3.9弧长及扇形的面积 课件(共35张PPT)2023-2024学年度北师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 3.9弧长及扇形的面积 课件(共35张PPT)2023-2024学年度北师大版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 784.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-17 13:38:24 | ||
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文档简介
(共35张PPT)
3.9 弧长及扇形面积
九年级下
北师版
1.经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程.
2.会运用弧长计算公式和扇形面积的计算公式进行计算.
学习目标
重点
探究
A
？
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
转动轮转n°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
新课引入
问题1 半径为r的圆，周长是多少？面积是多少？
问题2 什么是弧长？
问题3 弧长和哪些量有关？
半径和圆心角
弧长是弧的长度
S=πr2
知识回顾
O
A
B
n°
r
c
(1) 圆心角是180°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的______.
(2) 圆心角是90°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的______.
O
R
180°
O
R
90°
问题4 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几
(3) 圆心角是45°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_______.
(4) 圆心角是n°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_______.
O
R
45°
O
R
n°
一 与弧长相关的计算
探究
新知学习
A
2πr
=20πcm
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
（1）转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
（2）转动轮转1°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
A
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
（3）转动轮转n°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
A
归纳
用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义：n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
温馨提示
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为
例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料.试计算如图所示的管道的展直长度，即弧AB的长（结果精确到0.1mm）.
因此，所求管道的展直长度约为76.8 mm.
解：∵ R=40mm，n=110
∴
针对训练
1.在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长( )
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
B
2.如图，是一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥．已知AB的长为10，圆周角∠C＝30°，则弧AB的长为（ ）
A． π
B． π
C． π
D． π
B
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m 的绳子，绳子的一端拴着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
解：由题意得，这只狗的最大活动区域为
二 与扇形面积相关的计算
（2）如果这只狗拴在夹角为n°的墙角 ，那么它的最大活动区域有多大？
狗活动的区域是一个什么图形呢？如何求它的面积？
n°
3m
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
如图，绿色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
探究
问题1 半径为r的圆,面积是多少？
O
r
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢
O
r
90°
圆心角占
周角的比例 扇形面积占
圆面积的比例 扇形的
面积
=
O
r
180°
O
r
45°
O
r
n°
＝
＝
＝
扇形面积公式
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
①公式中n的意义：n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
归纳
思考
扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
A
B
O
O
例2 扇形AOB的半径为12 cm， ∠ AOB=120°，求 的长(结果精确到 0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1 cm2).
解： 的长 25.1 ( cm).
S扇形 150.7 (cm2 ).
因此， 的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.7 cm2.
例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．
O
解：如解图，连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交AB于点C，连接AC.
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
O
A
B
C
D
从而∠AOD=60°，∠AOB=120°.
有水部分的面积
O
A
B
C
D
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积公式
归纳
针对训练
1.某扇形的圆心角为72°，面积为5π，则此扇形的弧长为（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
B
2.如图所示，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. π-2
B. π-4
C. 4π-2
D.4π-4
A
3.如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为10，∠ACB=45°，则扇形AOB的面积为（ ）
A．5π
B．12.5π
C．20π
D．25π
D
随堂练习
1.（2023浙江丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2 m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是( )
C
A. m B. m
C. m D. m
2.（2023山东泰安）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为( )
A. 6π－9
B. 12π－9
C. 6π－
D. 12π－
B
3.（2022黑龙江齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且 CF＝CD，连接BF.
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(1)证明：如图，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝90°，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵CF∥AB，
∴∠FCB＝∠ABC，∠ABF＋∠F＝180°，∴∠FCB＝∠ACB，
∵CF＝CD，BC＝BC，
∴△BCF≌△BCD.
∴∠F＝∠BDC＝90°，
又∵∠ABF＋∠F＝180°，
∴∠ABF＝90°，且AB是⊙O的直径，
∴BF是⊙O的切线；
(2)若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积
(2)解：如解图，连接OE，与BD交于点M，
∵∠BDA＝90°，∠BAC＝45°，AD＝4，∴BD＝AD＝4，∴AB＝
∴OB＝
∴OE＝OB＝
∴∠OEB＝∠ABC.
∵AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴∠BOE＝∠BAC＝45°，
∴OE∥AC.
∴∠OMB＝∠ADB＝90°，
∴BM＝OM＝2.
∴S阴影＝S扇形BOE－S△OBE＝
扇形面积
弧长
计算公式：
弧长和
扇形面积
计算公式：
弓形面积
计算公式：
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
割补法
课堂小结
3.9 弧长及扇形面积
九年级下
北师版
1.经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程.
2.会运用弧长计算公式和扇形面积的计算公式进行计算.
学习目标
重点
探究
A
？
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
转动轮转n°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
新课引入
问题1 半径为r的圆，周长是多少？面积是多少？
问题2 什么是弧长？
问题3 弧长和哪些量有关？
半径和圆心角
弧长是弧的长度
S=πr2
知识回顾
O
A
B
n°
r
c
(1) 圆心角是180°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的______.
(2) 圆心角是90°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的______.
O
R
180°
O
R
90°
问题4 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几
(3) 圆心角是45°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_______.
(4) 圆心角是n°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_______.
O
R
45°
O
R
n°
一 与弧长相关的计算
探究
新知学习
A
2πr
=20πcm
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
（1）转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
（2）转动轮转1°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
A
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
（3）转动轮转n°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
A
归纳
用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义：n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
温馨提示
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为
例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料.试计算如图所示的管道的展直长度，即弧AB的长（结果精确到0.1mm）.
因此，所求管道的展直长度约为76.8 mm.
解：∵ R=40mm，n=110
∴
针对训练
1.在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长( )
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
B
2.如图，是一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥．已知AB的长为10，圆周角∠C＝30°，则弧AB的长为（ ）
A． π
B． π
C． π
D． π
B
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m 的绳子，绳子的一端拴着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
解：由题意得，这只狗的最大活动区域为
二 与扇形面积相关的计算
（2）如果这只狗拴在夹角为n°的墙角 ，那么它的最大活动区域有多大？
狗活动的区域是一个什么图形呢？如何求它的面积？
n°
3m
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
如图，绿色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
探究
问题1 半径为r的圆,面积是多少？
O
r
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢
O
r
90°
圆心角占
周角的比例 扇形面积占
圆面积的比例 扇形的
面积
=
O
r
180°
O
r
45°
O
r
n°
＝
＝
＝
扇形面积公式
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
①公式中n的意义：n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
归纳
思考
扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
A
B
O
O
例2 扇形AOB的半径为12 cm， ∠ AOB=120°，求 的长(结果精确到 0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1 cm2).
解： 的长 25.1 ( cm).
S扇形 150.7 (cm2 ).
因此， 的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.7 cm2.
例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．
O
解：如解图，连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交AB于点C，连接AC.
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
O
A
B
C
D
从而∠AOD=60°，∠AOB=120°.
有水部分的面积
O
A
B
C
D
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积公式
归纳
针对训练
1.某扇形的圆心角为72°，面积为5π，则此扇形的弧长为（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
B
2.如图所示，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. π-2
B. π-4
C. 4π-2
D.4π-4
A
3.如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为10，∠ACB=45°，则扇形AOB的面积为（ ）
A．5π
B．12.5π
C．20π
D．25π
D
随堂练习
1.（2023浙江丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2 m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是( )
C
A. m B. m
C. m D. m
2.（2023山东泰安）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为( )
A. 6π－9
B. 12π－9
C. 6π－
D. 12π－
B
3.（2022黑龙江齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且 CF＝CD，连接BF.
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(1)证明：如图，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝90°，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵CF∥AB，
∴∠FCB＝∠ABC，∠ABF＋∠F＝180°，∴∠FCB＝∠ACB，
∵CF＝CD，BC＝BC，
∴△BCF≌△BCD.
∴∠F＝∠BDC＝90°，
又∵∠ABF＋∠F＝180°，
∴∠ABF＝90°，且AB是⊙O的直径，
∴BF是⊙O的切线；
(2)若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积
(2)解：如解图，连接OE，与BD交于点M，
∵∠BDA＝90°，∠BAC＝45°，AD＝4，∴BD＝AD＝4，∴AB＝
∴OB＝
∴OE＝OB＝
∴∠OEB＝∠ABC.
∵AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴∠BOE＝∠BAC＝45°，
∴OE∥AC.
∴∠OMB＝∠ADB＝90°，
∴BM＝OM＝2.
∴S阴影＝S扇形BOE－S△OBE＝
扇形面积
弧长
计算公式：
弧长和
扇形面积
计算公式：
弓形面积
计算公式：
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
割补法
课堂小结