(共22张PPT)
九年级下
沪科版
24.2圆的基本性质第1课时 圆
1.理解圆、弧、弦的概念；
2.了解等圆、等弧、弓形的概念；
3.探索并掌握点和圆的位置关系.
学习目标
重点
重点
观察下列生活中的图片，说说你还见过哪些这样的图形.
本节课我们将对圆进行初步的学习！
新课引入
一、圆的定义
我们在小学已经对圆有了初步认识.如图，观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
新知学习
如图，在平面内，线段OP绕着它固定的一个端点О旋转一周，则另一个端点Р所形成的封闭曲线叫做圆.固定的端点О叫做圆心 ，线段OP的长为 r 叫做半径.以点О为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆О”.
温馨提示
1.确定一个圆需要“两个要素”，一是圆心——确定圆的位置，二是半径——确定圆的大小.
2.圆是一条封闭的曲线，曲线是“圆周”，而不能认为是“圆面”，圆是一个平面图形.
3.“圆上的点”指圆周上的点.
思考
从上面画图的过程中，你能说出圆上的点有什么特征吗？
(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于______________．
(2)平面内到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的所有点都在
__________________．
定长(半径r)
同一个圆上
因此，圆可以看成：平面内到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的所有点组成的图形.
针对训练
1.下列关于圆的叙述正确的是( )
A．圆是由圆心唯一确定的
B．圆是一条封闭的曲线
C．到定点的距离小于或等于定长的所有点组成圆
D．圆内任意一点到圆心的距离都相等
B
平面上有一个圆，这个平面上的点，除了在圆上外， 与圆还有几种位置关系，这些关系根据什么来确定？
二 与圆有关的位置关系
平面上一点P与⊙O(半径为r)的位置关系有以下三种情况:
(3)点P在⊙O外
(1)点P在⊙O上
(2)点P在⊙O内
OP = r
OP < r
OP > r
符号“ ”读作“等价于”.它表示从符号的左边可以推出右边;同时从符号的右边也可以推出左边.
1. 以点O为圆心，分别以2cm，3cm 为半径画两个圆(这两个圆叫做同心圆)，说出满足下列条件的点 P 的位置：
(1)OP >3cm (2)OP≤2cm
(3)2cm o
针对训练
(1)点 P 在大圆的外部 (2) 点 P 在小圆上或其内部
(3)点 P 在大圆和小圆之间 (4)点 P与圆心O重合
三 与圆有关的概念
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“ ”
表示.如图，以A、B为端点的弧记作AB，读作“弧AB”.
(
(
弦
连接圆上任意两点的线段(图中的线段AB，CD)叫做弦，经过圆心的弦(图中的线段CD)叫做直径.
同圆中所有的直径相等.
半径是弦吗？
半圆、优弧及劣弧
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
大于半圆的弧(图中的 ，一般用三个字母表示)叫做优弧；
小于半圆的弧(图中的 ， 或 )叫做劣弧.
弓形
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形(图中弦AB分别与 及 组成两个不同的弓形).
等圆及等弧
·
C
O
A
等圆：半径相等的两个圆叫做等圆.
·
C
O1
A
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
·
C
O
A
想一想，长度相等的弧是等弧吗？
如图，如果AB和CD的拉直长度都是10 cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
D
C
A
B
这两条弧不可能完全重合，因为这两条弧弯曲程度不同，“等弧”不等于“长度相等的弧”，等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
例1 已知：如图AB，CD为⊙O 的直径. 求证：AD∥CB.
证明：连接AC，DB.
A
B
C
D
O
∵ AB，CD为⊙O的直径，
∴ OA = OB，
OC = OD.
∴ 四边形ADBC为平行四边形，
∴ AD∥CB.
针对训练
1.判断下列说法的正误.
(1)弦是直径；
(2)半圆是弧；
(3)过圆心的线段是直径；
(4)过圆心的直线是直径；
(5)半圆是最长的弧；
(6)直径是最长的弦；
(7)长度相等的弧是等弧.
2. 如图，MN为⊙O的弦，∠MON=70°，则∠M = .
M
O
N
55°
1.如图，在⊙O中，点A，O，D和点B，O，C分别在两条直线上，则图中弦的条数为__________﹒
三条
注意：找弦的时候注意不能重复，也不能遗漏，最好按照一定的顺序计数；
同时注意弦的定义，线段两端都要在圆上.
随堂练习
2.一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远的距离为10cm，则这个圆的半径是 .
7cm或3cm
证明：∵OA、OB为⊙O的半径，
∴OA=OB. ∴∠A=∠B.
又∵AC=BD，
∴△ACO≌△BDO.
∴OC=OD.
3.已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD．
求证：OC=OD．
x
x
x
x
4.如图，在扇形 MON 中，∠MON = 45°，半径 MO = NO = 10，正方形 ABCD 的顶点 B、C、D 在半径上，顶点 A 在圆弧上，求正方形 ABCD 的边长.
解：连接 OA，如图.
在正方形 ABCD 中，AB = BC = CD，
∠ABC =∠DCB = 90°.
又∵∠DOC = 45°，∴CD = OC.
设 OC = x，则 AB = BC = DC = OC = x.
在 Rt△ABO 中，AB2+BO2=AO2
45°
∵OA = OM = 10，∴ (2x)2 + x2 = 102.解得
圆
圆的定义
与圆有关的
位置关系
旋转定义：要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径
集合定义：同圆半径相等
弦：直径是圆中最长的弦
弧：劣弧、半圆、优弧、等弧.
等圆、弓形
与圆有关
的概念
点在圆上 d=r
点在圆内 d＜r
点在圆外 d>r
课堂小结(共32张PPT)
九年级下
沪科版
24.2圆的基本性质第2课时 垂径分弦
1.了解圆是轴对称图形；
2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
3.灵活运用垂径定理解决相关的计算与应用．
学习目标
重点
难点
我们知道，等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等图形都具有对称性.那么，圆是否具有对称性呢
新课引入
探究
在纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折痕，把⊙O折叠，如图 ，你发现了什么
圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线.
一 圆的轴对称性
新知学习
易错警示：因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说圆的直径是圆的对称轴.
该怎么证明前面的结论呢？
O
D
M
A
·
C
证明：连接OA，OB.
思路点拨：证明⊙O关于CD对称，也就是AM=BM.
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦， CD⊥AB，垂足为M．
在△OAB中，∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.
又∵AB⊥CD，∴AM=MB.
即CD是AB的垂直平分线
对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.
B
你能证明你的发现吗？
根据圆的对称性又能推出圆的哪些性质呢？
1.在折叠⊙O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A，B，如图.把折叠的圆摊平，那么折痕CD是直径，点A ，B是关于直线CD的一对对应点.连接AB，得弦AB ，如图，这时直径CD与弦AB有怎样的位置关系
直径CD⊥弦AB
二 垂径定理
探究
2.直径CD把劣弧 分成 与 两部分，把优弧 分成 与 两部分，这时 与 ， 与 各有怎样的关系
探究
归纳
由上面的探究，我们可以发现并证明如下定理:
*垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
几何语言：
∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AE=BE
试着证明垂径定理.
*已知:如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，并且CD⊥AB ，垂足为E.
求证:AE=EB ， = (或 = ).
证明
证明：连接OA ， OB ，则OA =OB，△OAB为等腰三角形，所以底边AB
上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称.
同理，如果点Р是⊙O上任意一点，过点Р作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称，所以⊙O关于直线CD对称.
当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
AE与BE重合，点A 与点B重合， 与 重合， 与
重合.因此，AE=EB，
垂径定理的几个基本图形：
试一试1
如果把垂径定理的条件与结论用数学语言描述如下：
①CD是直径 ；②CD⊥AB； ③AP=BP；
④ ； ⑤ .
·
O
D
P
A
B
C
已知①②
可推出
③④⑤
猜想1：已知①③
？
②④⑤
猜想1：如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD 平分弦 AB 于点 E.
（1）证明：CD⊥AB
（2）
解：(1) 连结 AO、BO，则 AO = BO.
又∵ AE = BE，
∴ CD⊥AB.
∴△AOE≌△BOE(SSS).
(2) 由垂径定理可得
与 是什么关系？ 与 呢？
·
O
D
E
A
B
C
我们还可以得到：
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
归纳
·
O
D
P
A
B
C
∵ CD 是⊙O 的直径，
数学语言：
AP = BP，
∴ CD⊥AB，
·
O
A
B
C
D
圆的两条直径是互相平分的.
思考
“平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧”中“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
试一试2
如果把垂径定理的条件与结论用数学语言描述如下：
①CD是直径 ；②CD⊥AB； ③AP=BP；
④ ； ⑤ .
·
O
D
P
A
B
C
猜想2：已知①⑤
？
②③④
请试着证明这条结论.
我们还可以得到：
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
归纳
∵ CD 是⊙O 的直径，
数学语言：
AP = BP，
∴ CD⊥AB，
·
O
D
P
A
B
C
垂径定理：①CD是直径 ；②CD⊥AB； ③AE=BE；④ ； ⑤ .
·
O
D
E
A
B
C
已知 结论 命题
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧
①③ ②④⑤ 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
①④ ②③⑤ 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧
②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧
③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦
垂径定理的本质是:
上述五个条件中的任意 个条件，都可以推出其他 个结论.
两
三
①CD是直径 ；②CD⊥AB； ③AE=BE；
④ ； ⑤ .
·
O
D
E
A
B
C
例1 如图，☉O中的半径为5cm，弦AB是为6cm，求圆心O到弦AB的距离.
解：连接OA，过圆心O作OE⊥AB，垂足为E.
弦心距
·
O
A
B
E
在Rt△OEA中，有
答：圆心O到弦AB的距离为4cm.
圆心到弦的距离叫弦心距.
例2 赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，求赵州桥桥拱所在圆的半径.(精确到0.1 m)
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作 AB 的
垂线， 交弧AB 于点C，交AB 于点D，则CD=7.2m，
由垂径定理，得
AD= AB= ×37.4=18.7(m)，
设☉O的半径为 R m，在Rt△OAD中，
AO=R，OD=R-7.2，AD=18.7
由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2，
即R2=18.72+(R-7.2)2.
解得R≈27.9.
因此，赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
涉及垂径定理时辅助线的添加
在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
A
B
C
D
O
h
r
d
1.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（ ）（1尺＝10寸）
A．12寸 B．13寸
C．24寸 D．26寸
D
针对训练
2. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为 5cm，油面宽 AB 为 6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为 8cm，则油面 AB上升了（ ）cm．
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
D
思路点拨：上升的过程中油面宽度为8cm不止是一个时刻.
注意圆中的多种情况
1.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，若AB=10，CD=8，则图中阴影部分的面积为 .
20
随堂练习
2.如图，⊙P与y轴交于点M（0,﹣4），N（0,﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
C
思路点拨：将点坐标转化为线段长度
3.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图(1)所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图(1)所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图(2)是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为( )
A. 10 cm B. 15 cm
C. 20 cm D. 24 cm
C
垂径定理
垂径分弦
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对
的两条弧.
定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的
两条弧.
课堂小结
常见辅助线：①连半径；②做弦的垂线，构造直角三角形，
有如下关系：
A
B
C
D
O
h
r
d(共25张PPT)
九年级下
沪科版
24.2圆的基本性质第3课时 圆心角、弧、弦、
弦心距间关系
1.了解圆是旋转对称图形和中心对称图形；
2. 理解圆心角的概念；
3. 探索圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理；并会运用这些关系解决相关的证明和计算问题.
学习目标
重点
难点
小鹿马上要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
新课引入
一 圆的对称性
重合，圆是中心对称图形
.
O
A
B
180°
问题1 将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
探究
新知学习
问题2 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
O
α
重合，圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心.
·
1.下列说法中正确的有( )
(1)圆是轴对称图形；(2)圆是旋转对称图形；(3)圆不是中心对称图形；(4)圆是轴对称图形但不是旋转对称图形．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
针对训练
B
二 圆心角的定义
·
O
B
A
如图，∠AOB为圆心角，圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为 .
圆心角：我们把顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫做圆心角.
针对训练
1.下面四个图形中的角，是圆心角的是( )
D
如图，当∠AOB=∠A'OB'时，你能猜测出两个圆心角所对的 与 、弦AB与弦A'B'、弦心距OM与弦心距OM'之间有怎样的关系
三 圆心角、弧、弦、弦心距间关系
探究
猜想： ，弦AB=弦A'B'、
弦心距OM=弦心距OM'
在图中，根据圆的旋转对称性，把∠AOB连同 绕圆心О旋转，使线段OA与OA'重合,设∠A'OA=α.
∵∠AOB= ∠A'OB'，
∴∠B'OB= ∠A'OB'+∠A'OB
= ∠AOB +∠A'OB= α
∴线段OB与线段OB'重合.
证明
又∵OA =OA'，OB =OB' ，
∴旋转后点A与点A'重合，点B与点B'重合.
这样，AB与A'B'重合，弦AB与弦A'B'重合，
弦心距OM 与弦心距OM'也重合，
即 ，AB =A'B' ，OM = OM'.
归纳
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.
几何语言：在同圆或等圆中，
∵∠AOB=∠A'OB'
∴ AB =A'B' ，OM = OM'，
思考
圆心角
相等
弦
相等
弧
相等
弦心距
相等
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得出什么结论？
如果两条弦相等呢？
推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等.
这个推论可简记为：
在同圆或等圆中，
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.
A
B
O
D
C
我们知道，把顶点在圆心的周角等分成 360 份，每一份的圆心角是1° 的角. 因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆周也被等分成 360 份. 我们把每份这样的弧叫做 1° 的弧.
一般地，n° 的圆心角对着 n° 的弧，n° 的弧对着 n° 的圆心角. 也就是说，圆心角的度数和它所对的强的度数相等.
例1 已知：如图，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上.
求证： ∠AOB= ∠BOC = ∠COA =120°.
A
B
C
O
证明：连接OA，OB，OC.
∵ AB=BC=CA，
∴∠AOB =∠BOC =∠COA
例2 已知，如图，点O是∠A平分线上的一点，☉O分别交∠A的两边于点C，D和点E，F. 求证：CD=EF.
证明：过点O作OK⊥CD，OK'⊥EF，垂足分别为K，K'.
∵OK=OK'(角平分线性质)，
∴CD=EF.
O
A
D
E
F
C
K'
∟
∟
K
解 连接OE.
∵ 为40°，∴∠COE=40°.
∵OC=OE，
∴∠C=
∵CE∥AB，
∴∠AOD=∠C=70°
∴∠BOD=180°-70°=110°
例3 如图，AB、CD为⊙O的两条直径，CE为⊙O的弦，且CE∥AB， 为40°，求∠BOD的度数.
O
C
E
A
B
D
针对训练
1.下列说法中，正确的是( )
A．等弦所对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．在同圆中，圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等，所对的圆心角相等
C
2.如图，AB是⊙O 的直径， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
·
A
O
B
C
D
E
解：
∵ ∠COD=35°，
随堂练习
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
(1) 如果AB=CD，那么 ， ．
(2)如果 ，那么 ， ．
(3) 如果∠AOB=∠COD，那么 ， ．
AB=CD
AB=CD
∠AOB=∠COD
∠AOB=∠COD
(4) 如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
（4）解：OE=OF.理由如下：
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∵AB=CD，∴AE=CF.
∵OA=OC，∴Rt△AOE=Rt△COF.
∴OE=OF.
2.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦， ，求证：AB = CD.
.
C
A
B
D
O
证明：连接
即
3.如图，AB是⊙O 的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是 的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC＋PD的最小值是___________.
思路点拨：可以利用圆的对称性，再结合角度进行求解
圆心角、
弧、弦、弦
心距间关系
顶点在圆心的角
圆心角、
弧、弦、弦
心距间关系
圆心角
相等
弦
相等
弧
相等
弦心距
相等
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；
圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
圆心角
的定义
圆的对称性
课堂小结(共28张PPT)
九年级下
沪科版
24.2圆的基本性质第4课时 圆的确定
1.了解三角形的外心.
2.能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆. 3. 通过实例体会反证法的含义.
学习目标
重点
重点
难点
根据之前所学内容，回答下列问题
(1)过一点可以作几条直线？
●A
经过一点可以作无数条直线；
新课引入
(2)过两点可作几条直线？
●
●
过两点只可以作一条直线；即两点确定一条直线.
A
B
那你知道如何确定一个圆吗？
思考
1.经过一点A 作圆，如图，能作多少个圆
经过一点能作无数个圆
一 圆的确定
·
·
·
·
·
A
新知学习
2.经过两点A，B作圆，如图，能作多少个圆 这些圆的圆心有什么特点
经过两点能作无数个圆
经过三点A，B，C，能不能作圆
它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上.
·
·
·
·
A
B
当三个点不在同一条直线上时，如图中的点A、B、C，要求作一个圆，使它经过A，B，C三点，可能吗？如何作？
分析:经过不在同一条直线上的三点A、B、C能否作圆，关键是看能否找到一点О，使OA = OB = OC. 若圆过A、B两点，圆心应在线段AB的垂直平分线上；同理，若圆过B、C两点，圆心也应在线段BC的垂直平分线上. 所以AB 、BC两条线段的垂直平分线的交点О就是所找的点，就是经过A、B、C三点的圆的圆心．
A
B
C
A
B
C
D
E
G
F
O
三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点与三角形的三个顶点的距离相等. 这个性质你还记得吗？
作法
1.连接AB，BC，如图.
3.以点О为圆心，OA为半径作圆.
则⊙O即为所作.
2.分别作线段AB，BC的垂直平分线，设它们交于点O.
归纳
由于经过不在同一条直线上的三点A，B，C的圆，其圆心只能是线段AB，BC的垂直平分线的交点О，所以经过不在同一直线上的三点A，B，C只可以作一个圆.
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
针对训练
1.已知：不在同一直线上的三点A、B、C.
求作：⊙O，使它经过点A、B、C.
作法：1、连接AB，作线段AB的垂直平分线MN；
2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；
3、以O为圆心，OB为半径作圆.
所以⊙O就是所求作的圆.
O
N
M
F
E
A
B
C
2. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是 （ ）
A．第①块 B．第④块
C．第③块 D．第②块
D
根据前面学习的定理，若已知△ABC，我们可以用直尺与圆规作出过△ABC三个顶点的圆.
A
B
C
O
二 三角形的外接圆
也就是说，经过三角形的三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个圆.
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；
外接圆的圆心叫做三角形的外心；
这个三角形叫做圆的内接三角形.
归纳
三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.
三角形有几个外接圆？圆有几个内接三角形？
注意：三角形只有1个外接圆，圆有无数个内接三角形.
思考
A
B
C
·O
A
B
C
C
A
B
┐
·O
·O
画一画：分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
锐角三角形的外心位于三角形内，
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点，
钝角三角形的外心位于三角形外.
针对训练
1.判断：
(1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆. ( )
(2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形. ( )
(3) 经过三点一定可以确定一个圆. ( )
(4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. ( )
√
×
×
√
2. 已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径= .
5
3.如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为 ．
(6,2)
三 反证法
当三个点在同一条直线 l 上时，如图中的点A，B，C，要求作一个圆，使它经过A，B，C三点，可能吗
与上面情况不同，经过同一条直线上的三点是不能作圆的.
探究
试着证明一下.
假设经过直线 l 上的三点 A，B，C 可以作圆，设这个圆的圆心为 O. 由OA = OB 可知，点 О 在 AB 的垂直平分线 l1 上；由 OB = OC 可知，点 O 也应在 BC 的垂直平分线 l2 上. 因为 AB，BC 都在直线 l 上，这样，经过点 О 便有两条直线 l1，l2 都垂直于直线 l，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.
所以，经过同一条直线上的三点是不可以作圆的.
归纳
这里的证明不是直接从题设推出结论，而是先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法.
(1)反设：假设命题的结论不成立；
(2)推理：从(1)中的“反设”出发，逐步推理直至出现与已知条件、定义、基本事实、定理等中任一个相矛盾的结果；
(3)结论：由矛盾的结果判定(1)中的“反设”不成立，从而肯定命题的结论成立.
用反证法证明命题一般有以下三个步骤:
例1 用反证法证明定理“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”.
已知：如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点O1，O2.
求证：∠EO1B=∠EO2D.
A
B
C
D
E
F
O1
O2
A'
B'
证明：假设∠EO1B≠∠EO2D，过点O1作直线A'B'，使∠EO1B'=∠EO2D，
根据 “同位角相等，两直线平行”，得A'B'∥CD.
A
B
C
D
E
F
O1
O2
这样，过点O1就有两条直线AB，A′B′平行于直线CD，这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾，
即∠EO1B≠∠EO2D的假设不成立.
所以∠EO1B=∠EO2D.
A'
B'
用反证法证明：一个圆只有一个圆心．
证明：假设⊙O有两个圆心O及O′，
在圆内任作一弦AB，设弦AB的中点为P，
连接OP，O′P，则OP⊥AB，O′P⊥AB，
过直线AB上一点P，同时有两条直线OP，O′P都垂直于AB，与垂线的性质矛盾，
故一个圆只有一个圆心．
针对训练
1.如图，正三角形ABC内接于⊙O，已知⊙O半径为2，那么△ABC的边长为( )
A.2 B. C. D.3
B
随堂练习
2. 某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等.请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？
●
●
●
A
C
B
O
作法：1.连接AB，作线段AB的垂直平分线；
2.连接AC，作线段AC的垂直平分线，交线段AB的垂直平分线于点O；
所以点O就是这所中学所建的位置.
3.如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，若 AC = 12cm，BC = 5cm，求的外接圆半径.
C
B
A
O
解：设 Rt△ABC 的外接圆的外心为 O，连接 OC，则 OA = OB = OC.
∴O 是斜边 AB 的中点.
∵∠C = 90°，AC = 12cm，BC = 5cm.
∴AB = 13cm，OA = 6.5cm.
故 Rt△ABC 的外接圆半径为 6.5cm.
圆的确定
圆的确定
三角形的
外接圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
步骤：反设——推理——结论
反证法
外接圆、圆的内接三角形
三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.
课堂小结
