(共24张PPT)
3.6直线与圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质
九年级下
北师版
1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.
2.能根据圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系，判断出直线与圆的位置关系.
3.了解并掌握圆的切线的性质定理.
学习目标
重点
难点
d < r
⑴ 点在圆内
新课引入
点和圆的位置关系有几种？
r
P
d
P
r
d
P
r
d
d = r
⑵ 点在圆上
d > r
⑶ 点在圆外
思考
问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，在太阳上升的过程中，你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？
一 直线和圆的位置关系
新知学习
问题2 在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆.在纸上移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线l 的公共点个数的变化情况吗？
l
O
可以发现，直线和圆有三种位置关系：
相离
相切
相交
1个公共点
2个公共点
0个公共点
归纳
归纳
1.直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；
2.直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点（如图点A）；
3.直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.
A
l
O
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,在直线和圆的不同位置关系中，你能根据d与r的大小关系确定直线和圆的位置关系吗？
思考
直线和圆相交
d< r
直线和圆相切
d= r
直线和圆相离
d> r
r
d
∟
r
d
∟
r
d
o
o
o
例1 已知 Rt△ABC的斜边 AB= 8 cm, AC= 4 cm.
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时， AB与⊙O相切？
A
C
B
D
解：如图,过点C作AB的垂线，垂足为D.
∵AC = 4cm, AB = 8 cm,
∴ ∠ A = 60°.
∴cosA=
∴ CD = ACsinA = 4 sin 60° = (cm).
因此，当半径长为 cm时，AB与⊙ C相切.
(2)以点C 为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
当r = 2cm时，d>r, ⊙ C与AB相离；
当r = 4cm时，d解：由(1)可知，圆心C 到AB的距离 d = cm, 所以
二 圆的切线的性质
l
O
O
l
O
l
都是轴对称图形.
（1）下图中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？
（2）如图，直线 CD 与⊙O 相切于点 A，过切点A的直径AB与切线CD之间有怎样的位置关系？说一说你的理由.
O
D
C
A
B
AB ⊥ CD .
∵右图是轴对称图形，AB是对称轴，
∴沿直线AB对折图形时，AC与AD重合，因此，∠BAC=∠BAD=90°.
理由是：直径AB与直线CD要么垂直，要么不垂直.
C
D
B
O
A
M
证法1：反证法
性质定理的证明
（1）假设AB与CD不垂直，过点O作 一条直径垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM与⊙O相切”相矛盾；
（3）所以AB与CD垂直.
C
D
O
A
证法2：构造法.
作出小 ⊙O 的同心圆大 ⊙O，
CD 切小 ⊙O 于点 A，
且 A 点为 CD 的中点，
连接 OA，根据垂径定理，
则 CD ⊥OA，
即圆的切线垂直于经过切点的半径．
归纳
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径．
符号语言：
O
l
A
B
例2.如图，⊙O切PB于点B，PB=4，PA=2，则⊙O的半径是多少？
O
P
B
A
解：连接OB，易知∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，OP=OA+PA=2+r.
在Rt△OBP中，
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.
解得 r=3，
即⊙O的半径为3.
归纳
有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
1.在平面直角坐标系中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( )
A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相离
D．与x轴相切，与y轴相交
A
随堂练习
2.如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC.若∠BCD＝50°，则∠AOC的度数为( )
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
C
3. 如图，一枚直径为 d 的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距
离是多少
硬币滚动一圈，圆心经过的路经是与直线平行的一条线段，其长度等于圆的周长，πd .
4.设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP=m，且m使得关于x的方程2x2 2 x+m 1＝0有实数根，试判断直线l与⊙O的位置关系．
所以直线与圆相切或相交．
解：因为关于x的方程2x2 2 x+m 1＝0有实数根，
所以 =b2－4ac≥0，
即8－4×2×（m－1）≥0.
解得m≤2.
又因为⊙O的半径为2，
5.为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB=6cm. 这张光盘的直径是多少？
∵AC，AB分别为圆O的切线，
∴AO为CAB的平分线，
OC⊥AC，OB⊥AB，
又∵∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠OAB= ∠CAB=60°，
解：设光盘的圆心为O，连接OC，OB，OA，
O
C
在Rt△AOB中，∠OAB=60°，AB=6cm，
∴tan∠OAB=tan60°= ，即
∴OB=6 cm,
则光盘的直径为12 cm.
O
C
课堂小结
直线与圆的位置关系 图示 公共点个数 d与r的关系 公共点名称
相交
相切
相离
r
d
∟
r
d
∟
r
d
2
1
0
d＜r
d=r
d＞r
交点
切点
/(共32张PPT)
3.6直线与圆的位置关系第2课时切线的判定与三角形的内切圆
九年级下
北师版
1.理解并掌握圆的切线的判定定理并能运用其解决相关问题.
2.了解三角形的内切圆和内心的概念及性质.
学习目标
重点
难点
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
新课引入
l
如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠α. 当 l 绕点 A 旋转时，
O
A
B
α
（1）随着∠α 的变化，点 O 到 l 的距离 d 如何变化？直线 l 与 ⊙O 的位置关系如何变化？
d
l
l
思考
一 圆的切线的判定
新知学习
∠α 从90°变小到0°，再由0°变大到90°，点 O 到 l 的距离 d 先由 r 变小到0，再由0变大到 r.
直线 l 与 ⊙O 先相切，再相交，最后又相切.
l
O
A
B
α
d
l
l
l
O
A
B
α
d
l
l
（2）当∠α 等于多少度时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r？此时，直线 l 与 ⊙O 有怎样的位置关系？为什么？
当∠α = 90°时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r . 此时，直线 l 与 ⊙O 相切.
切线的判定定理
过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
A
B
C
符号语言
O
归纳
∵ l ⊥OA ，且 l 经过⊙O上的 A 点，
∴直线 l 是 ⊙O 的切线.
温馨提示
切线必须同时具备两个条件：
1. 直线过半径的外端;
2. 直线垂直于这条半径.
例1 判断下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
解：(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
做一做
用三角尺过圆上一点画圆的切线.
如下图所示，已知⊙O 上一点A，过点A 画⊙O 的切线．
A
l
（2） 过点P 沿着三角尺的另一条直角边画直线l，
则l 就是所要画的切线.
画法：如图所示.（1）连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P处， 并使一直角边与半径OP 重合；
1.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．
求证：直线AB是⊙O的切线．
O
B
C
A
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB，CA＝CB，
∴ OC是等腰△OAB底边AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
∵OC是⊙O的半径，∴ AB是⊙O的切线.
针对训练
2.如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．
O
C
E
A
F
B
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了.而OD是⊙O的半径，因此需要证明OE=OD.
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵⊙O 与AB 相切于E ，
∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
F
B
O
C
E
A
∴OE ＝OF.
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是⊙O 的切线．
又OE ⊥AB ，OF⊥AC.
归纳
(1) 已明确直线和圆有公共点，连结圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”;
(2) 不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直,证半径”.
图1
图2
证切线时辅助线的添加方法：
切线的判定方法有三种：
①定义法：直线与圆有唯一公共点；
②数量关系法：直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③判定定理：切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.
归纳
如图是一张三角形的铁皮，工人师傅要从中截下一块圆形的用料，怎样才能使截下的圆的面积尽可能大呢？
二 三角形的内切圆及内心
第一种情况
A
B
C
A
B
C
第二种情况
A
B
C
第三种情况
A
B
C
第四种情况
可能有以下几种情况：
第四种情况是我们想要的，你是怎么画出来的？
作法：1.分别作∠ABC，∠ACB 的平分线 BE 和 CF，交点为 I.
2.过 I 作 BC 的垂线，垂足为点 D.
3.以点 I 为圆心，以 ID 的长为半径作 ⊙I.
⊙I 就是所求的圆.
已知：如图，△ABC.
求作：⊙I，使它与△ABC 的三边都相切.
A
B
C
I
●
E
F
┓
D
┓
┗
┗
归纳
1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
B
A
C
I
☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.
思考
与△ABC的三条边都相切的圆有几个？
因为∠B和∠C的平分线的交点只有一个,并且交点O到△ABC三边的距离相等且唯一，
所以与△ABC三边都相切的圆有且只有一个.
D
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边
中垂线的交
点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
A
B
O
A
B
C
O
归纳
例3 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9，BC=14，CA=13.求AF,BD,CE的长.
解：设AF=x，则AE=x.CD=CE=AC-AE=13-x,
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC,可得（13-x）+（9-x）=14.
解得x=4.
因此AF=4，BD=5，CE=9.
针对训练
1.下列说法错误的是( )
A．三角形有且只有一个内切圆
B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上
C．三角形的内心不一定都在三角形的内部
D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
C
2.如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
A
B
C
I
解：连接IB，IC.
∵点I是△ABC的内心，
∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB.
在△IBC 中，
3.如图，在△ABC中，I是内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.
证明：连接BI.
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD.
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD. ∴BD=ID．
归纳
求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为：
一是连顶点、内心产生角平分线；
二是连切点、内心产生半径及垂直条件.
你学会了吗？
随堂练习
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,⊙O与△ABC的三边分别相切于点D,E,F,若⊙O的半径为2,则△ABC的周长为( )
A.14
B.20
C.24
D.30
D
2.如图，点I是△ABC的内心，AB=5，AC=4，BC=3，将△ABC平移使点C与点I重合，重叠部分面积为_______
△ABC∽△GFI
K
△ABC为直角三角形
ID=IE=IH
等面积求出IH，CK
3.在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点M是△ABC的中线AD上一点，以M为圆心作⊙M .设半径为r
（1）如图，当点M与点A重合时，分别过点B，C作⊙M的切线，切点为E，F.求证：BE=CF
解：（1）如图1，连接AE，AF，
∵BE和CF分别是⊙O的切线，∴∠BEA=∠CFA=90°，∵AB=AC,AE=AF,
∴Rt△BAE≌Rt△ACF(HL),
∴BE=CF;
（2）如图2，若点M与点D重合，且半圆M恰好落在△ABC的内部，求r的取值范围；
（2）如图2，过点D作DG⊥AB于点G，
∵AB=AC=5，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∴AD=
∴
∴
∴当0G
（3）当M为△ABC的内心时，求AM的长.
（3）当M为△ABC的内心时，
如图，过M作MH⊥AB于H，作MP⊥AC于P，
则有MH=MP=MD，
连接BM、CM，
∴
∴r=
∴AM=AD-DM=
三角形内切圆
判定
1.有关概念：内心的概念及性质
2.作辅助线的方法：连顶点、内心产生角平分线；连切点、内心产生半径及垂直条件.
切线的判定
三角形内切圆
1.定义法
2.数量关系法
3.判定定理
课堂小结
