2024年中考 数学专题提升10 一次函数的图象与性质（含答案）

一次函数的图象与性质
1. 已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)，解答下列问题：
(1)若y是关于x的正比例函数，则b的值为________；
(2)当y值随x的增大而增大时，k的取值范围为________；
(3)当k＜0时，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在该函数图象上，且x1＞x2，则y1________y2(填“＞”“＜”或“＝”)；
(4)若b＝2k，且x每增加1，y就减少3，则k＝________，b＝________，此时函数经过第________象限；
(5)在(4)的条件下，该一次函数与x轴的交点坐标为________，与y轴的交点坐标为________；与坐标轴所围成的三角形的面积为________．
2. 已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(3，5)，(－1，－3).
(1)该一次函数的解析式为________；
(2)将该函数的图象向上平移4个单位长度，得到的函数图象的解析式为________；
(3)将该函数的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后经过点(1，2)，则m的值为________．
3. 已知一次函数y＝kx＋b(k＜0)的图象与x轴相交于点(2，0).
(1)其大致图象可能是(　　)
(2)结合图象可知，关于x的方程kx＋b＝0的解为________，不等式kx＋b＞0的解集为________；
(3)已知一次函数y＝kx＋b(k＜0)与一次函数y＝3x－1的图象交于点(1，2).
①关于x的方程kx＋b＝3x－1的解为________，方程组的解为________；
②不等式kx＋b＜3x－1的解集为________．
知识逐点过
考点1 　一次函数的图象与性质
一次函数 y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)(特别地，当b＝0时，y＝kx为正比例函数，图象为过原点的一条直线)
k决定图象的倾斜方向和增减性 k①__0
b决定图象与y轴的交点位置 b③______0 交点在正半轴上 b＝0 交点为原点 b⑤______0 交点在负半轴上 b＞0 交点在正半轴上 b⑩______0 交点为原点 b＜0 交点在负半轴上
图象(草图) ④________ ⑨________
经过的象限 一、二、三 一、三 ⑥________ 一、二、四 ________ 二、三、四
与坐标轴的交点 与x轴的交点坐标为 ______(即令y＝0)，与y轴的交点坐标为 ______(即令x＝0)
考点2 　一次函数解析式的确定
常用方法 待定系数法
一般步骤 一设：设出一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)；二列：找出函数图象上的两个点，代入y＝kx＋b，得到二元一次方程组；三解：解这个二元一次方程组，得到k，b的值；四还原：将所求待定系数k，b的值代入y＝kx＋b中即可
【温馨提示】对于正比例函数y＝kx(k≠0)，找出函数图象上的一点(非原点)，代入解析式即可确定k的值
考点3 　一次函数图象的平移
平移前的解析式 平移方式(m＞0) 平移后的解析式 规律
y＝kx＋b(k≠0) 向左平移m个单位 y＝k(x)＋b x左加右减
向右平移m个单位 y＝k(x)＋b
向上平移m个单位 y＝kx＋b 等号右边整体上加下减
向下平移m个单位 y＝kx＋b
考点4 　直线y＝kx＋b(k≠0)与坐标轴围成的三角形面积
图形(草图) 面积
一条直线与坐标轴 S△AOB＝AO·BO＝|xA|·|yB|
两条直线与x轴 S△ABC＝BC·AD＝|xC－xB|·|yA|
两条直线与y轴 S△ABC＝BC·AD＝|yB－yC|·|xA|
考点5 　一次函数与方程组、不等式之间的关系
与一元一次方程的关系 x＝－(k≠0)是方程kx＋b＝0的解 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点为(－，0)
与二元一次方程组的关系 是二元一次方程组的解 一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2图象的交点为A(m，n)
与一元一次不等式的关系 1. 不等式kx＋b＞0的解集 函数y＝kx＋b的图象位于x轴上方部分(y＞0)所对应的x的取值范围；2. 不等式kx＋b＜0的解集 函数y＝kx＋b的图象位于x轴下方部分(y＜0)所对应的x的取值范围；3. 不等式kx＋m＞ax＋b的解集就是函数y1＝kx＋m的图象在y2＝ax＋b图象上方部分所对应的x的取值范围，即x＞xp；4. 不等式kx＋m＜ax＋b的解集就是函数y1＝kx＋m的图象在y2＝ax＋b图象下方部分所对应的x的取值范围，即x＜xp
真题演练
命题点1 一次函数的图象与性质
基础训练
1. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x＋a(a为常数，a＜0)的图象可能是(　　)
2. 已知一次函数y＝x－k，若对于x＜3范围内任意自变量x的值，其对应的函数值y都小于2k，则k的取值范围是________．
命题点2 一次函数解析式的确定
3. 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)与点(2，5)，求该一次函数的表达式．
基础过关
1. 下列各点在函数y＝2x－1图象上的是(　　)
A. (－1，3) B. (0，1) C. (1，－1) D. (2，3)
2. 已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则k，b的取值范围是(　　)
A. k>0，b>0 B. k>0，b<0
C. k<0，b>0 D. k<0，b<0
第2题图
3. 关于一次函数y＝x＋1，下列说法正确的是(　　)
A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点(0，1)
C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当x>－1时，y<0
4. 在直角坐标系中，已知点A(，m)，点B(，n)是直线y＝kx＋b(k<0)上的两点，则m，n的大小关系是(　　)
A. mn C. m≥n D. m≤n
5. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－3的图象是(　　)
ABCD
6. 如图，直线y＝mx＋n与y＝px＋q相交于点A(－2，1)，则关于x的方程mx＋n＝px＋q的解是(　　)
A. x＝－2 B. x＝1 C. x＝－ D. x＝
第6题图
7. 如图，若直线y＝kx＋b与x轴交于点A(－4，0)，与y轴正半轴交于点B，且△OAB的面积为4，则该直线的解析式为(　　)
A. y＝x＋2 B. y＝2x＋2 C. y＝4x＋4 D. y＝x＋4
第7题图
8. 一次函数y＝kx－1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，y的值可以是(　　)
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
9. 一种弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12 cm，每挂重1 kg物体，弹簧伸长0.5 cm.在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式为(　　)
A. y＝12－0.5x B. y＝12＋0.5x C. y＝10＋0.5x D. y＝0.5x
第9题图
10. 函数y＝kx＋3的图象经过点(2，5)，则k＝__________．
11.一个函数过点(1，3)，且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式__________．
12. 若直线y＝x向上平移3个单位长度后经过点(2，m)，则m的值为__________．
13. 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(1，3)和(－1，2)，则k2－b2＝__________．
综合提升
14. 已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋5与直线l2：y＝－x－1的交点坐标为(　　)
A. (4，1) B. (1，－4) C. (－1，－4) D. (－4，1)
15. 如图，直线y＝－x＋3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°
得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是(　　)
A. (2，5) B. (3，5)
C. (5，2) D. (，2)
第15题图
16. 如图，在直角坐标系中，点A(2，m)在直线y＝2x－上，过点A的直线交y轴于点B(0，3).
(1)求m的值和直线AB的函数表达式；
(2)若点P(t，y1)在线段AB上，点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－上，求y1－y2的最大值．
第16题图
　一次函数的图象与性质
1. (1)0　【解析】∵正比例函数的图象是经过原点的一条直线，∴b＝0.
(2)k＞0　【解析】当k＞0，一次函数的值y随x的增大而增大．
(3)＜　【解析】当k＜0，一次函数的值y随x的增大而减小，∴y1＜y2.
(4)－3，－6，二、三、四　【解析】∵x每增加1，y就减少3，∴k＝－3，b＝2k＝－6，此时函数图象经过第二、三、四象限．
(5)(－2，0)，(0，－6)，6　【解析】由(3)得y＝－3x－6，当x＝0时，解得y＝－6；当y＝0时，－3x－6＝0，解得x＝－2，∴该一次函数与x轴的交点坐标为(－2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－6)，与坐标轴所围成的三角形的面积为×|－2|×|－6|＝6.
2. (1)y＝2x－1　【解析】∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点(3，5)，(－1，－3)，∴，解得，∴该一次函数的解析式为y＝2x－1.
(2)y＝2x＋3　【解析】将该函数图象向上平移4个单位长度，得到的函数图象的解析式为y＝2x－1＋4＝2x＋3.
(3)　【解析】将该函数图象向左平移m(m＞0)个单位长度，得到的函数解析式为y＝2(x＋m)－1＝2x＋2m－1，∵平移后的函数图象经过点(1，2)，∴2＝2＋2m－1，解得m＝.
3. (1)A；(2)x＝2，x＜2；(3)①x＝1，；②x＞1.
知识逐点过
①>　②增大　③＞　④
⑤＜　⑥一、三、四　⑦<　⑧减小　⑨　⑩＝　 二、四　 (－，0)　 (0，b)
真题演练
1. D
2. k≥1　【解析】∵一次函数y＝x－k，∴y随x的增大而增大，∵对于x＜3范围内任意自变量x的值，其对应的函数值y都小于2k，∴3－k≤2k，解得k≥1.
3. 解：将点(0，1)，(2，5)代入y＝kx＋b中，
得，解得，(4分)
∴该一次函数的表达式为y＝2x＋1.(5分)
基础过关
1. D　【解析】∵当x＝－1时，y＝2×(－1)－1＝－3，∴(－1，3)不在函数y＝2x－1的图象上；∵当x＝0时，y＝2×0－1＝－1，∴(0，1)不在函数y＝2x－1的图象上；∵当x＝1时，y＝2×1－1＝1，∴(1，－1)不在函数y＝2x－1的图象上；∵当x＝2时，y＝2×2－1＝3，∴(2，3)在函数y＝2x－1的图象上．
2. B　【解析】∵一次函数图象过第一、三象限，∴k＞0.又∵图象交y轴于负半轴，∴b＜0.
3. B　【解析】一次函数y＝x＋1的图象经过第一、二、三象限，与y轴交于点(0，1)，函数值y随自变量x的增大而增大，当x＞－1时，y＞0，故选项B符合题意．
4. A　【解析】∵y＝kx＋b中k<0，∴y随x的增大而减小，∵点A(，m)，点B(，n)在直线y＝kx＋b上，且>，∴m5. D　【解析】一次函数y＝2x－3中，当x＝0时，y＝－3，当y＝0时，x＝，∴一次函数y＝2x－3的图象经过点(0，－3)和(，0)，∴选项D符合题意．
6. A　【解析】 ∵两条直线的交点坐标为(－2，1)，∴关于x的方程mx＋n＝px＋q的解是x＝－2.
7. A　【解析】 ∵A(－4，0)，∴OA＝4.∵S△OAB＝×4OB＝4，∴OB＝2，∴B(0，2)，把A(－4，0)，B(0，2)代入y＝kx＋b，得，解得，∴该直线的解析式为y＝x＋2.
8. D　【解析】∵y随x的增大而减小，∴k<0.当x＝2，y＝2时，则2＝2k－1，解得k＝>0，A选项不符合题意；当x＝2，y＝1时，则1＝2k－1，解得k＝1>0，B选项不符合题意；当x＝2，y＝－1时，则－1＝2k－1，解得k＝0，C选项不符合题意；当x＝2，y＝－2时，则－2＝2k－1，解得k＝－<0，D选项符合题意.
9. B 　【解析】∵在弹性限度内，每挂重1 kg物体，弹簧伸长0.5 cm，∴挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)满足一次函数关系，故设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0).∵不挂物体时弹簧的长度为12 cm，∴当x＝0时，y＝12.∵每挂重1 kg物体，弹簧伸长0.5 cm，∴当x＝1时，y＝12.5.将(0，12)和(1，12.5)分别代入y＝kx＋b，得，解得，∴挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式为y＝12＋0.5x.
10. 1　【解析】 将点(2，5)代入y＝kx＋3中，得5＝2k＋3，解得k＝1.
11. y＝3x(答案不唯一)
12. 5　【解析】直线y＝x向上平移3个单位长度得平移后的直线解析式为y＝x＋3，当x＝2时，m＝2＋3＝5.
13. －6　【解析】∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点(1，3)和(－1，2)，则有，即，∴k2－b2＝(k＋b)(k－b)＝3×(－2)＝－6.
14. D　【解析】∵二元一次方程组的解为，∴直线l1：y＝x＋5与直线l2：y＝－x－1的交点坐标为(－4，1).
15. C　【解析】∵直线y＝－x＋3分别与x轴，y轴交于点A，B，∴A(2，0)，B(0，3)，∴OA＝2，OB＝3.∵△ACD是△AOB绕点A顺时针旋转90°得到，∴AC＝OA＝2，CD＝OB＝3，∠OAC＝90°，∠ACD＝90°，∴点D的坐标为(5，2).
16. 解：(1)把点A(2，m)代入y＝2x－，得m＝，
∴A(2，)，
设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
把点A(2，)，B(0，3)代入，
得，解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋3；
(2)∵点P(t，y1)在线段AB上，点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－上，
∴y1＝－t＋3(0≤t≤2)，
y2＝2(t－1)－＝2t－，
∴y1－y2＝－t＋3－(2t－)＝－t＋，
∵－＜0，
∴y1－y2的值随t的增大而减小，
∵0≤t≤2，
∴当t＝0时，y1－y2有最大值，最大值为.