2024年中考 数学专题提升08　一次不等式(组)及不等式的应用 （含答案）

　一次不等式(组)及不等式的应用
1. 若a＜b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A. a＋3＜b B. a＋2＜b＋1 C. －a＜－b D. 6a＜6b
2. 解不等式≤，并写出它的负整数解．
(1)去分母，得________；
(2)去括号，得________；
(3)移项、合并同类项，得________；
(4)系数化为1，得________；
(5)不等式的负整数解为________．
3. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得________；
(2)解不等式②，得________；
(3)将不等式①和②的解集在数轴上表示为：
第3题图
(4)原不等式组的解集为________；
(5)原不等式组的整数解之和为________．
4. 根据下列问题列不等式：
(1)小明从学校图书馆借到一本有108页的图书，计划在10天之内读完．如果开始前两天每天只读8页，那么他以后几天里平均每天至少要读多少页？设以后几天里平均每天要读x页，根据题意可列不等式为____________；
(2)某次知识竞赛一共有20道题，每答对一题得10分，答错或不答都扣5分．规定参赛者每道题都必须作答且总得分高于90分才算及格，则小红至少要答对多少道题才能及格．设参赛者答对x道题，则根据题意可列不等式为____________．
知识逐点过
考点1 　不等式的性质及在解不等式中的应用
性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，即若a＞b，则a±c①______b±c移项
性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即若a＞b，c＞0 ，则ac＞bc(或＞)去分母(或系数化为1)
性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即若a＞b，c＜0，则ac②____bc(或③____)去分母(或系数化为1)
考点2 　一元一次不等式的解法及解集表示
1. 解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
2. 解集的表示
解集 在数轴上的表示 总结
x＜a 在数轴上表示解集时，要注意：“≥”或“≤”是实心圆点，“＞”或“＜”是空心圆圈；小于向左，大于向右
x＞a
x≤a
x≥a
考点3 　一元一次不等式组的解法及解集表示
类型(a＞b) 在数轴上的表示 解集 口诀
④________ 同大取大
x≤b 同小取小
⑤________ 小大大小取中间
⑥________ 大大小小取不了
考点4 　一元一次不等式的实际应用
1. 一般步骤
找 找题目当中的不等关系
设 设未知数
列 根据不等关系，列出不等式
解 解不等式
答 根据题意作答(要注意所取值要符合实际意义，例如：人数必为正整数，当x表示人数且x≥3时，x的最小值为4，即至少有4人)
2. 常见关键词和不等号的对应关系
常见关键词 大于，多于，超过，高于 小于，少于，不足，低于 至少，不低于，不小于，不少于 至多，不高于，不大于，不超过
不等号 ＞ ＜ ⑦______ ⑧______
真题演练
命题点1 一元一次不等式(组)的解法及解集表示
1. 不等式3x－1≥x＋3的解集是(　　)
A. x≤4 B. x≥4 C. x≤2 D. x≥2
2. 一元一次不等式组的解集为(　　)
A. －1＜x＜4 B. x＜4 C. x＜3 D. 3＜x＜4
3.不等式组的解集为(　　)
A. 无解 B. x≤1 C. x≥－1 D. －1≤x≤1
4. 解不等式组.
命题点2 　一元一次不等式的实际应用
5. 某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打________折．
6. 某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．
(1)若购买这两类球的总金额为4 600元，求篮球、足球各买了多少个？
(2)若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
基础过关
1.用不等式的性质说明图片事实，则正确的是(　　)
第1题图
A. 若a＋c>b＋c，那么a>b
B. 若aC. 若a－c>b－c，那么a>b
D. 若ab>bc，那么a>b
2. 在数轴上表示不等式<0的解集，正确的是(　　)
　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(A)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(B)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(C)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(D))
3. 如果不等式组的解集是x<6，则a的取值范围是(　　)
A. a＝6 B. a≤6 C. a≥6 D. a>6
4. 若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是(　　)
A. B. C. D.
5. 小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为(　　)
A. 52＋15n>70＋12n B. 52＋15n<70＋12n C. 52＋12n>70＋15n D. 52＋12n<70＋15n
6. 不等式组的整数解有__________个．
7. 已知关于x的不等式组，其中实数a在数轴上对应的点如图所示，则不等式组的
解集为__________．
第7题图
解不等式组：.
9. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
第9题图
10. 风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行，现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输，已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
第10题图
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
(2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备．
11.某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用A，B两种机器人来搬运化工原料，其中A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运1 500千克所用时间与B型机器人搬运1 000千克所用时间相等．
(1)求A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料；
(2)若每台A型，B型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进A，B两种机器人共12台，工厂现有资金45万元，则最多可购进A型机器人多少台？
综合提升
12. 已知不等式组的解集是－1A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 023
13.关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y>2，写出a的一个整数值__________．
　一次不等式(组)及不等式的应用（答案）
1. D　【解析】A.a＋3＜b可化简为a＋3－3＜b－3，即a＜b－3，与题意不符，选项A不一定成立；B.a＋2＜b＋1可化简为a＜b－1，与题意不符，选项B不一定成立；C.不等式－a＜－b两边同乘以－1，不等号方向发生改变，即a＞b，与题意不符，选项C不成立；D.6a＜6b，不等式两边同乘，得a＜b，符合题意，故D选项正确．
2. (1)3(x－1)≤2(4x＋6)；
(2)3x－3≤8x＋12；
(3)－5x≤15；
(4)x≥－3；
(5)－3，－2，－1.
3. 解：(1)x≥－1；
(2)x＜2；
(3)解集在数轴上表示如解图；
第3题解图
(4)－1≤x＜2；
(5)0.【解析】由(4)知，不等式组的解集为－1≤x＜2，∴不等式组的整数解为－1，0，1，∴不等式组的整数解之和为－1＋0＋1＝0.
4. (1)(10－2)x＋2×8≥108；
(2)10x－5(20－x)＞90.
知识逐点过
①＞　②＜　③＜　④x≥a　⑤b≤x≤a　⑥无解　⑦≥　⑧≤
真题演练
1. D　【解析】3x－1≥x＋3，移项，得3x－x≥3＋1，合并同类项，得2x≥4，系数化为1，得x≥2.
2. D　【解析】令，解不等式①得x＞3，∴该不等式组的解集为3＜x＜4.
3. D　【解析】解不等式2－3x≥－1得x≤1，解不等式x－1≥－2(x＋2)得x≥－1，∴不等式组的解集是－1≤x≤1.
4. 解：解不等式2x－4＞3(x－2)得x＜2，
解不等式4x＞得x＞－1，
∴不等式组的解集是－1＜x＜2.
5. 8.8　【解析】设这种商品可以x折销售，则售价为5×0.1x，利润为5×0.1x－4，∴5×0.1x－4≥4×10%，解得x≥8.8，∴该商品最多可以打8.8折．
6. 解：(1)设买了x个篮球，y个足球，依题意，得，
解得.
答：篮球买了20个，足球买了40个；
(2)设购买了a个篮球，则购买了(60－a)个足球，
依题意，得70a≤80(60－a)，
解得a≤32.
答：最多可购买32个篮球.
基础过关
1. A
2. A　【解析】<0，x－1<0，x<1，在数轴上表示如选项A.
3. C
4. D　【解析】A选项：不等式组的解集为x<－1，不符合题意；B选项：不等式组的解集为－11，符合题意．
5. A
6. 5　【解析】 解不等式2x＋4≥0，得x≥－2；解不等式6－x＞3，得x＜3.∴原不等式组的解集为－2≤x＜3.∴x的整数解为－2，－1，0，1，2.
7. x<－2　【解析】 由题意得a<0，则－a>0.解不等式组，解不等式①，得x<－2，解不等式②，得x<－a，∴－2<－a，∴原不等式组的解集为x<－2.
8. 解：解不等式①，得x<1，
解不等式②，得x≥－3，
∴原不等式组的解集为－3≤x<1.
9. 解：解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x＞－2，
∴不等式组的解集为－2＜x≤2，
在数轴上表示其解集如解图．
第9题解图
10. 解：(1)设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，
由题意得，
解得.
答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨；
(2)设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥，
根据题意得(1.2＋0.8×3)·m＋8≤30，
解得m≤，
∵m为整数，
∴m最大取6.
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．
11. 解：(1)设A型机器人每小时搬运x千克化工原料，则B型机器人每小时搬运(x－30)千克化工原料，
根据题意，得＝，
解得x＝90，
经检验，x＝90是所列分式方程的解且符合题意，
∴90－30＝60 (千克).
答：A型机器人每小时搬运90千克化工原科，B型机器人每小时搬运60千克化工原科；
(2)设购进A型机器人a台，则购进B型机器人(12－a)台，
根据题意，得5a＋3(12－a)≤45，
解得a≤4.5，
∵a为整数，
∴a的最大值为4.
答：最多可购进A型机器人4台．
12. B　【解析】由x－a>2，得x>a＋2，由x＋113. 7(答案不唯一)　【解析】令，①－②，得x＋y＝a－3，∵x＋y>2，∴a－3>2，∴a>3＋2.∵4<8<9，∴2<2<3，∴5<2＋3<6，∴a的一个整数值可以是7.