2024年中考 数学专题提升05　一次方程(组)及其应用（含答案）

　一次方程(组)及其应用
1. 下列变形正确的是(　　)
A. 若mx＝my，则x＝y B. 若x＝y，则x－2＝y＋2
C. 若＝，则2x＝3y D. 若x＝y，则mx＝my
2. 解方程：－＝1.
【规范答题】
解：去分母，得________，
去括号，得________，
移项，得________，
合并同类项，得________，
系数化为1，得________．
3. 一家商店将某新款羽绒服先按进价提高50%标价，再按标价的八折销售，结果每件仍可获利50元，设这款羽绒服每件进价为x元，则标价为________元，售价为________元，
可列方程为____________．
4. 某班组织去看演出，甲种票每张26元，乙种票每张20元，如果38名同学购票恰好用去952元．设甲种票买了x张，则乙种票买了________张，可列方程为________；若设甲种票买了x张，乙种票买了y张，可列方程组为____________．
5. 请用下列方法解方程组.
解法一(代入消元法)：
解法二(加减消元法)：
知识逐点过
考点1 　等式的基本性质及其在解方程中的应用
性质1 等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等，即如果a＝b，那么a±c＝①________ 移项
性质2 等式的两边同时乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等，即如果a＝b，那么ac＝②________去分母；如果a＝b，那么＝③________(c≠0)系数化为1
考点2 　一元一次方程及其解法
概念 1.一元一次方程：只含有④________个未知数，并且未知数的最高次数是⑤________的整式方程；2. 方程的解：使方程两边的值相等的未知数的值
一般形式 ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)
解法步骤 1. 去分母：方程中未知数的系数有分母时，给方程的两边同乘分母的⑥________，不要漏乘不含分母的项(尤其是常数项)；分子是多项式的要添括号；2. 去括号：不要漏乘括号内的每一项；若括号前是负号，去括号后括号内各项均要⑦________；3. 移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(移项要⑧________) ；4. 合并同类项：系数相加，字母及其指数均不变；5. 系数化为1：方程两边同时除以未知数的⑨________，不要漏掉符号
考点3 　二元一次方程组及其解法
相关概念 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程
基本思想 消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程
解题方法 1.代入消元法：当方程组中一个未知数的系数是1或－1，或一个方程的常数项为0时，选择代入消元法较简单；2．加减消元法：当方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数或成整数倍关系时，选择加减消元法较简单
考点4 　一次方程(组)的实际应用
1. 列方程(组)解应用题的一般步骤
审 审清题意，分清题中的已知量，未知量
设 设关键未知数，一般求什么，就设什么，也可设间接未知数
列 找出适当等量关系，列方程(组)
解 解方程(组)
验 检验所解答案是否正确且符合实际
答 解答题需要作答，注意单位名称
2. 常见类型及关系式
购买问题 总价＝数量×单价；甲单价×甲数量＋乙单价×乙数量＝总价；甲数量＋乙数量＝总数量
销售、利润问题 售价＝标价×折扣；销售额＝售价×销量；利润＝售价－进价；利润率＝×100%
工程问题 工作总量＝工作效率×⑩________
行程问题 基本量间的关系：路程＝速度×时间相遇问题：总路程＝甲走的路程＋乙走的路程追及问题：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程同时不同地出发：前者走的路程＋两地间的距离＝追者走的路程
真题演练
命题点1 一次方程(组)及其解法
1. 二元一次方程组的解为________．
2. 已知关于x，y的方程组与的解相同，求a，b的值．
命题点2 一次方程(组)的实际应用
3. 《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
4. 学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书，若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1 240本，求男生、女生志愿者各有多少人？
拓展训练
5. 从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲地到乙地需54分钟，从乙地到甲地需42分钟．求甲地到乙地全程是多少千米？
一次方程(组)的含参问题
教材原题
例　
和都是方程ax－y＝b的解，求a与b的值．
变式题
1. 将含参二元一次方程变为含参方程组，求代数式的值．
已知是关于x，y的二元一次方程组的解，求m－2n的值．
2. 将含参二元一次方程变为含参方程组，求相关方程组的解．
已知是关于x，y的二元一次方程组的解，求关于m，n的二元一次方程组的解．
3. 将含参二元一次方程变为含参方程组，且两个含参方程组有相同解，求参数值．
已知是关于x，y的二元一次方程组和的解，求a，b，m，n的值．
基础过关
1. (跨学科整合)在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：I＝，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是(　　)
A. 等式的性质1 B. 等式的性质2
C. 分式的基本性质 D. 不等式的性质2
2. 关于x的一元一次方程2x＋m＝5的解为x＝1，则m的值为(　　)
A. 3 B. －3 C. 7 D. －7
3.下列4组数中，不是二元一次方程2x＋y＝4的解的是(　　)
A. B. C. D.
4. (跨学科整合)一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g.设蛋白质、脂肪的含量分别为x(g)，y(g)，可列出方程为(　　)
A. x＋y＝30 B. x＋y＝30
C. x＋y＝30 D. x＋y＝30
5. (数学文化) 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为(　　)
A. B. C. D.
6. 现有一把无刻度的直尺和四块一样的矩形纸片，已知纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片和直尺按如图所示的方式摆放在桌面上，则根据图中给出的数据可知直尺的长度是(　　)
A. 18 cm B. 17 cm
C. 16 cm D. 15 cm
第6题图
7. 方程组的解为__________．
8. 已知是方程组的解，则m＋n＝__________．
9. 小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元.已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．
10. 根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．
综合提升
11. 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本(三种图书都要买)，此次采购的方案有(　　)
A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种
12. 大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月(30天)的报酬是M型平板电脑一台和1 500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．
(1)这台M型平板电脑价值多少元？
(2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬(用含m的代数式表示)
新考法推荐
13. 定义新运算：(a，b)·(c，d)＝ac＋bd，其中a，b，c，d为实数．例如：(1，2)·(3，4)＝1×3＋2×4＝11.如果(2x，3)·(3，－1)＝3，那么x＝__________．
　一次方程(组)及其应用
1. D
2. 3(x＋2)－2(2x－3)＝6；3x＋6－4x＋6＝6；3x－4x＝6－6－6；－x＝－6；x＝6.
3. 1.5x，1.2x，1.2x＝x＋50
4. (38－x)，26x＋20(38－x)＝952，
5. 解：令，
解法一：将①变形为y＝4－x③，
将③代入到②中，得3x－(4－x)＝8，
解得x＝3，将x＝3代入到③中，得y＝1，
∴该方程组的解为；
解法二：①＋②得4x＝12，解得x＝3，
将x＝3代入到①中，得y＝1，
∴该方程组的解为.
知识逐点过
①b±c　②bc　③　④1　⑤1　⑥最小公倍数　⑦变号　⑧变号　⑨系数　⑩工作时间
真题演练
1. 　【解析】令，①×2得2x＋4y＝－4③，③－②得3y＝－6，解得y＝－2，将y＝－2代入①中，得x＋2×(－2)＝－2，解得x＝2，∴方程组的解为.
2. 解：由题意得，
解得.
把代入ax＋2y＝－10，
得3a＋2＝－10，
解得a＝－4，(2分)
把代入x＋by＝15，得3＋b＝15，
解得b＝12.(4分)
3. 解：设学生有x人，该书单价为y元．
根据题意可得，(4分)
解得，
答：学生有7人，该书单价为53元．(9分)
【一题多解】
设学生有x人，
由题意得，8x－3＝7x＋4，(4分)
解得x＝7，
则该书单价为8×7－3＝53(元).
答：学生有7人，该书单价为53元．(9分)
4. 解：设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，由题意可得
，
解得，
答：男生、女生志愿者各有12人、16人．
5. 解：设甲地到乙地的上坡路长x千米，平路长y千米，
根据题意得，
解得，
∴x＋y＝＋＝.
答：甲地到乙地全程是千米．
教材原题到重难考法
例　解：将和代入到ax－y＝b中，
得，解得.
1. 解：将代入到中，
得，解得，
∴m－2n＝5－2×2＝1.
2. 解：将代入到
中，得，
解得，
将代入到
中，
得，
解得.
【一题多解】
观察方程组可知，可将m＋n和m－n看成整体，
∴，解得.
3. 解：将代入到
中，得，
解得，
将和代入到
中，
得，
解得.
基础过关
1. B　【解析】将等式I＝，去分母得IR＝U，实质上是在等式的两边同时乘R，用到的是等式的性质2.
2. A　【解析】∵x＝1是一元一次方程2x＋m＝5的解，∴2×1＋m＝5，解得m＝3.
3. D　【解析】将选项A，B，C中x，y的值分别代入2x＋y＝4，均可使得原方程成立，只有选项D代入后等式不成立．
4. A　【解析】蛋白质的含量是x g，则碳水化合物的含量是1.5x g，根据题意列方程为x＋1.5x＋y＝30，即x＋y＝30.
5. A
6. D　【解析】设直尺的长度为x cm，纸片的宽度为y cm，则纸片的长度为2y cm，由题意可列方程组为，即，解得.
7. 　【解析】令，
①×3－②得8x＝8，解得x＝1，将x＝1代入①，得3＋y＝5，解得y＝2，
∴方程组的解为.
8. 2　【解析】把代入方程组得，①＋②得2m＋2n＝4，∴m＋n＝2.
9. 解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则这种小笔记本的单价是(x－3)元，
根据题意，得4x＋6(x－3)＝62，
解得x＝8.
答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元．
10. 解：设调整前甲地销售单价为x元，乙地销售单价为(x＋10)元，
∴可列方程(1＋10%)x＋1＝x＋10－5，
解得x＝40，
∴乙地调整前销售单价为40＋10＝50(元).
答：甲地调整前销售单价为40元，乙地调整前销售单价为50元.
11. B　【解析】设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中5≤x≤6，y>0，z>0，且x，y，z均为整数，根据题意得，30x＋25y＋20z＝500，整理得，6x＋5y＋4z＝100，①当x＝5时，6×5＋5y＋4z＝100，∴y＝，∵y>0，z>0，且y，z均为整数，∴当70－4z＝10时，y＝2，∴z＝15；当70－4z＝30时，y＝6，∴z＝10；当70－4z＝50时，y＝10，∴z＝5；②当x＝6时，6×6＋5y＋4z＝100，∴y＝，∵y>0，z>0，且y，z均为整数，∴当64－4z＝20时，y＝4，∴z＝11；当64－4z＝40时，y＝8，∴z＝6；当64－4z＝60时，y＝12，∴z＝1.综上，此次共有6种采购方案．
12. 解：(1)设这台M型平板电脑价值x元，
由题意，得＝，
解得x＝2 100.
答：这台M型平板电脑价值2 100元；
(2)由题意，得m·＝120m.
答：小敏应获得120m元的报酬．
13. 1　【解析】由题意知(2x，3)·(3，－1)＝2x·3＋3×(－1)＝6x－3＝3，∴x＝1.