2024年中考 数学专题提升09 平面直角坐标系与函数 （含答案）

平面直角坐标系与函数
1. 在平面直角坐标系中，已知点P(2m－1，3)，
(1)若点P在y轴上，则m的值为________；
(2)若点P在第二象限，则m的取值范围是________；
(3)若点P在第一、三象限的角平分线上，则m＝________；
(4)点Q的坐标为(2，n)，若直线PQ∥x轴，则点Q的坐标为________．
2. 在平面直角坐标系中，将点A(－1，1)向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B.
(1)点B的坐标为________；
(2)点B关于x轴对称的点的坐标为________，关于原点对称的点的坐标为________；
(3)将点B绕原点顺时针旋转90°得到的点的坐标为________；
(4)点B到x轴的距离为________，到y轴的距离为________，到原点的距离为________；
(5)已知点C(－3，1)，则A，C两点间的距离为________，B，C两点间的距离为________，A，B两点间的距离为________．
3. 求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)函数y＝中，自变量x的取值范围是________；
(2)函数y＝中，自变量x的取值范围是________；
(3)函数y＝中，自变量x的取值范围是________．
4. 在初中阶段，我们经历了列表、描点、连线、画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝－(x－1)(|x|－3)的图象和性质的部分过程，请补充完整．
x与y的几组对应值如下表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 －3 m －3 0 1 0 －3 …
(1)自变量x的取值范围是________，其中m＝________；
(2)如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，请通过描点、连线(光滑曲线)的方式补全该函数的图象；
　
第4题图
(3)函数与x轴的交点坐标为________，与y轴的交点坐标为________；
(4)当－1≤x≤1时，y随x的增大而________；(填“增大”或“减小”)
(5)当－3≤x≤3时，函数的最大值为________，最小值为________；
(6)当y＜0时，x的取值范围是________．
知识逐点过
考点1 　平面直角坐标系中点的坐标特征
1. 平面直角坐标系中点的坐标特征
各象限内 第一象限：横坐标①______0，纵坐标②______0；第二象限：横坐标＜0，纵坐标＞0；第三象限：横坐标＜0，纵坐标＜0；第四象限：横坐标③________0，纵坐标④________0
坐标轴上 点P(a，b)在x轴上 b＝0；点P(a，b)在y轴上 ⑤________；点P(a，b)为原点 a＝b＝⑥________
各象限角平分线上 第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标⑦________；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标⑧________
平行于坐标轴的直线上 平行于x轴的直线上的点的⑨________相等；平行于y轴的直线上的点的⑩________相等
点的对称 P(a，b)P1(a，－b)；P(a，b)P2 ________；P(a，b)P3 ________口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号；关于原点对称都变号
点的平移 P(a，b)P′(a，b＋c)；P(a，b)P′ ________；P(a，b)P′ ________；P(a，b)P′ ________口诀：x右加左减，y上加下减
2. 平面直角坐标系中的距离
点到坐标轴及原点的距离 点P(a，b)到x轴的距离是 ________；点P(a，b)到y轴的距离是 ________； 点P(a，b)到原点的距离是 ________
【温馨提示】点P(a，b)，Q(c，d)为平面直角坐标系中任意两点：(1)中点坐标公式：PQ中点坐标为(，)；(2)两点间距离：PQ＝
考点2 　函数的概念及表示方法
1. 函数及其图象
概念 (1)函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称x是自变量，y是x的函数；(2)函数值：y是x的函数，如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值；(3)在一个变化过程中，我们称发生变化的量为变量，有些量的数值是始终不变的，我们称之为常量
表示方法 (1)解析式法；(2)列表法；(3)图象法
画函数图象的步骤 (1)列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；(2)描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表中数值对应的各点；(3)连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用 ________连接起来
2. 函数自变量的取值范围
函数表达式的形式 自变量的取值范围 举例
含有分式 使 ____________的实数 函数y＝的自变量x的取值范围是________
含有二次根式 使________________的实数 函数y＝的自变量x的取值范围是________
含有分式与二次根式 使__________________________的实数 函数y＝的自变量x的取值范围是________
【温馨提示】在实际问题中，函数自变量的取值范围必须使实际问题有意义
真题演练
命题点1 平面直角坐标系中点的坐标特征
1. 在平面直角坐标系中，点(3，2)关于x轴对称的点的坐标为(　　)
A. (－3，2) B. (－2，3) C. (2，－3) D. (3，－2)
2. 在平面直角坐标系中，将点(1，1)向右平移2个单位后，得到的点的坐标是(　　)
A. (3，1) B. (－1，1) C. (1，3) D. (1，－1)
命题点2 函数的概念
3.水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是(　　)
A. 2是变量 B. π是变量 C. r是变量 D. C是常量
命题点3 分析判断函数图象
4. 如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为(　　)
　
第4题图
拓展训练
5. 由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时溶液呈酸性．若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是(　　)
教材原题到重难考法
提分要点
一、判断函数图象的方法
解决此类问题，要明确题中所给对象是自变量还是因变量，从所求出发分析题中已知条件，判断图象是否满足题意，得到正确结果．常用方法有以下几种：
1. 判断趋势法
根据题意分段，判断每段的增减变化趋势，从而寻找相应的图象．
2. 定点排除法
从选项中各图象的关键转折点入手，对应动点运动情况进行排除．
3. 求解析式法
根据题意求出每段的解析式，结合函数的图象与性质即可得到答案．
二、分析函数图象的方法
1. 弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量；
2. 找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在图象中找相对应的点，将坐标转化为实际意义；
3. 拐点：图象上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，反映函数图象在这一时刻开始发生变化，说明运动状态发生了变化；
4. 水平线：函数值随自变量的变化而保持不变；
5. 交点：表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等，这个交点是函数值大小关系的“分界点”．
分析判断几何问题中的函数图象
例　
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间 t如何变化？写出S关于 t的函数解析式及 t的取值范围．
　例题图
变式题
1. 改变Q点运动路径，判断函数图象
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 mm，BC＝8 mm，点P从点A出发沿A→B的路径以1 mm/s的速度运动到点B，点Q以4 mm/s的速度沿B→C→A的路径运动到点A，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．连接PQ、AQ，设出发时间为t，△APQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间的函数关系的是(　　)
　第1题图
2. 改变图形背景，探究面积与运动时间的关系
如图①，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线B→C→D运动到点D停止．图②是点P，Q运动时，△BPQ的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是(　　)
第2题图
A. 6 B. 9 C. 6 D. 12
基础过关
1. 在平面直角坐标系中，点P(－1，m2＋1)位于(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于y轴对称的点P′的坐标是(　　)
A. (－2，－3) B. (－2，3)
C. (2，－3) D. (2，3)
3. 函数y＝中，自变量x的取值范围是(　　)
A. x≤1 B. x≥－1 C. x<－1 D. x>1
4. 已知点P(x，y)在第四象限，且到y轴的距离为3，到x轴的距离为5，则点P的坐标为(　　)
A. (3，5) B. (3，－5) C. (－5，3) D. (5，－3)
5. 点P(m＋3，m－1)在y轴上，则点P的坐标为(　　)
A. (0，4) B. (4，0) C. (0，－4) D. (－4，0)
6. 在直角坐标系中，把点A(m，2)先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点 B.若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为(－2，2)，则“炮”所在位置的坐标为(　　)
A. (3，1) B. (1，3) C. (4，1) D. (3，2)
第7题图
8.生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是(　　)
A. 酒精浓度越大，心率越高
B. 酒精对这种鱼类的心率没有影响
C. 当酒精浓度是10%时，心率是168次/分
D. 心率与酒精浓度是反比例函数关系
第8题图
9. 下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度(y)与注水时间(x)关系的是(　　)
第9题图
ABCD
10. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，BD＝AD＝3 cm，动点F从顶点A出发，按A→D→B的方向在AD和BD上以1 cm/s的速度移动，记△FBC的面积为y(cm2)，点F的运动时间为x(s)，则y与x之间的函数图象大致为(　　)
第10题图
ABCD
11. 函数y＝的自变量x的取值范围是__________．
12. 若点M(m＋3，m－1)在第四象限，则m的取值范围是__________．
13. 在平面直角坐标系中，若点P(2，－1)与点Q(－2，m)关于原点对称，则m的值是__________．
14. 若点M(3，－2)与点N(a，b)在同一条平行于x轴的直线上，且MN＝4，则点N的坐标为__________．
15. 如图，一束光线从点A(－2，5)出发，经过y轴上的点B(0，1)反射后经过点C(m，n)，则2m－n的值是__________．
第15题图
综合提升
16. 如图①，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x，＝y，图②是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为(　　)
图① 图②
第16题图
A. 6 B. 3
C. 4 D. 2
平面直角坐标系与函数（答案）
1. (1)；(2)m＜；(3)2；(4)(2，3).
2. (1)(－3，4)；(2)(－3，－4)，(3，－4)；(3)(4，3)；(4)4，3，5；(5)2，3，.
3. (1)x≠1；(2)x≥1；
(3)x＞－1.【解析】依题意有x＋1＞0，解得x＞－1.
4. (1)任意实数，－4；
(2)补全该函数图象如解图；
第4题解图
(3)(－3，0)，(1，0)，(3，0)；(0，－3)；
(4)增大；(5)1，－4；(6)－3＜x＜1或x＞3.
知识逐点过
①＞　②＞　③＞　④＜　⑤a＝0　⑥0　⑦相等　⑧互为相反数　⑨纵坐标　⑩横坐标　 (－a，b)
(－a，－b)　 (a，b－c)　 (a－c，b)　 (a＋c，b)　 |b|　 |a|
　 平滑曲线　 分母不为0　x≠2　被开方数大于或等于0　x≥0　分母不为0且被开方数大于或等于0　x＞1
真题演练
1. D
2. A　【解析】将点(1，1)向右平移2个单位后，得到的点的坐标是(1＋2，1)，即(3，1).
3. C　【解析】在C＝2πr中，r为变量，2和π为常数，C为r的一次函数，C随r的变化而变化．
4. B
5. B　【解析】∵NaOH溶液呈碱性，则pH＞7，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，∴pH的值越来越接近7.
教材原题到重难考法
例　解：∵动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动，
∴S＝BP·BQ＝(12－2t)·4t＝24t－4t2(0≤t≤6)，
∴在0～3秒时，△PBQ的面积S随时间t的增加而增大，在3～6秒时，△PBQ的面积随时间t的增大而减小，S关于t的函数解析式为S＝24t－4t2，t的取值范围是0≤t≤6.
1. D　【解析】∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，如解图①，当点Q在线段BC上运动时，即4t≤8，解得t≤2，根据题意可得AP＝t，BQ＝4t，∴S＝AP·BQ＝2t2；如解图②，当点Q在AC上时，t＞2，过点Q作QD⊥AB于点D，则AQ＝AC＋BC－4t＝18－4t，AP＝t，∵QD⊥AB，∴∠ADQ＝∠ABC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADQ∽△ABC，∴＝，即＝，解得DQ＝－t，∴S＝AP·DQ＝t－t2，故D选项的图象满足题意．
图① 图②
第1题解图
2. B　【解析】由题意易知，点Q先到达终，点P后到达终点，当△BPQ面积为0且t≠0时，点P到终点，由题图②得，t＝6时点P停止运动，∴点P以每秒1个单位速度从点A运动到点B用了6秒，∴AB＝1×6＝6，∴BC＝2AB＝12，由点P和点Q的运动可知，AP＝t，BP＝6－t，如解图①，当点Q在BC上时，即0≤t＜3时，BQ＝4t，过点P作PM⊥BC于点M，∵∠B＝60°，∴PM＝BP·sin B＝(6－t)，此时S＝BQ·PM＝·4t·(6－t)＝－t2＋6t；如解图②，当点Q在CD上时，即3≤t≤6时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴S△BPQ＝S△BPC＝BC·PM＝×12×(6－t)＝－3t＋18，由上可知，当点Q到达点C时，S＝a，即当t＝3时，a＝－3×3＋18＝9.
图① 图②
第2题解图
基础过关
1. B　【解析】∵－1＜0，m2＋1＞0，∴点P(－1，m2＋1)位于第二象限.
2. A　【解析】 关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，故P(2，－3)的对称点的坐标为(－2，－3).
3. B　【解析】根据题意得x＋1≥0，解得x≥－1.
4. B　【解析】 ∵点P(x，y)在第四象限，∴点P的横坐标为正，纵坐标为负，∵点P到y轴的距离为3，到x轴的距离为5，∴x＝3，y＝－5，∴点P的坐标为(3，－5).
5. C　【解析】 ∵点P在y轴上，∴m＋3＝0，解得m＝－3，∴m－1＝－4，即点P的坐标为(0，－4).
6. C　【解析】将点A(m，2)先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B(m＋1，5)，∵点B的横坐标和纵坐标相等，∴m＋1＝5，解得m＝4.
7. A　【解析】由平面直角坐标系可知，“炮”所在位置的坐标为(3，1).
8. C　【解析】 由图可知，酒精浓度越大，心率越低，A选项错误；酒精对这种鱼类的心率是有影响的，B选项错误；当酒精浓度为10%时，心率为168次/分，C选项正确；心率与酒精浓度不是反比例函数关系，D选项错误，故选C.
9. D　【解析】由题图知，整个注水过程大致分为三个阶段：①向实心球下半部分对应的水槽注水时，水面高度y随时间的增大增速逐渐加快；②向实心球上半部分对应的水槽注水时，水面高度y随时间的增大增速逐渐变缓；③当水面没过实心球后，水面高度y随时间的增大增速不变；且前两个阶段的图形是对称的，故D选项符合题意．
10. B　【解析】 如解图①，当动点F在AD上移动时，过点F作FH⊥BC交BC于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB.∵BD＝AD＝3，∴△ABD是等边三角形，∴S△FBC＝BC·FH＝×3×3×＝(0≤x≤3)；如解图②，当动点F在DB上移动时，过点F作FM⊥BC交BC于点M，∴FM＝[3－(x－3)]×＝，∴S△FBC＝BC·FM＝×3×＝－x＋(3图①
　
图②
第10题解图
11. x≠10
12. －3＜m＜1　【解析】 由题意可得，，解得－3＜m＜1.
13. 1　【解析】∵点P(2，－1)与点Q(－2，m)关于原点对称，∴m＝1.
14. (－1，－2)或(7，－2)　【解析】 ∵点M与点N在同一条平行于x轴的直线上，∴b＝－2.∵MN＝4，∴a＝－1或7，∴点N的坐标为(－1，－2)或(7，－2).
15. －1　【解析】如解图，过点A作AG⊥y轴，过点C作CF⊥y轴，垂足分别为点G，F，由题意知，∠ABG＝∠CBF，∠AGB＝∠CFB，∴△AGB∽△CFB，∴＝.∵A(－2，5)，B(0，1)，∴AG＝2，BG＝5－1＝4，∴＝＝2，∴＝＝2，∴2m－n＝－1.
第15题解图
16. A　【解析】如解图，设等边三角形内一点为点D，由图象可知：当0≤x≤2时，y＝＝1，即PB＝PC，∴点P在BC的垂直平分线上，∴∠DAB＝∠DAC＝30°，且当点P运动到点D时，PA＝2.根据函数图象与x轴交于(4，0)，∴BD＝4－2＝2，∴BD＝AD，∴∠DAB＝∠DBA＝30°.过点D作DE⊥AB，垂足为点E，在Rt△AED中，AE＝AD·cos 30°＝3，∴AB＝2AE＝6.
第16题解图