2024年中考 数学专题提升07　一元二次方程及其应用（含答案）

　一元二次方程及其应用
1. 已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋1＝0.
(1)当m＝1时，此方程根的情况为________；
(2)若此方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为________；
(3)若此方程有两个相等的实数根，则实数m的值为________；
(4)若此方程没有实数根，则实数m的取值范围为________．
2. 已知方程x2－3x＋2＝0的两根分别是x1，x2，则x1＋x2＝________；x1x2＝________；x＋x＝________；(x1－x2)2＝________；＋＝________．
3. 根据下列问题列方程：
(1)为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2021年到2023年两年内由5万册增加到7.2万册．设这两年藏书的年平均增长率为x，根据题意可列方程为____________；
(2)学校组织一次足球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了28场，则有几支球队参赛？设有x支球队参赛，根据题意可列方程为____________；
(3)在“文博会”期间，某公司展销如图所示的矩形工艺品，该工艺品长60 cm，宽40 cm.中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为650 cm2，设丝绸花边的宽为x cm，根据题意可列方程为____________；
第3题图
(4)商场将进货价为30元/件的某种商品以60元/件出售时每天能卖出20件，若每降价1元，则每天可多卖出4件，若降价x元，每 天盈利1 200元，则可列方程为____________．
4. 请用如下三种不同的方法解方程：x2－3x＋2＝0.
解法一(因式分解法)：　　　　　　解法二(配方法)：　　　　　　解法三(公式法)：
知识逐点过
考点1 　一元二次方程的相关概念
概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①______的整式方程
一般形式
考点2 　一元二次方程的解法
解法 适用情况或步骤
直接开平方法 1. 当方程缺少一次项时，即方程ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0)；2. 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程
因式分解法 1. 常数项为0，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)；2. 一元二次方程的一边为0，而另一边是易于分解成两个一次因式的乘积注：方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式
公式法 1. 要先把一元二次方程化为一般形式；2. 确定a，b，c的值时要带符号；3. 判断：若b2－4ac≥0，则利用求根公式x＝②________；若b2－4ac＜0，则原方程无解
配方法 1. 适用情况：(1)二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程；(2)各项的系数比较小且便于配方的情况2. 步骤：(1)把二次项系数化为1，即方程两边同除以二次项系数；(2)把常数项移到方程等号的另一边，即x2＋px＝－q；(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程整理成(x＋)2＝－q＋()2的形式；(4)运用直接开平方法解方程
考点3 　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
概念 一般地，式子③________叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式
根的情况与判别式的关系 1.b2－4ac④________0 方程有两个不相等的实数根；2．b2－4ac⑤________0 方程有两个相等的实数根；3．b2－4ac＜0 方程⑥________实数根
根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两实根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝
考点4 　一元二次方程的实际应用
平均变化率问题 1. 变化率＝×100%；2. 设a为原来量，当m为平均增长率，增长次数为2，b为增长后的量时，则⑦______＝b；3. 设a为原来量，当m为平均下降率，下降次数为2，b为下降后的量时，则⑧______＝b
利润问题 1. 利润＝售价－成本；2. 利润率＝×100%
每每问题 单价每涨a元，少卖b件．若涨价y元，则少卖的数量为·y件
面积问题 S阴影＝(a－2x)(b－2x) S阴影＝(a－x)(b－x) S阴影＝(a－x)(b－x)
真题演练
命题点1 一元二次方程的解法
1. 若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，则a＝________．
2. 若一元二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c为常数)的两根x1，x2满足－3＜x1＜－1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为____________．
命题点2 一元二次方程根的判别式
3. 关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　)
A. m＜ B. m≤ C. m＞ D. m≥－
命题点3 一元二次方程根与系数的关系
4. 已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是(　　)
A. x1≠x2 B. x－2x1＝0 C. x1＋x2＝2 D. x1·x2＝2
基础过关
1. 用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是(　　)
A. (x＋6)2＝28 B. (x－6)2＝28 C. (x＋3)2＝1 D. (x－3)2＝1
2. 一元二次方程x2－5x＋2＝0根的判别式的值是(　　)
A. 33 B. 23 C. 17 D.
3.关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情况是(　　)
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
4. 若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为(　　)
A. －9 B. － C. D. 9
5. 若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则(　　)
A. x1＋x2＝6 B. x1＋x2＝－6 C. x1x2＝ D. x1x2＝7
6. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为(　　)
A. 3.2(1－x)2＝3.7 B. 3.2(1＋x)2＝3.7
C. 3.7(1－x)2＝3.2 D. 3.7(1＋x)2＝3.2
7. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)
A. k>且k≠1 B. k> C. k≥且k≠1 D. k≥
8. 已知关于x的方程x2＋mx－20＝0的一个根是－4，则它的另一个根是___________．
9.在某次会议期间，为达成友好合作，每两个人见面都会互送名片，若共送名片380张，设参加这次会议的有x人，则可列方程为__________．
10. 若实数a，b分别满足a2－3a＋2＝0，b2－3b＋2＝0，且a≠b，则＋＝__________．
11. 解方程：x2－2x＝0.
综合提升
12. 已知a，b是方程x2＋3x－4＝0的两根，则a2＋4a＋b－3＝__________．
13. 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，且a≠0).
(1)若a＝，b＝1，c＝－，求x的值；
(2)若b＝a＋c，求证：方程总有实数根．
14. 如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
第14题图
15. (开放性试题)设一元二次方程x2＋bx＋c＝0.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝－1；④b＝2，c＝2.
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
　一元二次方程及其应用
1. (1)没有实数根；【解析】当m＝1时，原方程为x2＋x＋1＝0，此时b2－4ac＜0，∴当m＝1时，此方程没有实数根；
(2)m＜－2或m＞2；【解析】∵一元二次方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2；
(3)2或－2；【解析】∵一元二次方程x2＋mx＋1＝0有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝0，即m2－4＝0，解得m＝±2；
(4)－2＜m＜2.【解析】∵一元二次方程x2＋mx＋1＝0没有实数根，∴b2－4ac＜0，即m2－4＜0，解得－2＜m＜2.
2. 3；2；5；1；.【解析】∵x1，x2是方程x2－3x＋2＝0的两根，∴x1＋x2＝3，x1x2＝2；x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝9－4＝5；(x1－x2)2＝x＋x－2x1x2＝5－4＝1；＋＝＝.
3. (1)5(1＋x)2＝7.2；
(2)x(x－1)＝28；
(3)(60－2x)(40－x)＝60×40－650；
(4)(60－30－x)(20＋4x)＝1 200.
4. 解：解法一(因式分解法)：方程x2－3x＋2＝0可化为(x－1)(x－2)＝0，
∴x－1＝0或x－2＝0，
解得x1＝1，x2＝2；
解法二(配方法)：移项得x2－3x＝－2，
配方得x2－3x＋()2＝－2＋()2，
整理得(x－)2＝，
开方得x－＝±，
解得x1＝1，x2＝2；
解法三(公式法)：∵(－3)2－4×1×2＝1＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝1，x2＝2.
知识逐点过
①2　②　③b2－4ac
④＞　⑤＝　⑥没有　⑦a(1＋m)2
⑧a(1－m)2
真题演练
1. 1　【解析】将x＝1代入方程x2－2x＋a＝0中，得1－2＋a＝0，解得a＝1.
2. x2－4＝0(答案不唯一)　【解析】设x1＝－2，x2＝2，∴(x＋2)(x－2)＝0，即x2－4＝0.
3. A　【解析】∵一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＞0，即(－3)2－4m＞0，解得m＜.
4. D　【解析】由x2－2x＝0得x1＝0，x2＝2，则x1≠x2；无论x为0或2时，均满足x－2x1＝0；x1＋x2＝0＋2＝2；x1·x2＝0×2＝0，从而可判断选项A，B，C正确，选项D错误．
基础过关
1. D　【解析】∵x2－6x＋8＝0，∴x2－6x＝－8，∴x2－6x＋9＝－8＋9，∴(x－3)2＝1.
2. C　【解析】∵x2－5x＋2＝0，a＝1，b＝－5，c＝2，∴b2－4ac＝(－5)2－4×1×2＝25－8＝17.
3. A　【解析】∵b2－4ac＝m2－4×(－8)＝m2＋32＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
4. C　【解析】∵x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝(－3)2－4m＝0，∴m＝.
5. A　【解析】∵x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，∴x1＋x2＝6，x1x2＝－7.
6. B
7. A　【解析】根据题意列出方程组，解得k>且k≠1.
8. 5　【解析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得－4t＝－20，解得t＝5，即方程的另一个根为5.
9. x(x－1)＝380
10. 　【解析】根据题意，∵a≠b，∴a，b是关于x的一元二次方程x2－3x＋2＝0的不相等的两个实数根，解方程x2－3x＋2＝0，得x1＝1，x2＝2，即a＝1，b＝2或a＝2，b＝1，∴＋＝1＋＝或＋＝＋1＝.
11. 解：x2－2x＝0，
因式分解，得x(x－2)＝0，
∴x＝0或x－2＝0，
∴x1＝0，x2＝2.
12. －2　【解析】∵a，b是方程x2＋3x－4＝0的两根，∴a2＋3a＝4，a＋b＝－3，∴原式＝a2＋3a＋a＋b－3＝4＋(－3)－3＝－2.
13. (1)解：∵a＝，b＝1，c＝－，
∴原方程为x2＋x－＝0，
即x2＋2x－3＝0，
配方，得(x＋1)2＝4，
∴x＋1＝2或x＋1＝－2，
解得x1＝1，x2＝－3，
∴x的值为1或－3；
(2)证明：∵b＝a＋c，
∴原方程可转化为ax2＋(a＋c)x＋c＝0，
∴(a＋c)2－4ac＝a2＋2ac＋c2－4ac＝a2－2ac＋c2＝(a－c)2≥0，
∴方程总有实数根．
14. 解：(1)设半圈的宽为x m，则长为70－2x＋2＝(72－2x) m，
根据题意，得x(72－2x)＝640，
化简，得x2－36x＋320＝0，
解得x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72－2x＝72－32＝40；
当x＝20时，72－2x＝72－40＝32.
答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈；
(2)不能，理由如下：
由题意得x(72－2x)＝650，
化简得x2－36x＋325＝0.
∵b2－4ac＝(－36)2－4×1×325＝－4<0，
∴一元二次方程没有实数根，
∴羊圈的面积不能达到650 m2.
15. 解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＞0，即b2＞4c，
∴②③均可，
选②解方程，则这个方程为x2＋3x＋1＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
选③解方程，则这个方程为x2＋3x－1＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.