(共21张PPT)
2.2. 二次函数的图象与性质第1课时二次函数yx2与y-x2的图象与性质
九年级下
北师版
1．了解二次函数的图象是一条抛物线.
2．会画二次函数y=x2与y=-x2的图象.
3．通过观察图象能够掌握二次函数y=x2与y=-x2的性质.
学习目标
难点
重点
1.一次函数的图象是什么？
2.画函数图象的基本方法与步骤是什么？
3.研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？
一条直线
列表——描点——连线
函数的图象
新课引入
新知学习
1.分析二次函数y=x 的表达式，思考下列问题：
（1）它的图象是否通过原点，为什么？
函数y=x2的图象通过原点，因为当x=0时，y=0. 函数图象过（0，0）点，也就是原点.
（2）函数自变量的取值范围是什么？函数>的取值范围是什么？因此，函数图象大约会分布在哪几个象限？为什么？
函数y=x2自变量的取值范围是全体实数，y的取值范围是非负数.因为无论x取何值，x2≥0即y≥0，所以函数图象分布在第一、第二象限.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … …
例1 画出二次函数y=x2的图象.
9
4
1
0
1
9
4
1. 列表：在y = x 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
2. 描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y)
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
对于二次函数y = x2 的图象，
思考
问题1 你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
问题2 图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，(0,0).
问题3 当x<0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x>0时呢？
问题4 当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
y=x2
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
问题5 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
归纳
1、开口向上 ；
2、对称轴是y轴；
3、顶点坐标是（0，0），是抛物线上的最低点；
4、当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.
二次函数y=x2的图象性质：
例2 画出函数 的图象．
解：列表如下.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … …
-9
-4
-1
0
-1
-9
-4
描点、连线，如图所示：
y
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
1、开口向下；
2、对称轴是y轴；
3、顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点；
4、当x<0，抛物线从左往右上升；当x>0，抛物线从左往右下降.
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
归纳
观察下列图象，抛物线y=x2与y=-x2的关系是什么？
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
x
y
O
y=x2
y=-x2
思考
y＝x2 y＝－x2
图象
位置开口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
归纳
1.两条抛物线 与 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）
A. 顶点坐标均为(0,0)
B. 对称轴均为x=0
C. 开口都向上
D. 都有(0,0)处取最值
C
随堂练习
2. 已知点A（－1 ，y1），B（－ ，y2 ），C（ 2，y3）都在函数y=x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为________________.（用“<”连接）
y =x2
y1
y2
y3
y1＜y2＜y3
3. 如图,点p为抛物线y=x2 上的任意一点,点A的坐标为(2,0) ,若△POA 的面积为4,则点 的坐标为_________________.
4. 若抛物线y=-x2 上点A的横坐标为-2 ,则点A关于抛物线对称轴对称的点的坐标为_________.
(2,4)或(-2,4）
(2,-4)
5. 如图,⊙O的半径为3,C1是函数y=x2 的图象,C2是函数y=-x2 的图象,则阴影部分的面积是_ ____.
6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．
解：∵二次函数y=x2，
∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，
∵当x≥m时，y最小值=0，
∴m≤0．
课堂小结
y＝x2 y＝－x2
图象
位置开口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x(共40张PPT)
2.2.2 二次函数y=ax 与y=ax +c的图象与性质
九年级下
北师版
1.会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象.
2.掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质.
3.比较函数y=ax2与y=ax2+c的联系.
学习目标
难点
重点
新课引入
复习回顾：y=x2和y=-x2的图像特征
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y＝x2
y＝－x2
开口向上,在x轴上方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
（0，0）
在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
（0，0）
如果二次函数y=ax2的二次项系数不是1或-1，那它的图象又有什么特征呢？让我们一起探究吧！
一 二次函数y=ax2的图象与性质
例1 画出函数 的图象.
解： 列表：
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
新知学习
y
x
-3
-2
-1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
描点、连线，画出这个函数的图象.
7
8
9
10
思考
y
x
-3
-2
-1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y＝ax2 a>0
位置开 口方向
对称性
顶点
增减性
开口向上,在x轴上方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
原点（0，0）
请同学们动手画出函数 的图象，并总结出其性质
探究
解：列表如下.
x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=-2x2 … …
-0.5
-8
-2
0
-4.5
-2
-0.5
-4.5
-8
描点、连线，如图所示：
y
x
-3
-2
-1
o
1
2
3
6
8
4
2
1、开口向下；
2、对称轴是y轴；
3、顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点；
4、当x<0，抛物线从左往右上升；
当x>0，抛物线从左往右下降.
y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
顶点坐标是原点（0，0）
归纳
二次函数y=2x2与y=x2的二次项系数a>0,所以图象开口方向，对称性，最值顶点，以及增减性都相同，图象二次项系数大小不一样有什么不同呢？一起来探究一下！
例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
函数 ，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
y =x2
y=2x2
开口都向上，
对称轴都是y轴.
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点.
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
y=2x2抛物线的开口最小．
y =－x2
y=-2x2
函数 ，y=－2x2的图象与函数y=－x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
开口都向下；
对称轴都是y轴.
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点；
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
a绝对值越小，抛物线的开口越小．
归纳
y=ax2 (a≠0) a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增 减 性
最值
向上
向下
(0，0)
(0，0)
y轴 (x=0)
y轴 (x=0)
在对称轴的左侧，
y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
针对训练
1.关于二次函数y＝2x2，下列说法正确的是( )
A．它的开口方向是向下
B．当x<0时，y随x的增大而减小
C．它的对称轴是x＝2
D．当x＝0时，y有最大值是0
B
2. 如图， 四个二次函数的图象分别对应① y=ax2；② y=bx2；③ y=cx2；④ y=dx2，且①与③，②与④分别关于x 轴对称.
(1)比较a，b，c，d 的大小；
(2)说明a 与c，b 与d 的数量关系.
解：(1)由抛物线的开口方向，知a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0，
由抛物线的开口大小，知|a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|，
因此a ＞ b，c ＜ d.
∴ a ＞ b ＞ d ＞ c.
(2)∵①与③，②与④分别关于x 轴对称，
∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反.
∴ a+c=0，b+d=0.
二 二次函数y=ax2+c的图象与性质
例4 在同一直角坐标系中，画出二次函数 ， ，
的图象．
解： 先列表：
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
··· ···
··· ···
y
x
-3
-2
-1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
描点、连线，画出三个函数的图象.
7
8
9
10
问题1：观察图象，比较三个函数图象有何异同？
1.相同点：
① 均为抛物线
②开口向上，且大小相同
③对称轴都是y轴；
④在对称轴左侧(x<0)y随x增大而减小
在对称轴右侧(x>0)y随x增大而增大
2.不同点：
顶点位置不同，函数最小值不同
问题2：抛物线 y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点是什么？
观察图得：
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
( 0,1 )
( 0,-1 )
y 轴
y 轴
向上
( 0,0 )
y 轴
y
x
-3
-2
-1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
我们发现二次函数解析式中的常数项就是顶点坐标的纵坐标
由图象可得，
①把抛物线y=2x2向___平移___单位长度，就得到抛物线y=2x2+1；
②把抛物线y=2x2+1向___平移___单位长度，就得到抛物线y=2x2；
问题3：观察抛物线 ， 与 有何关系？
y
x
-3
-2
-1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
上
1个
下
1个
由图象可得，
③把抛物线y=2x2向___平移___单位长度，就得到抛物线y=2x2-1；
④把抛物线y=2x2-1向___平移___单位长度，就得到抛物线y=2x2；
y
x
-3
-2
-1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
下
1个
上
1个
由图象可得，
⑤把抛物线y=2x2+1向___平移___单位长度，就得到抛物线y=2x2-1；
⑥把抛物线y=2x2-1向___平移___单位长度，就得到抛物线y=2x2+1；
y
x
-3
-2
-1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
下
2个
上
2个
抛物线y=ax2+k(a≠0)与抛物线y=ax2 (a≠0)之间有什么关系？
上加，下减，
且只变常数项
归纳
y=ax2
向上平移k个单位
y=ax2 +k
向下平移k个单位
y=ax2 - k
在同一坐标系内画出二次函数 y=-x2，
y=-x2-2，y=-x2+2的图象.
做一做
2
O
-2
2
x
y
-2
-4
问题3：观察图象，比较三个函数图象有何异同？
1.相同点：
① 均为抛物线
②开口向下，且大小相同
③对称轴都是y轴；
④在对称轴左侧(x<0)y随x增大而增大
在对称轴右侧(x>0)y随x减小而减小
2.不同点：
顶点位置不同，函数最大值不同
问题4：抛物线 y=-x2，y=-x2-2，y=-x2+2的开口方向、对称轴和顶点是什么？
观察图得：
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向下
向下
( 0,-2 )
( 0,2 )
y 轴
y 轴
向下
( 0,0 )
y 轴
我们发现二次函数解析式中的常数项也是顶点坐标的纵坐标
2
O
-2
2
x
y
-2
-4
①抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎么决定？
④k决定什么？
开口方向和开口大小；当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，|a|越大，开口越小.
②它的对称轴是什么？
③顶点坐标是什么？
k 决定顶点的纵坐标
对称轴是 y 轴（直线 x=0)；
顶点坐标为(0，k).
问题5：你能知道二次函数y=ax2+k的性质吗？
归纳
上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.
a,k的符号 a>0,k>0 a>0,k=0 a<0,k<0 a<0,k>0 a<0,k=0 a<0,k<0
图象
开口 对称轴 顶点坐标 函数的 增减性 最值 向上
向下
y轴（直线 x=0）
（0，k）
x<0 时,y 随 x 的增大而减小; x>0 时,y 随 x的增大而增大.
x<0 时，y 随 x的增大而增大; x> 0时，y 随 x的增大而减小.
x=0时，y最小值=k.
x=0时，y最大值=k.
二次函数 y=ax2+k(a≠0) 的图象和性质
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
归纳
O
y
x
O
y
x
针对训练
1.抛物线y＝2x2－3的顶点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．x 轴上 D． y 轴上
2.已知二次函数y=3x +k的图象上有A( ，y1)，B(2，y2)，C( ，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3 B. y2>y1>y3
C. y3>y1>y2 D. y3>y2>y1
D
D
3.二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
D
4. 二次函数 的图象与二次函数 的图象有什么关系？
解：二次函数 与二次函数 的图象都是抛物线，形状相同，只是位置不同.将二次函数 的图象向上平移1个单位长度，就得到二次函数 的图象.
随堂练习
1. 在同一个平面直角坐标系中,二次函数y1=ax2,y2=bx2,y3=cx2的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为____________.(用“＞”连接)
a>b>c
2. 已知 是二次函数，且当 x ＞ 0时，y 随 x 的增大而减小，则 a =________.
解：由题意可知
解得 a = 3 或 a = -3.
又∵当 x ＞ 0时，y 随 x 的增大而减小，
∴a = 3.
3
在 和 中，
,
, ,
, .
设 ,则 ,
, 两点在二次函数 的图象上,
, ,
, , .
解图
3. 将抛物线 向下平移6个单位长度，得到抛物线 ，设原抛物线的顶点为 ，且原抛物线与 轴相交于点 , (点 在点 的左侧)，求 的面积.
解：∵将抛物线 向下平移6个单位长度，
得到 ，
， ，
，
∴原抛物线为 ，
∴顶点为 ，
4. 如图,在平面直角坐标系中, 为 轴正半轴上的一个动点,过点 的直线与二次函数 的图象交于 , 两点,且 .
(1) 若点 的坐标为 ,求点 的坐标；
解： ,点 的坐标为 ,
∴点 的坐标为 .
设直线 的解析式为 ,
将 , 分别代入,得
解得 ∴直线 的解析式为 .
令 ,则 ,∴点 的坐标为 ；
(2) 若 为 的中点,设点 的坐标为 ,求 与 的函数解析式.
解：如解图,过点 作 轴于点 ,过点 作 轴于点 ,过点 作 轴于点 ，
, ，
∵点 为 中点，
为 的中位线, ,
, ,
, ,
解图
而 , , ,
.
为 的中点,
,
∵点 的坐标为 ,
∴ .
解图
a,k的符号 a>0,k>0 a>0,k=0 a<0,k<0 a<0,k>0 a<0,k=0 a<0,k<0
图象
开口 对称轴 顶点坐标 函数的 增减性 最值 向上
向下
y轴（直线 x=0）
（0，k）
x<0 时，y 随 x 的增大而减小; x>0 时，y 随 x的增大而增大.
x<0 时，y 随 x的增大而增大; x> 0时，y 随 x的增大而减小.
x=0时，y最小值=k.
x=0时，y最大值=k.
二次函数 y=ax2+k(a≠0) 的图象和性质
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
课堂小结
抛物线y=ax2+k(a≠0)与抛物线y=ax2 (a≠0)之间有什么关系？
上加，下减，
且只变常数项
y=ax2
向上平移k个单位
y=ax2 +k
向下平移k个单位
y=ax2 - k(共29张PPT)
2.2.3 二次函数
y=a(x-h) 的图象与性质
九年级下
北师版
1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.
3.了解函数y=ax2 与 y=a(x-h)2的联系.
学习目标
难点
重点
二次函数 y=ax2+c（a≠0）与 y=ax2（a ≠ 0） 的图象有何关系？
新课引入
y=ax2
y=ax2+c
y=ax2
当c>0时，向上平移c个单位
当c<0时，向下平移 个单位
我们已经认识了二次函数y=2x2的图象，那么二次函数y=2(x-1) 2，y=2(x+1) 2的图象与y=2x2有什么关系？
二次函数y= (x-1)2的图象与二次函数y= x2的图象有什么关系？
二次函数y= (x+1)2的图象与二次函数y= x2 的图象有什么关系？
探究
新知学习
例1 画出二次函数 的图象，并说成它们的开口方向、对称轴和顶点．
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
··· ···
－2
－4.5
－2
0
0
－2
－2
－4.5
－8
－8
解：列表：
－4.5
-0.5
－0.5
－2
－4.5
－2
0
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
··· ···
－2
－4.5
－2
0
0
－2
－2
－4.5
－8
－8
－4.5
-0.5
－0.5
－2
－4.5
－2
0
问题1：从表格中你能发现自变量x与函数y之间的变化关系吗？
：当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小
：当x<-1时，y随x的增大而增大，当x>-1时，y随x的增大而减小
：当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
··· ···
－2
－4.5
－2
0
0
－2
－2
－4.5
－8
－8
－4.5
-0.5
－0.5
－2
－4.5
－2
0
问题2：观察表格，你能猜一猜这三个二次函数的顶点坐标和对称轴吗？
顶点坐标(0,0)，对称轴是y轴
顶点坐标(-1,0)，对称轴是直线x = -1
顶点坐标(1,0)，对称轴是直线x = 1
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
O
x
（2）描点、
（3）连线，用平滑的曲线
画出三个函数的图象
y
问题1：观察图象，比较三个函数图象有何异同？
1.相同点：
① 均为抛物线
②开口向下，且大小相同
③对称轴两边的增减性相同
在对称轴左侧，y随x增大而减小
在对称轴右侧，y随x增大而增大
2.不同点：
顶点位置、函数最大值以及对称轴都不同
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
O
x
y
问题2：抛物线 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下
直线x=-1
( -1 , 0 )
直线x=0（ y轴）
直线x=1
向下
向下
( 0 , 0 )
( 1 , 0 )
我们发现对称轴和顶点坐标的变化是二次函数y=a（x-h)2括号里面的常数项引起的，则对称轴为x=h,顶点坐标为(h , 0 )
问题3：结合图象，你能总结出函数解析式的变化与对称轴、顶点坐标之间的变化关系吗？
顶点坐标
直线x= -1
( -1 , 0 )
直线x=0
对称轴
( 0 , 0 )
( 1, 0)
抛物线 , 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
思考
直线x=1
向右平移
1个单位
向左平移
1个单位
向右平移
1个单位
向左平移
1个单位
括号内左加右减
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
O
x
向右平移
1个单位
向左平移
1个单位
y
归纳
二次函数y=a（x-h)2 (a≠0)的图象与y=ax2 (a≠0) 的图象的关系
可以看作左右互相平移得到(h>0).
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变.
y=a(x-h)2
当向左平移 ︱h︱ 时
y=a(x+h)2
当向右平移 ︱h︱ 时
y=ax2
例2 已知函数 .
(1)请画出它的图像
解：列表：
x ··· －1 0 1 2 3 ···
··· ···
2
0
2
0.5
0.5
（2）描点
（3）连线，用平滑的曲线
画出三个函数的图象
1
2
3
x
-1
4
3
2
-1
y
O
-2
-3
1
（2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
1
2
3
x
-1
4
3
2
-1
y
O
-2
-3
1
解：对称轴为x=1
顶点坐标为（1,0）
（1,0）
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？
解：当x>1时，y随x的增大而增大.
（4）若 3 ≤ x ≤ 5，求y的取值范围；
1
2
3
x
-1
4
3
2
-1
y
O
-2
-3
1
解：∵当x>1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=2；
当x=5时，y=8，当3 ≤ x ≤ 5时，2 ≤ y ≤ 8
想一想：若-1 ≤ x ≤ 5，求y的取值范围
解：∵当-1 ≤ x ≤ 5时，y的最小值为0，
∴当-1 ≤ x ≤ 5时，y的取值范围是0 ≤ y ≤ 8
注意：限定了自变量的取值范围求函数值的范围时，应结合图象根据增减性在自变量取值范围内取最值
（6）若 抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1＜x2，试比较y1与y2的大小.
1
2
3
x
-1
4
3
2
-1
y
O
-2
-3
1
解：当x1＜x2 ≤ 1时，y随x的增大而减小，
∴y1＜y2
当x1>x2 ≥ 1时，y随x的增大而增大，
∴y1＞y2
a,h的符号 a>0,h>0 a>0,h<0 a<0,h>0 a<0,h<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的 增减性 最值 向上
向下
直线 x=h
（h，0）
xh 时,y 随 x的增大而增大.
x h时，y 随 x的增大而减小.
x=h时，y最小值=0.
x=h时，y最大值=0.
二次函数y=a(x-h)2 (a≠0) 的图象和性质
O
y
x
O
y
x
O
y
x
归纳
O
y
x
1. 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( )
A．y＝(x＋2)2
B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2
D．y＝2(x－2)2
A
随堂练习
2. 已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为( )
A．－12
B．12
C．32
D．－32
D
3.将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( )
A．向上平移1个单位
B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位
D．向右平移1个单位
C
4.画出在平面直角坐标系中，函数y=-x-1 与 y= - （x-1）2的图象大致是图中的（ ）
A
5. 已知二次函数 ，当自变量 的值满足 时，与其对应的函数值 的最小值为3，求常数 的值.
解： ，
∴当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小.
①若 ，当 时， 取得最小值3，
，解得 或 (舍去)；
②若 ，当 时， 取得最小值3，
，解得 (舍去)或 ；
③若 ，当 时， 取得最小值为0，不是3，
∴此种情况不符合题意，舍去.
综上所述， 的值为0或8.
(1) 直线 的解析式为 _ __________，平移后抛物线的解析式为 _ ___________；
6.如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，将抛物线 向右平移，平移后的抛物线顶点为 .
(2) 当 时，求 的取值范围.
解：设直线 的解析式为 ，
将点 ， 的坐标分别代入 中得，
，解得 ，
∴直线 的解析式为 .
∵抛物线 平移后的抛物线顶点为 ，
∴平移后的抛物线的解析式为 .
联立 ，
解得 或 ，
∴观察图象得，
当 时， 的取值范围为 或 .
a,h的符号 a>0,h>0 a>0,h<0 a<0,h>0 a<0,h<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的 增减性 最值 向上
向下
直线 x=h
（h，0）
xh 时,y 随 x的增大而增大.
x h时，y 随 x的增大而减小.
x=h时，y最小值=0.
x=h时，y最大值=0.
二次函数y=a(x-h)2 (a≠0) 的图象和性质
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
课堂小结
二次函数y=a（x-h)2 (a≠0)的图象与y=ax2 (a≠0)的图象的关系
可以看作左右互相平移得到(h>0).
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变.
y=a(x-h)2
当向左平移 ︱h︱ 时
y=a(x+h)2
当向右平移 ︱h︱ 时
y=ax2(共20张PPT)
2.2.4 二次函数
y=a(x-h) +k的图象与性质
九年级下
北师版
1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质.
3.了解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的关系.
学习目标
难点
重点
y＝ax2
y＝ax2＋c(a≠0)
y＝ax2
y＝a(x－h)2(a≠0)
c＜0 下移
顶点在y轴上
左加
右减
顶点在x轴上
问题：二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)的图象又有什么关联呢？
c＞0 上移
新课引入
一 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质
例1 画出函数 的图象.并指出它的开口方向、对称轴和顶点.
解：先列表：
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
… …
x
新知学习
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
描点、连线，画出这个函数的图象
开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-2).
x＜-1时，y随x的增大而增大；x＞-1时，y随x的增大而减小.
二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质
归纳
二次函数解析式 a的 符号 开口 方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
y=a(x-h)2+k a＞0 向上 直线x=h (h，k) 当x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小 当x＝h时，
y最小值＝k
y=a(x-h)2+k a＜0 向下 直线x=h (h，k) 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小 当x＝h时，
y最大值＝k
h≠0,k≠0→y=a(x-h)2+k(a≠0)
h=0,k=0→y=ax2(a≠0)
h=0,k≠0→y=ax2+k(a≠0)
h≠0,k=0→y=a(x-h)2(a≠0)
（h,0）
（0，k）
（0，0）
顶点坐标
对称轴
直线x=h
（h,k）
y 轴
y 轴
x=h
归纳
可以直接看出抛物线的顶点坐标是 (h，k)，所以通常把它称为二次函数的顶点式
针对训练
1.抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是( )
A．(3，4)
B．(－3，4)
C．(3，－4)
D．(2，4)
A
2.对于抛物线y= -(x+1)2+3，下列结论：
① 抛物线的开口向下；② 对称轴为直线x=1；
③ 顶点坐标为(-1，3)；④ x>1 时，y 随x 的增大而减小.
其中正确结论有 （ ）
A. 1 个 B. 2 个
C. 3 个 D. 4 个
C
3. 二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
C
二 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2(a≠0)的关系
思考
怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？
向左平移
1个单位
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
平移方法1
向下平移
1个单位
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
平移方法2
向左平移
1个单位
向下平移
1个单位
归纳
可以看作互相平移得到的.
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
平移规律
简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变.
二次函数y=ax2(a≠0) 与y=a(x-h)2+k(a≠0)的关系
针对训练
1.将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线对应的函数关系式为( )
A．y＝3(x＋2)2＋3
B．y＝3(x－2)2＋3
C．y＝3(x＋2)2－3
D．y＝3(x－2)2－3
A
2.将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的图象与一次函数y＝2x＋b的图象有公共点，则实数b的取值范围是( )
A．b＞8
B．b＞－8
C．b≥8
D．b≥－8
D
3.已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函数 y= -(x-1)2+1的图象上，若-1＜x1＜0，3＜x2＜4，则y1_____ y2（填“＞”、“＜”或“=”）．
＞
【解析】抛物线 y= -(x-1)2+1的对称轴为直线x=1，∵a= -1＜0，∴抛物线开口向下，∵-1＜x1＜0，3＜x2＜4，∴y1＞y2．
随堂练习
1. 已知二次函数 ，若 ，则函数 的最小值和最大值分别是( @17@ )
A. 最小值是 ，最大值是3 B. 最小值是0，最大值是3
C. 最小值是 ，最大值是3 D. 最小值是 ，最大值是
C
2. 二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象不经过( @19@ )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
C
3. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数 的图象经过正方形 的顶点 , , .且 点为其顶点,将该抛物线平移,使其顶点为 点,则平移后抛物线的表达式为( @15@ )
A. B.
C. D.
B
二次函数解析式 a的 符号 开口 方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
y=a(x-h)2+k a>0
y=a(x-h)2+k a<0
向上
向下
直线 x=h
直线 x=h
( h , k )
( h , k )
当x>h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小
当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小
当x=h时，
y最小值=k
当x=h时，
y最大值=k
二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)可以互相平移得到，
平移规律：上下平移，k上加下减；左右平移，h左加右减.
课堂小结(共33张PPT)
2.2.5 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质
九年级下
北师版
1.会用配方法将一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式.
2.会根据二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)得到二次函数图象的顶点坐标、对称轴，二次函数的最大值或最小值.
学习目标
难点
重点
函数表达式 开口方向 对称轴 增减性 顶点坐标
y=ax2(a≠0)
y=ax2+k(a≠0)
y=a(x-h)2(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
a<0，
开口向下
a>0，
开口向上
a<0，在对称轴左侧，y都随x的增大而增大，在对称轴右侧，y都随x的增大而减小 .
a>0，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随 x的增大而增大；
y轴
y轴
x=h
x=h
（0，0）
（0，k）
（h，0）
（h，k）
新课引入
我们已经知道y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质，那一般是的图象和性质是什么呢？你能否利用刚学习的知识得到y=2x2－8x+7的图象和性质呢？
问题 怎样将y=2x2－8x+7化成 y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式？
一 将一般式 y=ax2+bx+c ( a ≠ 0 )
化成顶点式 y=a(x-h)2+k ( a ≠ 0 )
新知学习
例1：①求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴、顶点坐标和增减性.
解： y = 2x2－8x+7
= 2(x2－4x)+7
= 2(x2－4x+4)－8+7
= 2(x－2)2－1
“化”：化成顶点式.
“提”：提出二次项系数；
“配”：括号内配成完全平方式(一次项系数绝对值一半的平方)；
配
方
y=2x2－8x+7
2(x－2)2－1
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1)，当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大.
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=3x2－6x＋7；
（2）y=2x2－12x＋8；
= 3(x2－2x)+7
= 3(x2－2x+1)－3+7
= 3(x－1)2＋4
对称轴是x=1，
顶点坐标为(1，4)
= 2(x2－6x)+8
= 2(x2－6x+9)－18+8
= 2(x－3)2－10
对称轴是x=3，
顶点坐标为(3，－10)
针对训练
刚刚我们通过把二次函数y=2x2-8x+7化为 2(x－2)2－1的的形式，得到了对称轴，顶点坐标，请你试着画出二次函数y=2x2-8x+7的图象
例1 ②画出二次函数y=2x2-8x+7的图象
解：方法一：列表→描点→画图
还有其他方法吗？
方法二：平移画法
（0，0）
(2,-1)
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
y=2x2
y=2x2-8x+7
例2 求二次函数y=ax2+bx+c ( a ≠ 0 ) 图象的对称轴、顶点坐标和增减性.
y = ax2+bx+c
解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得
∴对称轴是 ，顶点坐标为
步骤：
1. “提”：提出二次项系数；
2.“配”：括号内配成完全平方式
(一次项系数绝对值一半的平方)；
3.“化”：化成顶点式.
归纳
一般地，二次函数y=ax2+bx+c ( a ≠ 0 ) 可以通过配方化成y=a(x-h)2+k ( a ≠ 0 ) 的形式，即
因此，抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
对称轴是：直线
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
如果a>0，当x< 时，y随x的增大而减小；当
x> 时，y随x的增大而增大.
如果a<0，当x< 时，y随x的增大而增大；当
x> 时，y随x的增大而减小.
一题多解：
二次函数的对称轴为直线
当x=2时，y=2×22-8×5=7= -1,
∴顶点坐标为（2，-1）.
当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大.
例1：①求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴、顶点坐标和增减性.
例3 如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用 表示.
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少
（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少
y/m
x/m
桥面 -5 O 5
10
解:
顶点坐标
顶点坐标
∴钢缆的最低点到桥面的距离是1m
两条钢缆最低点之间的距离是|-20|×2=40m
y/m
x/m
桥面 -5 O 5
10
针对训练
1.确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
（1）y=－3x2+12x－3； （2）y=4x2－24x+26；
（3）y=2x2+8x－6； （4）y= x2－2x－1.
开口向上，
对称轴为x=3，
顶点为（3，－ 10）.
开口向下，
对称轴为x=2，
顶点为（2，9）.
开口向上，
对称轴为x=－2
顶点为（ － 2，－ 14）.
开口向上，
对称轴为x=2，
顶点为（2，－ 3）.
2.若一个函数的二次项系数为2，一次项系数为4，常数项为3，则这个二次函数是( @13@ )
A. B.
C. D.
B
3.将抛物线 向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到的抛物线必定经过( @15@ )
A. B. C. D.
B
二、二次函数系数与图象的关系
(1)a决定抛物线的开口方向
当a >0时，开口向上；
当a <0时，开口向下．
x
y
O
x
y
O
对称轴在y轴左侧；
(2)b与a决定对称轴的位置
对称轴在y轴右侧；
当b=0 ，即 时，
当b与a异号，即 时，
当b与a同号，即 时，
记忆口诀：左同右异
x
x
对称轴是y轴．
(3) c决定抛物线与y轴的交点位置
c＝0
c＞0
c＜0
x
y
O
x
y
O
x
y
O
字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0（a，b同号） 对称轴在y轴左侧
ab＜0（a，b异号） 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
简记：左同右异
归纳
例 二次函数y=αx2+bx+c的图象如图，则( )
A.b>0,c>0
B.b>0,c<0
C.b<0,c<0
D.b<0,c>0
由与轴交点在轴负半轴上得：c<0
由对称轴在轴右侧得：
又开口向上得：a>0
∴b<0
x
y
O
C
1. 如图，已知抛物线 的图象如图所示，下列说法错误的是( @11@ )
D
A.
B.
C.
D. 当 时， 随 的增大而增大
针对训练
2. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
① abc＞0；② 2a－b＜0；③ 4a－2b＋c＜0；④ (a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
由图象开口向下可得 a＜0，
由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，
由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0，
则 abc＞0，故①正确；
由对称轴 x = >－1 可得 2a－b＜0，故②正确；
则 (a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即 (a＋c)2－b2＜0，所以 (a＋c)2＜b2，
故④正确．综上所述，①②③④都正确. 故选 D.
由图象上横坐标为－2 的点在第三象限可得 4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上横坐标为 1 的点在第四象限得 a＋b＋c＜0，
由图象上横坐标为－1 的点在第二象限得 a－b＋c＞0，
③ 4a－2b＋c＜0
④ (a＋c)2＜b2
3.如图是二次函数 的部分图象，则下列说法错误的是( @19@ )
C
A.
B. 二次函数的最小值为
C. ， 是抛物线上两点，当 且 时，则
D.
1. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的 x、y 的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A.y轴
B.直线x=
C. 直线x=2
D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为( )
D
随堂练习
2. 抛物线 与 轴的一个交点是 ，对称轴为直线 ，则抛物线与 轴的另一个交点坐标为( @5@ )
A. B. C. D.
C
3. 二次函数 ，当 时，函数的最大值为
_ _____.
4. 二次函数 与一次函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是( @23@ )
A. B. C. D.
D
5.如图，在平面直角坐标系中，点 是 轴上一点，点 、 分别在抛物线 上，四边形 为菱形， ， ，若点 为抛物线上一点(点 不与原点重合) ，求 的值.
解：如解图，过点 作 于点 ，
H
四边形 是菱形， ， ，
，
， ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 .
由菱形的性质得点 的坐标为 .
H
由题意，设抛物线的表达式为 ，
将 ， 代入，
得 解得
∴抛物线的表达式为 .
第14题解图
∵点 为抛物线上一点(点 不与原点重合),
，
解得 或0，
又 ，
.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 y＝ax2＋bx＋c (a＞0) y＝ax2＋bx＋c (a＜0)
开口方向 向上 向下
顶点坐标
对称轴 直线x＝ 直线 x＝
增减性 当x＜ 时，y随x的增大而减小；当x＞ 时，y随x的增大而增大 当x＜ 时，y随x的增大而增大；当x＞ 时，y随x的增大而减小
最值 当x＝ 时，y有最小值， 为 当x＝ 时，y有最大值，为
课堂小结
字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0（a，b同号） 对称轴在y轴左侧
ab＜0（a，b异号） 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
简记：左同右异
