2.1二次函数 课件(共34张PPT)2023-2024学年度北师大版数学九年级下册

(共34张PPT)
2.1二次函数
九年级下
北师版
1.了解二次函数的概念和一般形式.
2.会通过分析实际问题的情境确定二次函数表达式.
学习目标
难点
重点
1.什么是函数
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
一次函数 y=kx+b（k，b是常数，k≠0） 直线
正比例函数 y=kx（k是常数，k≠0） 直线
反比例函数
2.我们已经学习了哪些函数？解析式是什么？图象是什么样的？
新课引入
( k 为常数，k ≠ 0 ) 双曲线
观察图片，喷泉水流所经过的路线，桥的形状是什么样的？
小明投篮时篮球的运动轨迹是什么样的？
它会与某种函数有联系吗？这就是本章要学习的二次函数．
一 二次函数的定义
问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
新知学习
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
自变量：橙子树的数量，橙子树之间的距离，橙子树接受阳光的多 少等等；
因变量：每棵橙子树的结果量，果园橙子的总产量，每个橙子的质量等等.
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
y=(100+x)(600-5x)=-5x +100x+60000.
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
问题2
两数之和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗？
解：∵其中一个数是x，则另一个数是20-x,
∴两数之积y=x（20-x）= -x2+20x.
问题3
正方体的六个面是全等的正方形 (如图)，设正方体的棱长为 x，表面积为 y. 你能写出面积的表达式吗？
解：对于 x 的每一个值，y 都有一个对应值，即 y 是 x 的函数，它们的具体关系可以表示为 y = 6x2.
观察函数 y=6x2，y=-5x +100x+60000，m＝-x2+20x, 它们有什么共同点和不同点？
不同点：1、等号右边项数不同；
思考
y=6x2+0b+0
m＝-x2+20x+0
共同点：1、函数解析式是整式；
2、化简后自变量的最高次数是2；
3、等号右边都可以化为二次三项式；
你能类比一次函数的定义,也用一个一般的函数表达式来概括这四个表达式的结构特征吗
思考
y=ax2+bx+c，其中x，y分别表示自变量、因变量，a，b分别是二次项、一次项的系数，c是常数项.
例1 下列函数中,哪些是二次函数？为什么？若是二次函数，请指出二次项系数，一次项系数和常数项.
① y=ax2+bx+c ② y=3-2x ③y=x2 ④
⑤ ⑥y=x +x +25 ⑦ y=(x+3) -x
不一定是，缺少a≠0的条件.
不是，x的最高次数是3.
不是、化简以后是一次函数
二次项系数：-2
一次项系数：0
常数项：3
二次项系数：1
一次项系数：0
常数项：0
二次项系数：-1
一次项系数：-2
常数项：0
不是，等式右边是分式.
二次函数关系式 二次项系数 一次项系数 常数项
y=3-2x -2 0 3
y=x2 1 0 0
y=-x -2x -1 -2 0
y=2x -x+8 2 -1 8
结论：
在判断二次函数时，必须满足：1.最高次是2次；2.二次项系数a≠0；
b=0时，二次函数为y=ax +c (a≠ 0 )
b=0，c=0时，二次函数为y=ax (a≠ 0 )
c=0时，二次函数为y=ax +bx (a≠ 0 )
系数都不为0
y=ax +bx+c (a≠ 0 )
归纳
一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数.
二次函数的定义：
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，根据b、c是否为0，可以分为几种形式
a≠0 b=0,c≠0 y=ax +bx+c
b≠0,c≠0 y=ax +c
b≠0,c=0 y=ax +bx
b=0,c=0 y=ax
在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，自变量的取值范围是什么呢？
由于ax2+bx+c是整式，故x可以取全体实数，所以自变量的取值范围是全体实数.
思考
例1. 当m 取何值时，函数y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-5）x+m2是关于x 的二次函数？并求出这时二次函数的解析式.
解：由题意，得
∴ m=3.
∴当 m=3 时，该函数是二次函数，解析式为：
y=（32+3）x32-2×3-1+（3-5）x+32，
即y=12x2-2x+9.

是否满足三个条件：(1)等式右边为整式；(2)自变量的最高次数为2次；(3)a≠0.
m2+m≠0
m2-2m-1=2
针对训练
2.（1）y=(k-4)x ＋2x是二次函数，求k的取值范围.
解∵k-4≠0,
∴k≠4.
（2）y=-3xm-5＋x-4是二次函数，求m的值.
解：m-5=2,
m=7.
（3）y=(m-2)xm -2＋4是二次函数，求m的取值范围和函数解析式.
（4）y=(a-b)x3＋2x2＋2是y关于x的二次函数，求a，b的关系.
也即m=-2，此时y=-4x ＋4.
解：由a-b=0，得a=b.
m-2≠0
m -2=2
解：
m≠2
m=±2
二 根据实际问题列二次函数关系式
例2 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元，那么请你写出两年后的本息和 y（元）的表达式（不考虑利息税）.
一年到期后的本息为100(1+x)，
则两年后的本息为y=100(1+x)
=100(1+2x+x )
=100x +200x+100.
例3.如图，用长为45 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度是20 m)，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长AB是x(单位：m)，面积是S(单位：m2)．
(1)求S与x的函数关系式及x的取值范围；
(2)如果要围成面积为162 m2的花圃，
AB的长为多少米？
(2) 当 S = 162 时，-3x2+45x = 162，
解得 x1 = 6，x2 = 9，
∵ ≤ x< 15，∴ x = 9.
答：AB的长是 9m.
( ≤ x< 15 ).
解: (1) S = x(45 - 3x) = -3x2 + 45x
在实际问题中建立二次函数模型时，关键要找出两个变量之间的数量关系，用类似建立一元二次方程模型的方法，借助方程思想求出二次函数的关系式.
温馨提示
建立二次函数模型的一般步骤：
(1)审清题意：找出问题中的已知量（常量）和未知量（变量），把问题中的文字或图形语言转化成数学语言.
(2)找相等关系：分析常量和变量之间的关系，列出等式.
(3)列二次函数解析式：设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示并把它整理成二次函数的一般形式.
归纳
针对训练
1.写出下列各函数关系式：
（1）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；
（2）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．
（x＞0）
2.某网店销售某款童装，每件售价60 元，每星期可卖300件. 为了促销，该网店决定降价销售. 市场调查反映，每降价1 元，每星期可多卖30 件. 已知该款童装每件的成本价为40 元，设该款童装每件的售价为x 元，每星期的销售量为y 件.
(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)设每星期的销售利润为W 元，求W 与x 之间的函数关系式.
解：y=300+30 ( 60-x ) =-30x+2 100 ( 40 ≤ x ≤ 60 ).
解：W= ( x-40 ) ( -30x+2 100 ) =-30x2+3 300x-84 000.
随堂练习
1. 下列函数中,哪些是二次函数？
① y=ax2+bx+c ② y=4x +3 ③y=x2 +
④ ⑤ ⑥y=x +x +25
②③⑤
2.下列函数关系中，是二次函数的为（　　）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系.
B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径之间的关系
D
3.己知函数y=（m2-2）x2+（m+ ）x+8．
（1）若这个函数是一次函数，求出m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求出m的取值范围.
解：（1）由题意得， ，解得
（2）由题意得， ，解得 且
4.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面积 y
与 x 的关系式．
解：y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600，
即 y=x2+50x+600.
x m
x m
30 m
20 m
长 为(20 + x)cm，宽为(30 + x)cm
5. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可 售出400件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件. 销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少
解：由已知得，如果以单价20元销售，那么半月内可售出600件．
设销售单价提高x元，则销售量相应减少20x件．
设半月内获得的利润为y元，则
y＝x(600－20x)＝－20(x2－30x)＝－20(x－15)2＋4 500.
∵x≥0，且600－20x＞0，∴0≤x＜30.
∴当x＝15时，y最大＝4500.
即销售单价为35元时，半月内获得的利润最大．
一般形式
特殊形式
定义
1.右边是整式；
2.自变量的最高次数是2；
3.二次项系数a ≠0.
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
y=ax2 (a ≠0)；y=ax2+bx (a ≠0)；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数).
二次
函数
课堂小结