(共23张PPT)
3.4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及推论
九年级下
北师版
1.经历探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系的过程.
2.理解圆周角的概念，了解并证明圆周角定理及其推论.
3.能运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题.
学习目标
重点
难点
新课引入
1.什么是圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角，如∠AOB.
2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系？
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条___、两条___中有一组量
相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
弧
弦
∠AOB = 的度数
D
A
C
E
B
如图，当球员在 B，D，E 处射门时，在哪更容易射进去？
A
C
D
E
B
顶点在☉O上，角的两边分别与 ☉O 相交.
∠ABC，∠ADC，∠AEC， 这三个角有什么共同特征？
新知学习
圆周角定义: 顶点在圆上，并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
归纳
注意：(1)圆周角必须具备两个条件：
①顶点在圆上；②两边都与圆相交.
(2)同一条弧所对的圆周角有无数个.
名称 关系 圆心角 圆周角
区别 顶点在圆心 顶点在圆上
一条弧所对的圆心角唯一 一条弧所对的圆周角有无数个
联 系 角两边都与圆相交 归纳
指出图中的圆心角和圆周角.
A
B
O
C
圆心角：
∠AOB
、∠AOC
、∠BOC
圆周角：
∠BAC
、∠ABC
、∠ACB
针对训练
D
A
C
E
B
1.∠ABC、∠ADC、∠AEC 有什么数量关系？
A
C
D
E
B
O
探究
猜想1：∠ABC =∠ADC =∠AEC.
D
A
C
E
B
A
C
D
E
B
2.∠AOC 是 所对的圆心角，这三个圆周角与圆心角有什么关系？
O
猜想2：∠ABC =∠ADC =∠AEC= ∠AOC.
思考
C
圆心O在∠C的外部
圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？
C
圆心O在∠C一条边上
C
圆心O在∠C的内部
C
已知：如图，∠C 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角.
求证：
证明：（1）圆心 O 在∠C 的一条边上，如图.
∵ ∠AOB 是△AOC 的外角，
∴ ∠AOB = ∠A +∠C.
∵ OA = OC，
∴ ∠A =∠C.
∴ ∠AOB = 2∠C，
圆心O在∠BAC的一边上
证明
C
已知：如图，∠C 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角.求证：
提示：能否转化为前一种已证明的情况
D
过点C作直径CD.由已证可得:
圆心O在∠BAC的内部
证明
圆心O在∠BAC的外部
证明
C
已知：如图，∠C 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角.
求证：
提示：能否也转化为第一种已证明的情况
D
过点C作直径CD.由已证可得:
归纳
圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
A1
A2
A3
圆周角 圆心角
转化
温馨提示
“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了. 因为一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角.
这一页，如果想说明这个问题，变成问题形式，直接画一个图
画出弦，请问，弦所对的圆周角在哪？
A
B
O
M
N
在上面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
●
O
所以 ∠ABC = ∠ADC = ∠AEC .
解：根据圆周角定理，
针对训练
1.（2023山东滨州）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为( )
A. 32°
B. 42°
C. 52°
D. 62
A
2.如图，在⊙O中，∠O = 50°，求∠A的度数.
＝25°.
B
A
C
● O
解：∵∠BAC与∠BOC所对的弧都是 ，
∴∠BAC＝ ∠BOC＝ ×50°
3.如图，哪个角与∠BAC 相等，你还能找到哪些相等的角？
C
A
B
D
解：∠BDC＝∠BAC，如图，
相等的角还有∠ADB＝∠ACB，
∠ACD＝∠ABD，
∠CAD＝∠CBD，
随堂练习
1.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于
（ ）
A．90°
B．45°
C．180°
D．60°
A
2.如图，在⊙O中， ，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为( )
A．65° B．75°
C．50° D．55°
A
3.（2023·武汉）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将 沿BC翻折交AB于点D，再将 沿AB翻折交BC于点E.若 ，设∠ABC=α，则α所在的范围是（ ）
A.21.9°<α<22.3° B.22.3°<α<22.7°
C.22.7°<α<23.1° D.23.1°<α<23.5°
B
思路点拨：如图，连接AC，CD，DE.证明∠CAB=3α，利用三角形内角和定理求出α，可得结论，
推论1
定义
圆周角定理
及其推论
定理
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
同弧或等弧所对的圆周角相等.
课堂小结(共24张PPT)
3.4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角定理推论2及圆的内接四边形
九年级下
北师版
1.了解并证明圆周角和直径的关系及圆内接四边形的性质.
2.能应用圆周角定理的推论解决相关问题.
学习目标
重点
难点
1.什么叫做圆周角？什么叫做圆心角？
2.圆周角定理是什么？
3.圆周角定理的推论1的内容是什么？
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.如∠ACB
顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫圆心角.如∠AOB
同弧或等弧所对的圆周角相等.
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
新课引入
一 直径所对应的圆周角是直角
如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的一个动点 (除点A、B外)，你能求出∠ACB 的大小吗？
·
O
A
C
B
解：∵AB是直径，点O是圆心，
∴∠AOB=180°.
∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，
∴∠ACB= ∠AOB=90°.
探究
新知学习
推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
归纳
几何语言
∵AC为直径，
∴∠ABC = 90°
几何语言
∵∠BAC = 90°，
∴ BC为直径 .
针对训练
1.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( )
A．75°
B．60°
C. 45°
D．30°
D
2.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.如图5所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形吗？为什么？
解：（2）是半圆形，理由：90°的圆周角所对的弦是直径.
3.如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长.
A
B
C
O
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ACB中，
∴AC的长为5 cm.
sin ∠ABC＝ ，
∴AC＝AB sin ∠ABC＝10×sin 30°＝10× ＝5(cm)．
4.如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O上，直径 AD = 2，∠ABC = 30°，则 AC 的长是 __________.
O
A
C
B
D
解：连接 CD，
∵∠ABC、∠ADC 是 所对的圆周角，
∴∠ABC =∠ADC = 30°
又∵AD 为直径，
∴△ADC 为直角三角形，∠ACD = 90°，
∴AC = AD = 1 (直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半).
1
（1）如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么关系？为什么？
·
O
D
B
C
A
解：∠BAD与∠BCD互补
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，∠ADC=90°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
二 圆内接四边形及其性质
探究
（2）如图，点C 的位置发生了变化，∠BAD 与 ∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？
·
O
D
B
C
A
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立
连接OB，OD，
则
∵∠1+∠2=360°,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
1
2
探究
四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
·
O
D
B
C
A
·
O
D
B
C
A
归纳
思考
根据前面的探究，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
推论 圆内接四边形的对角互补.
·
O
D
B
C
A
·
O
D
B
C
A
几何语句：
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD =180°（圆内接四边形的对角互补）.
思考
如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？
A
B
C
O
D
E
解：∠A=∠DCE.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°（圆内角四边形的对角
互补）.
∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE.
结论：圆内接四边形的外角等于它邻角的对角.
针对训练
1.在圆内接四边形ABCD中，若∠A＝70°，则∠C等于( )
A．20°
B．30°
C．70°
D．110°
D
2.在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度数之比为4∶5，求∠C 的度数.
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°（圆内接四边形的对角互补）.
∵∠A ∶∠C= 4∶5，
即∠C 的度数为100°.
∴
随堂练习
1.（2022山东济宁）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°.若CD＝a，tan ∠CBD＝ ，则AD的长是________.
A
B
C
O
D
2.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和∠C的度数.
解：∵∠BOD =80°，
所对弧上的圆心角的度数的一半）.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-40°=140°（圆内接四边形的对角互补）.
∴ （圆周角的度数等于它
∵AB为直径 ，
∴∠BCA=90°（直径所对的圆周角为直角）.
∴∠BCD+∠DCA=90°.
∵ ∠ACD=15°，
∴∠BCD=90°-15°=75°.
∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相等）.
3.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数.
A
B
C
O
D
解法一：连接BC.
A
B
C
O
D
∵∠ACD=15°，
∴∠AOD=2∠ACD =30°（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）.
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA.
又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180°，
∴∠BAD=75°.
解法二：连接OD.
4.如图，四边形 内接于 ， ，延长 到点 ，使得 ，连接 ， .
(1) 求证： ；
证明:∵四边形 内接于 ，
，
在 和 中，
，
，
， ；
(2) 若 ， ， ，求 的值.
解：如解图，过点 作 于点 ，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
.
推论3
推论2
圆周角定理
推论2及圆的
内接四边形
直径所所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径
圆内接四边形的对角互补.
课堂小结
