2024年中考 数学专题提升03 代数式、整式与因式分解（含答案）

　代数式、整式与因式分解
1. 根据下列实际问题列代数式：
(1)一台电视机原价是2 500元，现按原价的八折出售，则购买a台这样的电视机需要___________元；
(2)购买一个篮球需要80元，购买一个足球需要100元，则购买m个篮球和n个足球共需____________元；
(3)长方形绿地的长是a m，宽是b m，若长增加了x m，则增加后的绿地面积是________m2.
2. 求下列代数式的值：
(1)若a＝3，则代数式a2－2a的值为________；
(2)若a2＋2a＝1，则代数式2a2＋4a－3的值为________；
(3)已知实数a，b满足(a－2)2＋|b＋1|＝0，则ab＝________．
3. 计算：
(1)4a＋2a－3a＝________； (2)3a2b－a2b＝________；
(3)(xy3)m＝________； (4)(－4a2)3＝________．
4. 计算：
(1)6x2·3xy＝________； (2)2x2y·(－xy2)3＝________；
(3)2b·(4a－b2)＝________； (4)(4y－1)(5－y)＝________．
5. 人教八上P104习题改编分解因式：
(1)2x－2y＝________；(2)x2－4y2＝________；(3)x2－6x＋9＝________．
6. 现有甲、乙两种不同的正方形纸片如图所示摆放，甲，乙的边长分别为a，b.
(1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分面积________；
　第6题图
(2)若a＋b＝3，a－b＝1，求图中阴影部分面积．
知识逐点过
考点1 列代数式及求值
列代数式 找出问题中的数量关系及公式，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来
代数式求值 1. 直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值2. 整体代入法：(1)观察已知条件和所求代数式的关系；(2)将所求代数式变形成含有已知等式或部分项的形式，一般会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式；(3)把已知等式或部分项之和看成一个整体代入所求代数式中求值
考点2 　整式的相关概念
单项式 1．概念：由数字与字母或字母与字母的乘积所组成的代数式叫做单项式．单独一个数字或字母也是单项式；2．单项式的系数：单项式中的数字因数；3．单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数之和
多项式 1.概念：几个单项式的和叫做多项式；2．多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，如2x＋x2y的次数是①________
整式 单项式与多项式统称为整式
考点3 　整式的运算(
1. 整式的加减运算(实质：合并同类项)
同类项 所含字母相同，并且相同字母的②________也相同
合并同类项 (1)字母和字母的③________不变；(2)④________相加减作为新的系数
去括号法则 若括号前是“＋”，去括号时括号内各项不变号，如a＋(b－c)＝a＋b－c；若括号前是“－”，去括号时括号内每一项都变号，如a－(b－c)＝a－b＋c(“＋”不变，“－”变)
【温馨提示】整式加减运算可归纳为：先去括号，再合并同类项
2. 幂的运算
同底数幂相乘 底数不变，指数相加，如a3·a2＝⑤________
同底数幂相除 底数不变，指数相减，如a3÷a2＝⑥________
幂的乘方 底数不变，指数相乘，如(a3)2＝⑦________
积的乘方 先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，如(a2b)2＝⑧________
3. 整式的乘除运算
单项式乘单项式 把系数、同底数幂分别相乘作为积的一个因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
单项式乘多项式 用单项式分别去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加
多项式乘多项式 先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加
乘法公式 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑨________；完全平方公式：(a±b)2＝⑩________
单项式除以单项式 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
考点4 　因式分解
定义 把一个多项式化为几个整式的 ________的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解
基本方法 1. 提公因式法：ma＋mb＋mc＝ ________；2. 公式法：(1)a2－b2＝ ________；(2)a2±2ab＋b2＝ ________
一般步骤
【温馨提示】1.确定公因式的步骤：(1)系数：取各项系数的最大公约数；(2)字母：取各项中相同的字母；(3)指数：取各项相同字母的最低次幂；2．因式分解的结果必须是最简因式：(1)每个因式都必须是整式；(2)每个因式中不能再有公因式
考点5 　常见非负数及其性质
常见的非负数 1.实数的绝对值：|a| ________0；2.实数的平方：a2 ________0；3．二次根式： ________0(a≥0)
性质 若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0.如a2＋|b|＋＝0，则有a2＝0，|b|＝0，＝0，则a＝b＝c＝ ________
真题演练
命题点1 列代数式及求值
1. 已知x＝2y＋3，则代数式4x－8y＋9的值是________．
2. 已知x＝5－y，xy＝2.计算3x＋3y－4xy的值为________.
3. 若x＋＝且0＜x＜1，则x2－＝________．
4. 如图①所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图②所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形(图①)拼出来的图形的总长度是________(结果用含a，b代数式表示).
　
第4题图
命题点2 整式的相关概念
5. 单项式3xy的系数为________．
6. 如果单项式3xmy与－5x3yn是同类项，那么m＋n＝________．
命题点3 整式的运算
7. 下列计算正确的是(　　)
A. b6÷b3＝b2 B. b3·b3＝b9 C. a2＋a2＝2a2 D. (a3)3＝a6
8.已知9m＝3，27n＝4，则32m＋3n＝(　　)
A. 1 B. 6 C. 7 D. 12
9. 先化简，再求值：(x＋y)2＋(x＋y)(x－y)－2x2，其中x＝，y＝.
命题点4 因式分解
10. (2023广东11题3分·源于人教八上P114探究)因式分解：x2－1＝________．
11. (2020广东11题4分)分解因式：xy－x＝________．
12. (2018广东11题4分·源于北师八下P94第1题)分解因式：x2－2x＋1＝________．
命题点5 非负数
13.若|a－|＋＝0，则ab＝(　　)
A. B. C. 4 D. 9
14. 已知＋|b－1|＝0，则a＋1＝________．
15. 若＋|b＋1|＝0，则(a＋b)2020＝________．
基础过关
1.代数式－7x的意义可以是(　　)
A. －7与x的和 B. －7与x的差 C. －7与x的积 D. －7与x的商
2. 下列整式与ab2为同类项的是(　　)
A. a2b B. －2ab2 C. ab D. ab2c
3. 计算：(3a)2＝(　　)
A. 5a B. 3a2 C. 6a2 D. 9a2
4. 若(　　)·2a2b＝2a3b，则括号内应填的单项式是(　　)
A. a B. 2a C. ab D. 2ab
5. 计算：6xy3·(－x3y2)＝(　　)
A. 3x4y5 B. －3x4y5 C. 3x3y6 D. －3x3y6
6. 下列计算正确的是(　　)
A. (a2)3＝a6 B. a6÷a2＝a3 C. a3·a4＝a12 D. a2－a＝a
7. 下列因式分解正确的是(　　)
A. 2a2－4a＋2＝2(a－1)2 B. a2＋ab＋a＝a(a＋b)
C. 4a2－b2＝(4a＋b)(4a－b) D. a3b－ab3＝ab(a－b)2
8. 若单项式2xay3与xy2b－a的和仍为单项式，则b－a＝__________．
9. 分解因式：a2＋5a＝__________．
10. 分解因式：x2y－y3＝__________．
11. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x＋1)，请你写出一个符合条件的多项式__________．
12. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里(用含x的代数式表示).
13. 已知y2－my＋1是完全平方式，则m的值是__________．
14. 已知a，b满足|a＋3|＋＝0，则(a＋b)2 023＝__________．
15. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…，依此规律，第n个图案中有__________个白色圆片(用含n的代数式表示).
第15题图
16. (2023深圳)已知实数a，b，满足a＋b＝6，ab＝7，则a2b＋ab2的值为__________．
17. 若m，n满足3m－n－4＝0，则8m÷2n＝__________．
18. 化简：(x－2y)2－x(x－4y).
19. 已知a2＋3ab＝5，求(a＋b)(a＋2b)－2b2的值．
20. 先化简，再求值(2－a)(2＋a)－2a(a＋3)＋3a2，其中a＝－.
综合提升
21. 已知x＋2y－1＝0，则代数式的值为__________．
22. (数学文化)如图是著名的斐波那契螺旋线，若正方形ABCD的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径画，记为l1；以AD为边长，在右侧作正方形ADEF，以点A为圆心，AD的长为半径画，记为l2；以BF为边长，在上方作正方形BFGH，以点B为圆心，BF的长为半径画，记为l3，…，以此类推，按逆时针方向不断地在正方形内画圆弧，则l8的长为__________．
第22题图
新考法推荐
23. 设有边长分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a＋b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a＋b、宽为2a＋2b的矩形，则需要C类纸片的张数为(　　)
ABCD
第23题图
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
　代数式、整式与因式分解
1. (1)2 000a　【解析】2 500a×80%＝2 000a(元).
(2)(80m＋100n)
(3)b(a＋x)
2. (1)3　【解析】原式＝a(a－2)＝3×(3－2)＝3.
(2)－1　【解析】2a2＋4a－3＝2(a2＋2a)－3＝2×1－3＝－1.
(3)　【解析】∵(a－2)2＋|b＋1|＝0，∴a－2＝0且b＋1＝0，解得a＝2，b＝－1，∴ab＝2－1＝.
3. (1)3a；(2)2a2b；(3)xmy3m；(4)－64a6.
4. (1)18x3y；(2)－2x5y7；(3)8ab－2b3；(4)－4y2＋21y－5.
5. (1)2(x－y)；(2)(x＋2y)(x－2y)；(3)(x－3)2.
6. 解：(1)a2－b2；
(2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝3×1＝3.
知识逐点过
①3　②指数　③指数　④同类项的系数　⑤a5　⑥a　⑦a6　⑧a4b2
⑨a2－b2　⑩a2±2ab＋b2　 乘积　 m(a＋b＋c)　 (a＋b)(a－b)　 (a±b)2　 ≥　 ≥　 ≥　 0
真题演练
1. 21　【解析】∵x＝2y＋3，∴x－2y＝3，∴4x－8y＋9＝4×3＋9＝21.
2. 7　【解析】∵x＝5－y，∴x＋y＝5，又∵xy＝2，∴原式＝3(x＋y)－4xy＝3×5－4×2＝15－8＝7.
3. －　【解析】∵x＋＝，∴(x－)2＝(x＋)2－4＝()2－4＝，∵0＜x＜1，∴x－＜0，∴x－＝－，∴x2－＝(x＋)(x－)＝×(－)＝－.
4. a＋8b　【解析】由拼成的图案可知，9个水平正放置的基本图案的长度为9a，上下图形拼接部分的长度共为8(a－b)，∴拼成的图形的总长度为9a－8(a－b)＝a＋8b.
5. 3
6. 4　【解析】∵单项式3xmy与－5x3yn是同类项，∴m＝3，n＝1，∴m＋n＝3＋1＝4.
7. C　【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A b6÷b3＝b6－3＝b3≠b2 ×
B b3·b3＝b3＋3＝b6≠b9 ×
C a2＋a2＝2a2 √
D (a3)3＝a3×3＝a9≠a6 ×
8. D　【解析】32m＋3n＝32m×33n＝9m×27n＝3×4＝12.
9. 解：原式＝x2＋2xy＋y2＋x2－y2－2x2
＝2xy，(3分)
当x＝，y＝时，
原式＝2××＝2.(6分)
10. (x＋1)(x－1)
11. x(y－1)
12. (x－1)2
13. B　【解析】∵|a－|＋
＝|a－|＋＝0，
∴解得
∴ab＝×＝.
14. 2　【解析】∵＋|b－1|＝0，∴，解得，∴a＋1＝2.
15. 1　【解析】∵＋|b＋1|＝0，∴解得∴(a＋b)2020＝(2－1)2020＝1.
基础过关
1. C　【解析】－7x表示－7与x的积.
2. B　【解析】根据“字母相同，相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项”可知－2ab2与ab2是同类项．
3. D　【解析】(3a)2＝9a2.
4. A　【解析】根据单项式乘单项式法则，a·2a2b＝2a3b.
5. B　【解析】 原式＝－×6x1＋3·y3＋2＝－3x4y5.
6. A　【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A (a2)3＝a6 √
B a6÷a2＝a4≠a3 ×
C a3·a4＝a7≠a12 ×
D a2与a不是同类项，不能合并 ×
7. A　【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A 2a2－4a＋2＝2(a2－2a＋1)＝2(a－1)2 √
B a2＋ab＋a＝a(a＋b＋1)≠a(a＋b) ×
C 4a2－b2＝(2a＋b)(2a－b)≠(4a＋b)(4a－b) ×
D a3b－ab3＝ab(a＋b)(a－b)≠ab(a－b)2 ×
8. 1　【解析】∵单项式2xay3与xy2b－a的和仍为单项式，∴2xay3与xy2b－a为同类项，∴a＝1，2b－a＝3，∴b＝2，∴b－a＝1.
9. a(a＋5)　【解析】a2＋5a＝a(a＋5).
10. y(x＋y)(x－y)　【解析】x2y－y3＝y(x2－y2)＝y(x＋y)(x－y).
11. x2－1(答案不唯一)　【解析】∵x2－1＝(x＋1)(x－1)，因式分解后有一个因式为(x＋1)，∴这个多项式可以是x2－1.
12. (7.5－10x)　【解析】由题意可得，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为(7.5－10x)公里．
13. ±2　【解析】∵y2－my＋1是完全平方式，∴－m＝±2，解得m＝±2.
14. －1　【解析】根据题意得，a＋3＝0，b－2＝0，解得a＝－3，b＝2，∴(a＋b)2 023＝(－3＋2)2 023＝－1.
15. (2n＋2) 　【解析】由题图得，第1个图案中有2×1＋2＝4个白色圆片，第2个图案中有2×2＋2＝6个白色圆片，第3个图案中有2×3＋2＝8个白色圆片，∴第n个图案中有(2n＋2)个白色圆片.
16. 42　【解析】 a2b＋ab2＝ab(a＋b)，∵a＋b＝6，ab＝7，∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝42.
17. 16　【解析】∵3m－n－4＝0，∴3m－n＝4，∴8m÷2n＝23m÷2n＝23m－n＝24＝16.
18. 解：原式＝x2－4xy＋4y2－x2＋4xy
＝4y2.
19. 解：原式＝a2＋2ab＋ab＋2b2－2b2
＝a2＋3ab，
∵a2＋3ab＝5，
∴原式＝5.
20. 解：(2－a)(2＋a)－2a(a＋3)＋3a2
＝4－a2－2a2－6a＋3a2
＝4－6a，
当a＝－时，原式＝4－6×(－)
＝6.
21. 2　【解析】 原式＝＝，∵x＋2y－1＝0，∴x＋2y＝1，∴原式＝＝2.
22. π　【解析】由题可知，l1所在圆的半径为1，l2所在圆的半径为1，l3所在圆的半径为2，l4所在圆的半径为3，l5所在圆的半径为5，l6所在圆的半径为8，∴圆弧所在圆的半径规律为ln所在圆的半径等于ln－1所在圆的半径加上ln－2所在圆的半径(n为正整数，n≥3)，∴l7所在圆的半径为13，l8所在圆的半径为21，由题意可知，圆弧所对的圆心角为90°，∴l8＝×π×21＝π.
23. C　【解析】长为(3a＋b)，宽为(2a＋2b)的矩形的面积为(3a＋b)(2a＋2b)＝6a2＋2b2＋8ab，需要6张A类纸片，2张B类纸片和8张C类纸片．