2.3确定二次函数的表达式 课件(共26张PPT)2023-2024学年度北师大版数学九年级下册

(共26张PPT)
2.3 确定二次函数的表达式
九年级下
北师版
1. 会用待定系数法求二次函数的解析式.
2. 能灵活运用二次函数的不同形式求函数解析式.
学习目标
难点
重点
我们学过的二次函数解析式都有哪些？
新课引入
y＝ax2(a≠0)
y=ax2+k(a≠0)
y=a(x-h)2(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
y = ax2＋bx＋c(a≠0)
问题1已知一次函数过（2,3），（-1,-3）两点，求此一次函数的解析函数.
写（替换）: (写解析式)
解：设一次函数解析式为：y=kx+b,
待定系数法
设：（解析式）
代：（坐标代入）
解得：
解：方程（组）
∴解析式为y=2x-1
代入（2,3），（-1,-3）得：
1.一次函数y=kx+b(k≠0)需要待定的系数是什么？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？
2.求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
k、b
2个
待定系数法： (1)设：（解析式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)写（替换）：（写解析式）
思考
例1 已知二次函数y＝ax2 ＋ c(a≠0)的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵将点(2,3)和(-1,-3)的坐标分别带入表达式y=ax2+c，得
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
a=2，
c=－5.
解得
{
∴
3=4a+c，
－3=a+c，
{
新知学习
一、一般式求二次函数表达式
如果改变题目条件，将二次函数表达式换为y＝ax2 ＋bx+c(a≠0)，能求出来吗？
探究
由几个点的坐标可以确定二次函数？
由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.类似地，由不在同一直线上的三点（任意两点的连线不与y轴平行）的坐标，可以确定二次函数的解析式.
例2 如果一个二次函数的图象经过( -1,10 )，( 1,4 )，( 2,7 )三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
所求二次函数解析式为 y=2x2-3x+5.
解：设所求二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c.
由已知，图象经过( -1,10 )，( 1,4 )，( 2,7 ) 三点，得关于a，b，c的三元一次方程组
解得
归纳
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为 y=ax2+bx+c(a≠0)；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到 a，b，c 的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
针对训练
1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），
∴ y=-x2-6x.
8=4a-2b，
5=a-b，
∴
{
解得
{
a=-1,
b=-6.
图象经过原点
(c=0)
解： 设这个二次函数的表达式是 y=ax2+bx+c，
由于这个函数经过点( 0,1 )，可得c=1.
又由于其图象经过( 2,4 )、( 3,10 )两点，可得
4a+2b+1=4，
9a+3b+1=10，
∴所求的二次函数的表达式是
解得
2.一个二次函数的图象经过 ( 0,1 )、( 2,4 )、( 3,10 )三点，求这个二次函数的表达式.
在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式？
顶点坐标和图象上另一点坐标.
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中一项系数，再知道图象上两点的坐标，可以确定它的表达式
思考
例2 一名学生推铅球时， 铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，其中(4,3)为图象的顶点，你能求出y与x之间的关系式吗
解：根据图象是一条抛物线且顶点坐标为（4,3），因此设它
的关系式为y=a(x－4)2＋3
又∵图象过点（10,0）
∴a(10－4)2＋3=0
二、利用顶点式求二次函数的表达式
归纳
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点式法.
其步骤是：
①设函数表达式是 y=a(x-h)2+k(a≠0)；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a 用数值换掉，写出函数表达式.
针对训练
1.一个二次函数的图象经点( 0,1 )，它的顶点坐标为( 8,9 )，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)，因此，可以设函数表达式为 y = a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点 (0,1)，可得 1=a(0-8) +9.
解得 a=
∴所求的二次函数的解析式是
2. 已知二次函数 y=a(x-2)2+18的图象经过点( -1,0 )．求这个二次函数的解析式.
则函数解析式为 y = -2(x-1)2+18.
解：把 (-1,0) 代入二次函数解析式得 9a+18 = 0，
即 a = -2，
例4 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于点A( 1,0 )，B( 5,0 )，且过点 C( 0,-5 )．求抛物线的解析式.
解：C( 0,-5 )代入y＝ax2＋bx＋c中
得c=5，
∴ y＝ax2＋bx＋5 ，将点A( 1,0 )，B( 5,0 )代入
得
即y＝-x2＋6x－5.
a+b+5=0，
25a+5b+5=0，
解得
还有其他方法吗？
三、利用交点式求二次函数的表达式
例4 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于点A( 1,0 )，B( 5,0 )，且过点 C( 0,-5 )．求抛物线的解析式.
A( 1,0 )，B( 5,0 )
图象的对称性
对称轴为x=3
y=a(x-3)2+k
代入A( 1,0 )，B( 5,0 )
求出a，k
化为一般式
y＝ax2-6ax＋3
代入A( 1,0 )，B( 5,0 )
求出a,b
例4 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于点A( 1,0 )，B( 5,0 )，且过点 C( 0,-5 )．求抛物线的解析式.
解：∵抛物线与x轴交于点 A( 1,0 )，B( 5,0 )，
∴可设抛物线解析式为 y＝a(x－1)(x－5)，
把( 0,-5 )代入得：5a＝-5，解得，a＝-1，
故抛物线的解析式为y＝-(x－1)(x－5)，
即y＝-x2＋6x－5.
y＝a(x－x1)(x－x2)叫做交点式
归纳
这种知道抛物线的与x, y轴的交点坐标，求表达式的方法叫做交点式法.
其步骤是：
①设函数表达式是y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)；
②先代入交点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
x1, x2表示函数与x轴交点的横坐标.
针对训练
1.二次函数的图象经过点A(1,0)，B(0,-3)，对称轴是直线 x = 2，求该二次函数的解析式.
解：∵图象经过点 A(1,0)，对称轴是直线 x = 2，
∴图象经过另一点( 3,0 ).
∴设该二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3).
将点( 0,-3 )代入，得
-3=a·(-1)(-3)
解得
a = -1.
∴该二次函数的解析式为 y = -(x-1)(x-3) = -x2+4x-3.
随堂练习
1.如图，若抛物线y＝ax2＋2x＋a2－1经过原点，则抛物线的解析式为(　　)
A. y＝-x2＋2x
B. y＝x2＋2x
C. y＝-x2＋2x＋1
D. y＝-x2＋2x或y＝x2＋2x
A
2.二次函数 的顶点为 ，图象与 轴交于点 ，则 的面积为( @16@ )
A. B. C. D.
B
3.已知抛物线 交 轴于 , 两点，若抛物线上有且只有 , , 三点满足 ,则 的值为____.
1
3. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A(-4，-3)，与 y 轴交于点 B，对称轴是 x＝-3，请解答下列问题：
(1) 求抛物线的解析式；
x
y
O
x = -3
A
B
解：把点 A (－4，－3) 代入 y＝x2＋bx＋c，
得 16－4b＋c ＝－3，即 c＝4b－19.
∵ 对称轴是 x＝－3，∴ ＝－3，
即 b＝6. ∴ c＝5.
∴ 抛物线的解析式是 y ＝ x2＋6x＋5.
x
y
O
x = -3
A
B
(2) 若和 x 轴平行的直线与抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，求△BCD 的面积．
解：∵ CD∥x 轴，∴ 点 C 与点 D 关于 x＝－3 对称．
∵ 点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，
∴ 点 C 的横坐标为－7.
∴ 点 C 的纵坐标为 (－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵ 点 B 的坐标为 (0，5)，
∴ △BCD 中 CD 边上的高为 12－5＝7.
∴ △BCD 的面积为 ×8×7＝28.
用待定系数法求二次函数解析式的步骤
1. 设： 根据题中已知条件， 合理设出二次函数的解析式， 如
y = ax2+bx+c 或 y = a(x-h)2+k 或 y = a(x-x1)(x-x2)，其中 a ≠ 0；
2. 代：把已知点的坐标代入所设的二次函数解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程（组）；
3. 解：解此方程或方程组，求出a,b,c的值；
4. 替换：将所设的解析式中的a、b、c用求出的具体数字替换到解析式中，求得解析式.
课堂小结