2008年考前冲刺—数学（5）

2008年考前冲刺—数学（5）
高考倒计时第19天 — 5月19日（星期一）
天津特级教师：王连笑　
上海特级教师：王海平
25. 不等式的主要证明方法有：比较法，分析法，综合法，放缩法，数学归纳法，反证法等.
26. 利用均值不等式求最值时,要注意不等式成立的条件和等号成立的条件(各项为正，和或积为定值，等号成立).
27 .解分式不等式如时,应注意,在不知分母的正负时,不能去分母而应移项,通分.
解含有绝对值符号的不等式,要注意区别以下不同情况:
①或
②
③,用零点分段法,分类讨论求解.
28.解含参数的不等式问题要注意:“定义域为前提，函数单调性为基础，分类讨论是关键，整合结果做答案”，特别是，解二次项系数含参数的一元二次不等式时，不要忘记对二次项系数的讨论.如含有参数的不等式的解为全体实数,求的取值范围, 不要忘记的情形.
29.会用不等式证明和解决一些简单问题吗？
30.关于不等式成立问题有哪些类型？
①恒成立问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最小值(或下确界)大于,
若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最大值(或上确界)小于.
【例1】(2005年,湖北卷,理,文)已知向量若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.
【分析及解】 依定义
在区间上是增函数等价于在区间上恒成立;
而在区间上恒成立又等价于在区间上恒成立;
设
进而在区间上恒成立等价于
考虑到在上是减函数,在上是增函数,则.
于是, t的取值范围.是.
②能成立问题
若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,则等价于函数在区间上的最大值(或上确界)大于,
若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,则等价于函数在区间上的最小值(或下确界)小于.
【例2】(2005年,湖南卷,理) 已知函数若存在单调递减区间，求a的取值范围；
【分析及解】
则
因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解.
由题设可知,的定义域是,
因此,有解等价于在区间能成立,
即, 成立, 进而等价于成立,其中.
由得,.于是,,
由题设,所以a的取值范围是.
③ 恰成立问题
不等式在区间上恰成立,,等价于不等式的解集为,
不等式在区间上恰成立, 等价于不等式的解集为.
【例3】(2000年,上海卷)
(Ⅰ)已知对任意恒成立,试求实数的取值范围;
(Ⅱ)已知当的值域是,试求实数的值.
【分析及解】 本题的第(Ⅰ)问是一个恒成立问题,
对任意恒成立
等价于对任意恒成立,又等价于时,的最小值成立.
由于在上为增函数,
则,所以 .
第(Ⅱ问是一个恰成立问题,
这相当于的解集是.
当时,由于时,
,与其值域是矛盾,
当时, 是上的增函数,
所以,的最小值为,令,即
④部分成立问题.
【例4】（2003年全国卷，理）已知，
设函数在上单调递减；
的解集为.
如果和有且仅有一个正确，求的取值范围.
【分析及解】函数在上单调递减，
.
的解集为在上恒成立
如果正确,且不正确,则,
如果正确,且不正确,则.
由以上, 的取值范围是.