2024年中考 数学专题提升06　分式方程及其应用（含答案）

　分式方程及其应用
1. 已知关于x的分式方程＝.
(1)若方程的解为x＝4，则m的值为________；
(2)若方程有增根，则m的值为________；
(3)若方程的解为负数，则m的取值范围是________；
(4)若方程无解，则m的值为________．
2. 根据要求解答下列问题：
(1)甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每天多加工20个零件，甲加工900个零件和乙加工600个零件所用的天数相同．设甲每天加工x个零件，则乙每天加工________个零件，甲加工900个零件所用时间为________天，乙加工600个零件所用时间为________天，可列方程为________；
(2)“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家7 km和11 km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3∶4，结果甲比乙提前20 min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3x km/h，乙的速度为________km/h，甲同学所用时间为________h，乙同学所用时间为_______h，可列方程为________；
(3)6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1 000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则A款相册的单价为__________元，
购买A款相册的数量为________，购买B款相册的数量为________，可列方程为________．
3. 解下列方程：
(1)－1＝；
(2)＋1＝；
(3)－＝1.
知识逐点过
考点1 　分式方程及其解法
概念 分母里含有①________的方程
解分式方程的一般步骤
【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根不仅是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根
考点2 　分式方程的实际应用(6年4考)★重点
行程问题 ＝时间
工程问题 ＝工作时间(当题干中没有给出具体工作总量时，默认工作总量为1)
购买、盈利问题 ＝数量，＝单价
【温馨提示】双检验——1.检验是否是分式方程的解；2.检验是否符合实际情况
真题演练
命题点 分式方程的实际应用
1. 某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12 km.甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10 min，求乙同学骑自行车的速度．
2. 某公司购买了一批A，B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3 120元购买A型芯片的条数与用4 200元购买B型芯片的条数相等．
(1)求该公司购买的A，B型芯片的单价各是多少元？
(2)若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6 280元，求购买了多少条A型芯片？
基础过关
1. 把分式方程－＝0转化为整式方程时，方程两边需乘(　　)
A. x B. x＋4 C. x(x－4) D. x(x＋4)
2.方程＝1的解是(　　)
A. x＝1 B. x＝－1 C. x＝5 D. x＝－5
3. 甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为(　　)
A. －＝ B. －＝ C. －＝ D. －＝
4. 某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5 000元，购买篮球用了4 000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程＝－30，则方程中x表示(　　)
A. 足球的单价 B. 篮球的单价 C. 足球的数量 D. 篮球的数量
5. (数学文化)《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6 210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设6 210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是(　　)
A. 3(x－1)＝ B. 3(x－1)＝6 210 C. 3(x－1)＝ D. ＝3x
6.方程＝的解为__________．
7. 若关于x的分式方程－＝1(m为常数)有增根，则增根是__________．
8. 解分式方程：＋＝1.
9. 为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：
(1)更新设备后每天生产__________件产品(用含x的式子表示)；
(2)更新设备前生产5 000件产品比更新设备后生成6 000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．
综合提升
10.关于x的方程－3＝的解为非负数，则m的取值范围是__________．
11. 某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
(1)该公司花费3 000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1 260元、1 200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
新考法推荐
12. (注重学习过程)小丁和小迪分别解方程：－＝1过程如下：
小丁：解：去分母，得x－(x－3)＝x－2.去括号，得x－x＋3＝x－2.合并同类项，得3＝x－2.解得x＝5.∴原方程的解是x＝5.
　
小迪：解：去分母，得x＋(x－3)＝1.去括号，得x＋x－3＝2.合并同类项，得2x－3＝1.解得x＝2.经检验，x＝2是方程的增根，故原方程无解．
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
　分式方程及其应用
1. (1)　【解析】将x＝4代入得，＝，解得m＝；
(2)0　【解析】方程两边同时乘x(2x＋1)，去分母得，2(2x＋1)＝mx，去括号得4x＋2＝mx，合并同类项得，(4－m)x＝－2，系数化为1得，x＝，∵原分式方程有增根，∴x(2x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－，当x＝0时，无解；当x＝－时，(4－m)×(－)＝－2，解得m＝0；
(3)m＜4且m≠0　【解析】∵方程的解为负数，且x≠－，∴＜0，且≠－，解得m＜4且m≠0；
(4)4或0　【解析】当4－m＝0，即m＝4时，该方程无解；当m≠4时，要使原方程无解，由(2)得m＝0，∴m的值为4或0.
2. (1)(x－20)，，，＝
(2)4x，，，－＝
(3)(x＋3)，，，＝2×
3. 解：(1)去分母，可得2－(x－3)＝－1，
去括号，可得2－x＋3＝－1，
移项、合并同类项，可得－x＝－6，
系数化1，可得x＝6，
检验：当x＝6时，x－3≠0，
∴x＝6是原分式方程的解；
(2)去分母，方程两边同时乘以3(x－1)，可得2x＋3(x－1)＝3x.
去括号2x＋3x－3＝3x，
移项、合并同类项，可得2x＝3.
系数化1，可得x＝.
检验：当x＝时，3(x－1)≠0，
∴x＝是原分式方程的解；
(3)去分母，方程两边同时乘以(x＋1)(x－1)，可得x(x＋1)－4＝(x＋1)(x－1).
去括号x2＋x－4＝x2－1，
移项、合并同类项，可得x＝3.
检验：当x＝3时，(x＋1)(x－1)≠0，
∴x＝3是原分式方程的解．
知识逐点过
①未知数　②最简公分母
真题演练
1. 解：设乙同学骑自行车的速度为x km/h，则甲同学骑自行车的速度为1.2x km/h，
由题意得－＝，(4分)
解得x＝12.
经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙同学骑自行车的速度为12 km/h.(7分)
2. 解：(1)设B型芯片的单价是x元，则A型芯片的单价是(x－9)元，
根据题意，得＝，
解得x＝35，
经检验，x＝35是原分式方程的解，且符合实际，
∴x－9＝26，
答：A型芯片的单价是26元，B型芯片的单价是35元；
(2)设购买了a条A型芯片，则购买(200－a)条B型芯片，
根据题意，得26a＋35(200－a)＝6 280，
解得a＝80.
答：购买了80条A型芯片．
基础过关
1. D
2. B　【解析】去分母，得2＝x＋3，解得x＝－1.经检验，x＝－1是原分式方程的解．
3. A　【解析】∵乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，且甲工程队每个月修x千米，∴乙工程队每个月修(x＋1)千米．根据题意得－＝.
4. D　【解析】所列方程为＝－30，根据等量关系篮球单价比足球单价贵30元，即足球单价＝篮球单价－30，∴表示足球单价，表示篮球单价，∴x表示篮球的数量．
5. C　【解析】设6 210文能购买x株椽，则一株椽的价钱为文，由题意可知，3(x－1)＝.
6. x＝1　【解析】去分母，得6x＝5x＋1，移项、合并同类项，得x＝1.检验：当x＝1时，2x(5x＋1)≠0，∴x＝1是原分式方程的解．
7. x＝4　【解析】∵关于x的分式方程－＝1(m为常数)有增根，∴x－4＝0，解得x＝4.
8. 解：＋＝1，
＋＝1，
方程两边都乘(x＋1)(x－1)，得1＋x(x－1)＝(x＋1)(x－1)，
解得x＝2，
检验：当x＝2时，(x＋1)(x－1)≠0，
∴x＝2是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝2.
9. 解：(1)1.25x；
(2)根据题意，得＝＋2,
解得x＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合实际，
∴1.25x＝1.25×100＝125(件).
答：更新设备后每天生产125件产品．
10. m≥－5且m≠－3　【解析】去分母，得x＋m－3(x－2)＝1－x，去括号，得x＋m－3x＋6＝1－x，移项、合并同类项，得－x＝－5－m，系数化为1，得x＝m＋5.∵关于x的方程－3＝的解为非负数， ∴m＋5≥0，解得m≥－5.∵x－2≠0，∴m＋5－2≠0，即m≠－3，∴m的取值范围是m≥－5且m≠－3.
11. 解：(1)设购买杂酱面x份，则购买牛肉面(170－x)份，
根据题意，得15x＋20(170－x)＝3 000，
解得x＝80，
∴购买牛肉面170－80＝90(份).
答：该公司购买杂酱面80份，牛肉面90份；
(2)设购买牛肉面y份，则购买杂酱面(1＋50%)y份，
根据题意，得＝－6，
解得y＝60，
经检验，y＝60是原分式方程的解，且符合题意．
答：该公司购买牛肉面60份．
12. 解：×，×；小丁和小迪的解法都不正确，正确的解答过程如下：
－＝1，
去分母，得x＋(x－3)＝x－2，
去括号，得x＋x－3＝x－2，
移项，合并同类项，得x＝1.
检验：当x＝1时，x－2≠0，
∴x＝1是原分式方程的解，
故原分式方程的解是x＝1.