3.2圆的对称性 课件(共24张PPT)2023-2024学年度北师大版数学九年级下册

(共24张PPT)
3.2 圆的对称性
九年级下
北师版
1.了解圆的轴对称性及圆的中心对称性及相关性质.
2.掌握圆心角、弧、弦之间关系定理并能利用其解决相关问题.
3.了解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.
学习目标
重点
难点
什么是轴对称图形？
什么是中心对称图形？
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
新课引入
问题1：圆是轴对称图形吗？对称轴是什么？
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.圆有无数条对称轴.
一 圆的对称性
新知学习
裁剪出一个圆，将圆折叠一下，你发现了什么？
问题2：将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？旋转任意角度呢？
圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
.
O
A
B
180°
O
α
针对训练
1.日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例.
碗口，圆桌，圆桌上的转盘，方向盘，圆盘子等
2.下列说法中不正确的是(　　)
A．经过圆心的直线是圆的对称轴
B．直径是圆的对称轴
C．圆的对称轴有无数条
D．当圆绕它的圆心旋转60°时，仍会与原来的圆重合
B
二 圆心角、弧、弦之间的关系
问题：什么叫圆心角？
顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角.
右图∠AOB，就是⊙O 的一个圆心角.
A
B
在研究圆心角问题时，常常连接角的两边与圆相交的两点，即连接弦AB，将圆心角放在三角形 ABC 中研究.
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
④
A
O
C
B
A
O
C
B
A
O
C
B
O(A)
C
B
在等圆 ⊙O 和⊙O′ 中，分别作相等的圆心角 ∠AOB 和∠A′O′B′，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使得 OA 与 O′A′ 重合.
你能发现哪些等量关系？
说一说你的理由.
探究
A
B
O
O′
O（O′）
A′
B′
A′
B′
A
B
小红认为
在等圆中
O′
O（O′）
A′
B′
A′
B′
A
B
在 ⊙O 中作圆心角AOB，得到扇形AOB.
1.把扇形AOB旋转一个角度，得到扇形A′O′B′，圆心角变了吗？弧AB与弧A′B′有什么关系？
探究
在等圆中
圆心角大小不变，弧AB与弧A′B′相等.
2.弦AB与弦A′B′有什么数量关系？
弦AB与弦A′B′相等.
弧、弦与圆心角的关系定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
你能归纳一下你发现的等量关系吗
归纳
符号语言：
A
B
A′
B′
O（O′）
∵∠AOB=∠A′OB′
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.
A
B
O
D
C
思考
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
归纳
∠AOB=∠A′OB′
A
B
A′
B′
O（O′）
知一推二
例1 如图 ，在⊙O中， ，∠ACB=60°.求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
O
B
C
A
∴AB =AC.
∴△ABC是等腰三角形.　　
又∵∠ACB =60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA，
∴∠AOB =∠BOC =∠AOC.
证明：∵ ，
总结：在同圆或等圆中，两条弧相等，所对的圆心角也相等.
例2 如图, AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且 . BE与CE的大小有什么关系？为什么？
·
E
B
C
O
A
D
解：BE=CE. 理由是
∵ ∠AOD=∠BOE,
∴
又∵
∴
∴ BE=CE.
总结：在同圆或等圆中，两条弧相等，所对的两条弦也相等.
（1）如果AB=CD ，那么_________，________________．
（2）如果 ，那么_________，________________．
（3）如果∠AOB=∠COD，
那么_____________，_________．
∠AOB= ∠COD
AB=CD
∠AOB= ∠COD
AB=CD
·
C
A
B
D
O
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
针对训练
2.在⊙O中，M，N分别为弦 ， 的中点，如果OM＝ON，那么在结论：①AB＝CD；②AB＝CD；③∠AOB＝∠COD中，正确的是(　　)
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
D
随堂练习
1. 将 按照如图所示的方式分成相等的8个部分，若阴影部分的面积为2，则 的面积为_____.
16
2. 在⊙O中，圆心角∠AOB＝2∠COD，则AB与CD的关系是（ ）
A. AB=2CD
B. AB＞2CD
C. AB＜ 2CD
D.不能确定
C
3.已知A，B是⊙O上的两点，∠AOB = 120°，C是 的中点. 试确定四边形 OACB 的形状，并说明理由.
解：如图，四边形OACB是菱形．理由如下：连接OC.
∵C是 的中点，
∴ ，
∴∠AOC＝∠BOC.
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°.
4.我们已经知道在⊙O中，如果2∠AOB=∠COD，则 那么CD=2AB也成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，那它们之间的关系又是什么？
A
B
C
D
E
O
解：CD=2AB不成立.理由如下：
那么∠AOB=∠COE=∠DOE,
所以弦AB=CE=DE,
在△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
取 的中点E,连接OE，CE，DE.
又∵OB＝OC，OA＝OC，
∴△BOC 和△AOC都是等边三角形．
∴OB＝BC＝CA＝AO.
∴四边形OACB是菱形．
1. 圆的对称性：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线无数条；
圆是中心对称图形，对称中心为圆心.具有旋转不变性.
2. 弧、弦、圆心角之间的关系：
(1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
(2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
课堂小结