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2024年江苏省南京市中考数学复习与检测
满分 120分. 时间为120分钟.
一、选择题(本大题共6小题,每小题2 分,共 12分. )
1.第届亚运会于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行,
杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积平方米,将数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
2. 估计的范围是( )
A. B. C. D.
3. 某校10名篮球队员进行投篮命中率测试,每人投篮10次,实际测得成绩记录如下表:
命中次数(次) 5 6 7 8 9
人数(人) 1 4 3 1 1
由上表知,这次投篮测试成绩的中位数与众数分别是( )
A.6,6 B.6.5,6 C.6,6.5 D.7,6
4 . 若点,,都在反比例函数的图象上,
则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
5. 赵州桥是当今世界上建造最早,保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,
跨度约为,拱高约为,则赵州桥主桥拱半径R约为( )
A. B. C. D.
6 .如图,在中,以点为圆心,适当长为半径作弧,交于点,交于点,
分别以点,为圆心,大于长为半径作弧,两弧在的内部交于点,
作射线交于点.若,,则的长为( )
二、填空题(本大题共 10 小题,每小题2 分,共20分. 请把答案填写在答题卡相应位置上)
7.方程组的解是 .
8. 若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
9.计算的结果是 .
10 .若a2﹣b2=80,a+b=10,则a﹣b= .
11. 方程﹣=0的解为 .
12. 已知a、b是一元二次方程的两个根,那么的值是 .
13. 如图,在中,E是线段的中点,交于点F,则 .
14. 如图如图,四边形内接于,若它的一个外角,则的度数为_______
某市为提倡居民节约用水,自今年1月1日起调整居民用水价格.
图中、分别表示去年、今年水费(元)与用水量()之间的关系.
小雨家去年用水量为150,若今年用水量与去年相同,水费将比去年多 元.
16 .如图,将矩形纸片沿折叠后,点D、C分别落在点、的位置,
的延长线恰好经过B点,若,,则等于 .
解答题(本大题共11 小题,共88分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(7分) 先化简,再求值:,其中.
18 .解不等式组,将解集用数轴表示出来,并写出它的所有整数解.
19.(7分) 如图,在平行四边形ABCD中,点E、F在对角线BD上,且BE=DF.求证:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形AECF是平行四边形.
20.(8分)某校举办了校服设计大赛,并从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,
要求每名学生从个获奖作品中选择一个自己最喜欢的作品,
根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
请你根据图中信息解答下列问题:
参加此次问卷调查的学生人数是 ;
(2) 在扇形统计图中,选择“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数是 ;
(3) 将条形统计图补充完整;
(4) 若该校七年级学生共有名,请估计七年级学生中选择“作品”的人数.
21.(8分) 2022年冬奥会和冬残奥会在我国举行.
如图,冬奥会的会徽和吉祥物为“冬梦”、“冰墩墩”,
冬残奥会的会徽和吉祥物为“飞跃”、“雪容融”,
将4张正面分别印有以上图案的卡片随机分成甲、乙两组,每组2张.
(1)“冰墩墩”在甲组的概率是______;
(2) 求每组的2张卡片恰是会徽和对应吉祥物的概率,
22.(8分) 第19届杭州亚运会,吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”,
如图,某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动,
拟购买30套吉祥物(“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”)作为竞赛奖品.某商店有甲,乙两种规格,
其中乙规格比甲规格每套贵20元.
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同,求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格;
(2)在(1)的条件下,若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍,如何购买才能使总费用最少?
23.(8分) 如图①是一台手机支架,图②是其侧面示意图,、可分别绕点、转动,
测量知,.当,转动到,时,
求点到直线的距离.
(精确到,参考数据:,,)
24 .(8分) 如图,一次函数的图象与y轴交于点C,
与反比例函数的图象交于,两点.
(1)求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式;
(2)连接、,求的面积;
(3)在x轴上找一点P,使的值最小,求满足条件的点P的坐标.
25.(8分) 如图①,在中,,是外接圆上一点,连接,
过点作,交的延长线于点,交于点.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)如图②,若为直径,,,求的长.
26 .(9分) 如图,抛物线交轴于,两点,交轴于点,
直线的表达式为.
(1)求抛物线的表达式;
(2)动点在直线上方的二次函数图像上,连接,,设四边形的面积为,
求的最大值;
(3)当点为抛物线的顶点时,在轴上是否存在一点,
使得以,,为顶点的三角形与相似?若存在,请求出点的坐标.
27.(9分) 【问题发现】
(1)如图1,在等腰直角中,点D是斜边上任意一点,在的右侧作等腰直角,使,,连接,则和的数量关系为 ;
【拓展延伸】
(2)如图2,在等腰中,,点D是边上任意一点(不与点B,C重合),在的右侧作等腰,使,,连接,则(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由;
【归纳应用】
(3)在(2)的条件下,若,,点D是射线上任意一点,请直接写出当时的长.
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2024年江苏省南京市中考数学复习与检测(解析卷)
满分 120分. 时间为120分钟.
一、选择题(本大题共6小题,每小题2 分,共 12分. )
1.第届亚运会于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行,
杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积平方米,将数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】C
2. 估计的范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】 ,
.
故选B.
3. 某校10名篮球队员进行投篮命中率测试,每人投篮10次,实际测得成绩记录如下表:
命中次数(次) 5 6 7 8 9
人数(人) 1 4 3 1 1
由上表知,这次投篮测试成绩的中位数与众数分别是( )
A.6,6 B.6.5,6 C.6,6.5 D.7,6
【答案】B
【分析】根据中位数及众数可直接进行求解.
【详解】解:由题意得:
中位数为,众数为6;
故选B.
4 .若点,,都在反比例函数的图象上,
则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】分别求出,,的值,即可得出结论.
【详解】解:,,都在反比例函数的图象上,
∴,,.
∴.
故选C.
5. 赵州桥是当今世界上建造最早,保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,
跨度约为,拱高约为,则赵州桥主桥拱半径R约为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知,,,主桥拱半径R,根据垂径定理,得到,再利用勾股定理列方程求解,即可得到答案.
【详解】解:如图,
由题意可知,,,主桥拱半径R,
,
是半径,且,
,
在中,,
,
解得:,
故选B
6 .如图,在中,以点为圆心,适当长为半径作弧,交于点,交于点,
分别以点,为圆心,大于长为半径作弧,两弧在的内部交于点,
作射线交于点.若,,则的长为( )
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】过点作于点,勾股定理求得,根据作图可得是的角平分线,进而设,则,根据,代入数据即可求解.
【详解】解:如图所示,过点作于点,
在中,,,
∴,
根据作图可得是的角平分线,
∴
设,
∵
∴
解得:
故选:C.
二、填空题(本大题共 10 小题,每小题2 分,共20分. 请把答案填写在答题卡相应位置上)
7.方程组的解是 .
【答案】
【分析】①+②得出,求出,再把的值代入①求出即可.
【详解】解:,
①+②,得:,
解得:,
把代入①,得:,
解得:,
∴方程组的解为.
故答案为∶ .
8. 若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
【答案】
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,
要使在实数范围内有意义,必须,
∴.
故答案为:
9.计算的结果是 .
【答案】
【分析】先化为最简二次根式,再进行计算即可.
【详解】解:,
故答案为∶.
10 .若a2﹣b2=80,a+b=10,则a﹣b= .
【答案】8
【分析】先根据平方差公式进行变形,再求出a﹣b即可.
【详解】解:∵a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)=80,a+b=10,
∴a﹣b==8,
故答案为:8.
11. .方程﹣=0的解为 .
【答案】x=﹣3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【详解】解:去分母得3(x+1)-2x=0.
解得x=-3.
经检验x=-3是分式方程的解.
故答案是x=-3.
12. 已知a、b是一元二次方程的两个根,那么的值是 .
【答案】3
【分析】根据根与系数的关系,进行计算即可.
【详解】解:∵a、b是一元二次方程的两个根,
∴,
∴;
故答案为:.
13. 如图,在中,E是线段的中点,交于点F,则 .
【答案】
【分析】由题意易得,然后问题可求解.
【详解】解:∵四边形是平行四边形,
∴,,
∴,
∵E是线段的中点,
∴,
∴,
∴;
故答案为.
14. 如图如图,四边形内接于,若它的一个外角,则的度数为_______
【答案】
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出,再根据圆周角定理即可求解.
【详解】解:∵四边形内接于,
∴,
∵,
∴,
∴.
故答案为:
某市为提倡居民节约用水,自今年1月1日起调整居民用水价格.
图中、分别表示去年、今年水费(元)与用水量()之间的关系.
小雨家去年用水量为150,若今年用水量与去年相同,水费将比去年多 元.
【答案】210.
【分析】根据函数图象中的数据可以求得时,对应的函数解析式,从而可以求得时对应的函数值,由的的图象可以求得时对应的函数值,从而可以计算出题目中所求问题的答案,本题得以解决.
【详解】设当时,对应的函数解析式为,
,得,
即当时,对应的函数解析式为,
当时,,
由图象可知,去年的水价是(元/),故小雨家去年用水量为150,需要缴费:(元),
(元),
即小雨家去年用水量为150,若今年用水量与去年相同,水费将比去年多210元,
故答案为210.
16 .如图,将矩形纸片沿折叠后,点D、C分别落在点、的位置,
的延长线恰好经过B点,若,,则等于 .
【答案】4
【分析】根据矩形及折叠的性质可知,,,则,设,则,,利用勾股定理可得:,即:,求出即可求得的长度.
【详解】解:∵四边形是矩形,,
∴,,,
∴,
由折叠可知,,,
∴,
∴,
设,则,,
则由勾股定理可得:,即:,
解得:,
则,
故答案为:4.
三、解答题(本大题共11 小题,共88分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(7分) 先化简,再求值:,其中.
【答案】,
【分析】先算括号里的,再算除法,最后把代入进行求解即可得.
【详解】解:
当时,原式.
18 .解不等式组,将解集用数轴表示出来,并写出它的所有整数解.
【答案】不等式组的解集为﹣3<x≤1,将不等式组的解集表示在数轴上见解析,
整数解为﹣2、﹣1、0、1.
【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集,继而可得其整数解.
【详解】解:解不等式2(x+8)≤10﹣4(x﹣3),得:x≤1,
解不等式,得:x>﹣3,
则不等式组的解集为﹣3<x≤1,
将不等式组的解集表示在数轴上如下:
所以不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0、1.
19.(7分) 如图,在平行四边形ABCD中,点E、F在对角线BD上,且BE=DF.求证:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形AECF是平行四边形.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)根据平行四边形的性质可得,,根据平行线的性质可得,结合已知条件根据SAS即可证明;
(2)根据可得,根据邻补角的意义可得,可得,根据一组对边平行且相等即可得出.
【详解】(1)证明:解:∵四边形是平行四边形,
∴,,
∴,
又,
∴(SAS);
(2)证明:∵,
∴
∴,
∴四边形AECF是平行四边形
20.(8分)某校举办了校服设计大赛,并从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,
要求每名学生从个获奖作品中选择一个自己最喜欢的作品,
根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
请你根据图中信息解答下列问题:
(1)参加此次问卷调查的学生人数是 ;
(2)在扇形统计图中,选择“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数是 ;
(3)将条形统计图补充完整;
(4)若该校七年级学生共有名,请估计七年级学生中选择“作品”的人数.
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)人
【分析】(1)根据作品所占的人数与所占的百分数即可得到参加此次调查的总人数;
(2)根据作品占总调查人数的百分数即可得到作品所占扇形的圆心角;
(3)用总人数减去其它人数,求出“作品”的人数,从而补统计图;
(4)用样本估计总体即可.
【详解】(1)解:∵参加作品调查的人数为:人,参加作品调查的百分数为:,
∴参加此次问卷调查的学生人数是:(人);
故答案为:人;
(2)解:∵参加作品的人数为:人,参加调查的总人数为:人,
∴选择“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数是:,
故答案为:.
(3)解:∵参加调查的总人数为:人,参加作品的人数为:人,参加作品的人数为:人,参加作品调查的人数为:人,
∴参见作品的人数为:(人),
∴补全条形统计图如图所示,
(4)解:∵参加作品的人数为:人,抽样调查的总人数为:人,
∴选择“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数:(人).
答:估计七年级学生中选择“作品”的人数为人.
21.(8分) 2022年冬奥会和冬残奥会在我国举行.
如图,冬奥会的会徽和吉祥物为“冬梦”、“冰墩墩”,
冬残奥会的会徽和吉祥物为“飞跃”、“雪容融”,
将4张正面分别印有以上图案的卡片随机分成甲、乙两组,每组2张.
(1)“冰墩墩”在甲组的概率是______;
(2)求每组的2张卡片恰是会徽和对应吉祥物的概率,
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据概率公式求解即可;
(2)设冬奥会的会徽和吉祥物为“冬梦”为A、“冰墩墩”为a,冬残奥会的会徽和吉祥物为“飞跃”为B、“雪容融”为b,列表法求概率即可求解.
【详解】(1)共2个组,则“冰墩墩”在甲组的概率是,
故答案为:;
(2)设冬奥会的会徽和吉祥物为“冬梦”为A、“冰墩墩”为a,冬残奥会的会徽和吉祥物为“飞跃”为B、“雪容融”为b,列表如下,
A a B b
A A a A B A b
a a A a B a b
B B A B a B b
b b A b a b B
则共有12种情形,其中每组的2张卡片恰是会徽和对应吉祥物的有4种,
则每组的2张卡片恰是会徽和对应吉祥物的概率为.
22.(8分) 第19届杭州亚运会,吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”,
如图,某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动,
拟购买30套吉祥物(“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”)作为竞赛奖品.某商店有甲,乙两种规格,
其中乙规格比甲规格每套贵20元.
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同,求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格;
(2)在(1)的条件下,若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍,如何购买才能使总费用最少?
解:(1)设甲规格吉祥物每套价格元,则乙规格每套价格为元,
根据题意,得,
解得.
经检验,是所列方程的根,且符合实际意义.
.
答:甲规格吉祥物每套价格为70元,乙规格每套为90元.
(2)设乙规格购买套,甲规格购买套,总费用为元
根据题意,得
,
解得,
,
,
随的增大而增大.
当时,最小值.
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少.
23.(8分) 如图①是一台手机支架,图②是其侧面示意图,、可分别绕点、转动,
测量知,.当,转动到,时,
求点到直线的距离.
(精确到,参考数据:,,)
【答案】点到的距离为
【分析】过点作,垂足为,过点作,垂足为,过点作,垂足为,易得,在中,,在中,,再用,即可得解.
【详解】解:过点作,垂足为,过点作,垂足为,过点作,垂足为,
∴,
∴四边形是矩形,
∴,
在中,,,
∴,
,
∵,
∴,
∴,
在中,,
∴,
∴,
∴,
∴点到的距离为.
24 .(8分) 如图,一次函数的图象与y轴交于点C,
与反比例函数的图象交于,两点.
(1)求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式;
(2)连接、,求的面积;
(3)在x轴上找一点P,使的值最小,求满足条件的点P的坐标.
【答案】(1)、;
(2)4
(3)
【分析】(1)把,两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值,再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值;
(2)求得C的坐标,然后根据求得即可;
(3)作B点关于x轴的对称点,连接交x轴于P点,则,利用两点之间线段最短可判断此时的值最小,再利用待定系数法求出直线的解析式,然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标.
【详解】(1)解:把,两点的坐标代入,
得,
,解得,
则、,
把代入,得,
∴反比例函数的表达式为;
(2)解:∵一次函数的图象与y轴交于点C,
∴,
∴,
∵、,
∴;
(3)解:作B点关于x轴的对称点,连接交x轴于P点,则,
∵,
∴此时的值最小,
设直线的解析式为,
把点,的坐标代入,得,
解得,
∴直线的解析式为,
当时,,解得:,
∴点P的坐标为.
25.(8分) 如图①,在中,,是外接圆上一点,连接,
过点作,交的延长线于点,交于点.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)如图②,若为直径,,,求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)利用平行线的性质,等弧对相等的圆周角,证得即可;
(2)连接,,利用平行线的性质证得,再利用圆的内接四边形的性质证得,得到,再利用圆周角定理得到,最后在中即可求解.
【详解】(1)证明:∵,
∴,
∵,
∴
∵,
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形;
(2)连接,,如图所示,
∵,
∴,
∵四边形是的内接四边形,
∴,
∴,
∴,
∵为直径,
∴,
∵,,
∴,
∴
26 .(9分) 如图,抛物线交轴于,两点,交轴于点,
直线的表达式为.
(1)求抛物线的表达式;
(2)动点在直线上方的二次函数图像上,连接,,设四边形的面积为,
求的最大值;
(3)当点为抛物线的顶点时,在轴上是否存在一点,
使得以,,为顶点的三角形与相似?若存在,请求出点的坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)存在,的坐标为或
【分析】(1)用待定系数法即可求解;
(2)由,即可求解;
(3)分、、三种情况,分别求解即可.
【详解】(1)解:∵直线的表达式为,
当时,得:,
∴,,
当时,得:,解得:,
∴,,
∵抛物线交轴于,两点,交轴于点,
∴,
解得:,
∴抛物线的表达式为;
(2)过点作轴于点,
设,
∴,,,
∴,
∵抛物线交轴于,两点,
当时,得:,
解得:,,
∴,,
∵
,
又∵,即抛物线的图像开口向下,
∴当时,有最大值,最大值为.
(3)存在,理由:
∵,
∴,
又∵,,
∴,
,
,
∴,
∴,
如图所示,连接,
①,,
∴,,,
∴,
又∵,
∴,
∴当点的坐标为时,;
过点作,交轴与点,
∵为直角三角形,,
∴,,
∴,
又∵,
∴,
∴,即,
解得:,
∴;
过点作,交轴与点,
∵为直角三角形,,
∴,,
∴,
又∵,
∴,
∴,即,
解得:,
∴,
此时点在轴上,不符合题意,舍去.
综上所述:当在轴上的点的坐标为或时,以,,为顶点的三角形与相似.
27.(9分) 【问题发现】
(1)如图1,在等腰直角中,点D是斜边上任意一点,在的右侧作等腰直角,使,,连接,则和的数量关系为 ;
【拓展延伸】
(2)如图2,在等腰中,,点D是边上任意一点(不与点B,C重合),在的右侧作等腰,使,,连接,则(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由;
【归纳应用】
(3)在(2)的条件下,若,,点D是射线上任意一点,请直接写出当时的长.
【答案】(1)相等(2)成立,理由见解析(3)6或2
【分析】(1)利用证明 ,得;
(2)先证明,再证明得,从而,然后再证明可证结论成立;
(3)先证明,再证明得,从而,然后再证明可证结论成立.
【详解】解:(1)相等,∵和都是等腰直角三角形,
∴,
∴,
即,
∴,
∴,
故答案为:相等;
(2)成立,
理由:∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴∠;
(3)当点D在线段上时,如图2,
由(2)知,,
∴,
∴,
∴.
当点D在线段的延长线上时,如图3,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴∠BAD=∠CAE,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
综上可知,的长为2或6.
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