积/半径2=π（一定），圆的面积与半径的比值不是一个定值，与半径的平方的比值是一个定值，所以圆的面积与半径的平方成正比例。
例5 把一根长铁管锯成6段需要10分钟，照这样计算，锯成18段需要多少分钟？
解：设锯成18段需要分钟。
答：锯成18段需要34分钟。
四、课堂练习
1、填空。
（1）因为（一定），所以（ ）和（ ）成正比例。
（2）因为除数×商＝（ ）（一定），所以（ ）和（ ）成反比例。
（3）如果，那么和成（ ）比例；如果，那么和成（ ）比例。
2、分别判断下面两种量成不成比例，成什么比例。
（1）小美从学校到家，走路的平均速度和所需的时间。（ ）
（2）圆锥的体积一定，底面积和高。（ ）
（3）修路的总长度一定，已修的长度和没修的长度。（ ）
（4）长方形的周长一定，长和宽。（ ）
（5）正方形的周长和边长。（ ）
（6）圆的周长和直径。（ ）
（7）一个人的体重和他的身高。（ ）
3、选择
（1）表示和成反比例的式子是（ ）。
A、 B、 C、
（2）甲数是乙数的，那么甲数与乙数（ ）。
A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例
（3）乐乐从1楼爬到3楼共用了3分钟，那么从1楼爬到5楼要用（ ）分钟。
A、8 B、6 C、4
（4）下面各项中，成反比例的是（ ）。
A、 B、 C、
（5），和（ ）。
A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例
4、填表。
（1）已知和成正比例。
1.5 3
1 4.5 0.15
（2）已知和成反比例。
0.2 10
0.25 9 3.2
5、磁悬浮列车行驶的路程与时间的关系如下表。
时间/分 1 2 3 4 5 6 …
路程/千米 7 14 21 28 35 42 …
（1）下图中点A表示时间为1分时磁悬浮列车行驶的路程为7千米，请你试着描出其他各点，并连接各点。
（2）列车运行2分半时，行驶的路程是多少千米？
6、自然数A，B满足，且，求的值。
第2课时 正比例和反比例
一、学习目标
1、通过具体问题认识成正比例的量，理解正比例的意义。（重点）
2、认识正比例关系的图像，会根据一个量在图像中找出或估计出另一个量的值，并能在方格纸上画图像。（难点）
3、理解反比例的意义，掌握成反比例的量的变化规律，能找出生活中成反比例的实例。（重难点）
4、培养观察、分析、比较、抽象、概括能力，以及学习方法的迁移能力，渗透函数思想。
二、知识点梳理
温故而知新
1、比例的意义：表示两个比相等的式子。
2、比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
知识点一 成正比例的量
问题
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 ……
总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 ……
观察上表，回答下面的问题。
（1）表中有哪两种量？
（2）总价是怎样随着数量的变化而变化的？
（3）相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？
讲解
（1）表中有数量与总价这两种相关联的量。
（2）总价随着数量的增加而增加，随着数量的减少而减少。
（3）相应的总价与数量的比分别是3.5:1，7:2，10.5:3，……比值都是3.5。
总结
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。
如果用字母和表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子（一定）来表示。
知识点二 正比例图像
问题
知识点一的表中的数据还可以用图像（如下图）表示：
根据图像回答下面的问题：
（1）从图中你发现了什么？
（2）把数对（10，35）和（12，42）所在的点描出来，并和上面的图像连起来并延长，你还能发现什么？
（3）不计算，根据图像判断，如果买9 m彩带，总价是多少？49元能买多少米彩带？
（4）小明买的彩带的米数是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍？
（5）你能举出生活中正比例关系的例子吗？
讲解
（1）发现：图象是一条过原点的直线，彩带米数增加，总价也相应增加。
（2）
发现：这两个数对表示的点在经过原点的这条直线上。
（3）根据图像判断，买9 m彩带的总价是31.5元；49元能买14 m彩带。
（4）他花的钱是小丽的2倍。
（5）①因为＝4（一定），所以正方形的周长与边长成正比例关系；
②如果汽车行驶的速度一定，即路程/时间＝速度（一定），路程与时间成正比例关系。
知识点三 成反比例的量
问题
杯子的底面积与水的高度的变化情况如下表。
杯子的底面积/cm2 10 15 20 30 60 ……
水的高度/cm 30 20 15 10 5 ……
观察上表，回答下面的问题。
（1）表中有哪两种量？
（2）水的高度是怎样随着杯子底面积的大小变化而变化的？
（3）相对应的杯子的底面积与水的高度的成绩分别是多少？
（4）你能举出生活中反比例关系的例子吗？
讲解
（1）表中有两种相关联的量：水的高度和杯子的底面积。
（2）水的高度随着杯子的底面积的增大而不断减小。
（3）相对应的杯子的底面积与水的高度的乘积都是300 cm2。
（4）总价一定，即单价×数量＝总价（一定），单价与数量成反比例关系；
如果长方形的面积一定，长与宽成反比例关系。
总结
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量种相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。
如果用字母和表示两种相关联的量，用表示它们的积（一定），则反比例关系可以用式子=（一定）来表示。
三、典型例题
例1 判断表中两种量成什么比例。
（1）文文看《三国演义》这本书，她看书的天数和页数如下表。
天数/天 1 2 3 4 5 6 ……
页数/页 25 50 75 100 125 150 ……
（2）小白兔贮藏了一些萝卜，每天吃的质量和吃的天数如下表。
每天吃的质量/克 1 2 3 4 5 6 ……
吃的天数/天 240 120 80 60 48 40 ……
解：（1）
因为页数/天数=每天看的页数（一定），所以她看书的天数和页数成正比例。
（2）1×240=2×120=3×80=……=240
因为每天吃的质量×吃的天数=萝卜的总质量（一定），所以每天吃的质量和吃的天数成反比例。
例2 下面的图像反映的是刘奇和李英的睡眠情况。
（1）刘奇的睡眠时间和天数是否成正比例？李英的呢？
（2）刘奇和李英7天分别能睡多少小时？
（3）谁每天的睡眠时间长些？长多少？
解：（1）刘奇：，比值一定。
李英：，比值一定。
所以，刘奇和李英的睡眠时间和天数都成正比例。
（2）由（1）得，刘奇每天睡10小时，李英每天睡10小时，李英每天睡8小时。
10×7=70（时） 8×7=56（时）
答：刘奇和李英7天分别能睡70小时、56小时。
（3）10－8=2（时）
答：刘奇每天的睡眠时间长些，每天长2小时。
例3 一个长方形的面积是36 cm2，用和表示它的长和宽。和成什么比例关系？如果把它们的关系用图像表示出来，图像是一条直线吗？
解：长方形的面积=长×宽=×=36
×=36（一定），所以与成反比例。
画出它们的关系图象如上图，所以它的图像是一条曲线，而不是一条直线。
例4 判断：圆的面积与半径成正比例。（ ）
解：×
因为圆的面积/半径2=π（一定），圆的面积与半径的比值不是一个定值，与半径的平方的比值是一个定值，所以圆的面积与半径的平方成正比例。
例5 把一根长铁管锯成6段需要10分钟，照这样计算，锯成18段需要多少分钟？
解：设锯成18段需要分钟。
答：锯成18段需要34分钟。
四、课堂练习
1、填空。
（1）因为（一定），所以（ ）和（ ）成正比例。
（2）因为除数×商＝（ ）（一定），所以（ ）和（ ）成反比例。
（3）如果，那么和成（ ）比例；如果，那么和成（ ）比例。
2、分别判断下面两种量成不成比例，成什么比例。
（1）小美从学校到家，走路的平均速度和所需的时间。（ ）
（2）圆锥的体积一定，底面积和高。（ ）
（3）修路的总长度一定，已修的长度和没修的长度。（ ）
（4）长方形的周长一定，长和宽。（ ）
（5）正方形的周长和边长。（ ）
（6）圆的周长和直径。（ ）
（7）一个人的体重和他的身高。（ ）
3、选择
（1）表示和成反比例的式子是（ ）。
A、 B、 C、
（2）甲数是乙数的，那么甲数与乙数（ ）。
A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例
（3）乐乐从1楼爬到3楼共用了3分钟，那么从1楼爬到5楼要用（ ）分钟。
A、8 B、6 C、4
（4）下面各项中，成反比例的是（ ）。
A、 B、 C、
（5），和（ ）。
A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例
4、填表。
（1）已知和成正比例。
1.5 3
1 4.5 0.15
（2）已知和成反比例。
0.2 10
0.25 9 3.2
5、磁悬浮列车行驶的路程与时间的关系如下表。
时间/分 1 2 3 4 5 6 …
路程/千米 7 14 21 28 35 42 …
（1）下图中点A表示时间为1分时磁悬浮列车行驶的路程为7千米，请你试着描出其他各点，并连接各点。
（2）列车运行2分半时，行驶的路程是多少千米？
6、自然数A，B满足，且，求的值。