3.3垂径定理 课件(共30张PPT)2023-2024学年度北师大版数学九年级下册

(共30张PPT)
3.3 垂径定理
九年级下
北师版
1.经历探索并证明垂径定理及其逆定理的过程，理解并掌握垂径定理及其逆定理.
2.运用垂径定理及其逆定理解决相关问题.
学习目标
重点
难点
新课引入
如果我们在⊙O中任意画一条弦AB，如图，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗？若是，你能找到它的对称轴吗？
● O
A
B
C
D
M
●O
A
B
C
D
M
└
新知学习
图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
思考
③AM=BM，
①CD是直径
②CD⊥AB
可推得
条件
结论
④
⑤
能不能用所学过的知识证明你的结论？
探究
●
O
A
B
C
D
M└
证明：如图，连接OA，OB，则OA=OB.
在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中，
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.
∵∠AOD =180°-∠AOC，∠BOD =180°-∠BOC，
∴
∴∠AOD=∠BOD.
∴
∵CD是直径，且CD⊥AB，
∴AM=BM.
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
几何语言：
∴
归纳
●O
A
B
C
D
M
└
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
思考
例1 如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA
∵ CE⊥AB于D，
∴
设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得
x2=42+(x-2)2，
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
涉及垂径定理时添加辅助线，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
O
A
B
C
·
r
d
归纳
例2 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
·
O
A
B
C
D
E
解：(1)连接AO,BO,则AO=BO,
又 AE=BE，OE=OE，
∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
（2） 与 相等吗？ 与 相等吗？为什么？
（2）由垂径定理可得 ， .
·
O
A
B
C
D
圆的两条直径互相平分，但不一定互相垂直，如下图中， ≠ .
只有平分非直径的弦才有上题的结论.
思考
直径是弦吗？如果平分直径，上题的结论成立吗？
归纳
垂径逆定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
∵CD为⊙O的直径
∴CD⊥AB
又∵AE = BE
∴
·
O
A
B
C
D
E
几何语言：
垂径定理的本质是:
满足其中任两条，必定同时满足另三条
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
1.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为(　　)
A．3
B．2.5
C．4
D．3.5
C
针对训练
2.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10 cm，OE=6 cm，则AB= cm．
16
·
O
A
B
E
3.赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
解：如图，用AB表示主桥拱，
设 AB 所在圆的圆心为 O，半径为 R.
经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC，D 为垂足，OC 与 弧AB 相交于点C，连接OA，
根据垂径定理，
D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD 就是拱高.
由题设可知AB=37，CD=7.23，
OD=OC-CD=R-7.23.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2，
即R2=18.52+(R-7.23)2.
解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
∴ AD= AB= ×37=18.5，
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
d+h=r
A
B
C
D
O
h
r
d
归纳
弓形中重要数量关系
例3 如图, —条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ,点O是 所在圆的圆心），其中CD= 600m， E为 上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.
E
O
D
C
F
E
O
D
C
F
设弯路的半径为Rm，则OF= (R- 90) m.
∵OE ⊥CD，
在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，
即R2 = 3002 + (R-90)2.
解这个方程，得R=545.
所以，这段弯路的半径为545 m.
解：连接OC.
∴ CF = CD = ×600 = 300 (m).
针对训练
1.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（　　）（1尺＝10寸）
A．12寸 B．13寸
C．24寸 D．26寸
D
2. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为 5cm，油面宽 AB 为 6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为 8cm，则油面 AB上升了（　　）cm．
A．1
B．3
C．3或4
D．1或7
D
3.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .
B
A
O
P
3cm≤OP≤5cm
1.（2022云南省卷）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为 E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为
(　　)
A. B.
C. D.
B
随堂练习
2.（2022四川泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E. 若AC＝4 ，DE＝4，则BC的长是(　　)
A．1
B．
C．2
D．4
C
3. 如图，已知 的直径为26，弦 的长为24， 是弦 上一动点，则 的长的取值范围是_______________.

4. 将一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，若该圆形纸片的半径为 ，则折痕 的长为_ ______ .

5.如图，⊙P与y轴交于点M（0,﹣4），N（0,﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
C
思路点拨：将点坐标转化为线段长度
推论
辅助线
内容
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.
满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
两条辅助线：连半径，作弦心距
课堂小结