2024年2月普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷一（九省联考题型）（含解析）

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷一（九省联考题型）
注意事项：
]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题5分）对两个具有线性相关关系的变量x和y进行统计时，得到一组数据，通过这组数据求得回归直线方程为，则m的值为（ ）
A．3 B．5 C．5.2 D．6
2．（本题5分）在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
3．（本题5分）各项为正的等比数列中，，则的前4项和（ ）
A．40 B．121 C．27 D．81
4．（本题5分）设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．（本题5分）小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设敒为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．48 B．32 C．24 D．16
6．（本题5分）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（本题5分）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（本题5分）若椭圆和的方程分别为和（且）则称和为相似椭圆．己知椭圆，过上任意一点P作直线交于M，N两点，且，则的面积最大时，的值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（本题6分）计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（本题6分）设为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．若，则复平面内对应的点位于第二象限
C． D．若，则的最大值为2
11．（本题6分）已知函数的定义域为，、都有，且，则（ ）
A． B．
C．是增函数 D．是偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（本题5分）已知集合，，则
13．（本题5分）将平面内等边与等腰直角（其中为斜边），沿公共边折叠成直二面角，若，且点在同一球的球面上，则球的表面积为 .
14．（本题5分）已知，，则在下列关系①②③④中，能作为“”的必要不充分条件的是 （填正确的序号）.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：．
16．（本题15分）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分.
(1)若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；
(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望.
附：若（），则，，.
17．（本题15分）如图，在四棱锥中，平面，.
(1)求二面角的正弦值；
(2)在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离.
18．（本题17分）已知椭圆与双曲线的焦距之比为．
(1)求椭圆和双曲线的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．
19．（本题17分）设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”
(1)判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
(2)若为偶数，证明：数列，2，3，，不是“阶平衡数列”，其中
(3)如果，且对于任意，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值．
参考答案：
1．A
【详解】易知，代入得.
故选：A
2．A
【详解】由题意，
则，，
.
故选：A
3．A
【详解】设等比数列公比为,
故选：A.
4．B
【详解】
对于A,如上图正方体中，设平面为，
平面为，为，
满足，，此时，故A错误；
对于B，因为，，α、β是不同的平面，则必有，
故B正确；
对于C，如上图正方体中，设平面为，
平面为，为，
满足，，此时，故C错误；
对于D，如上图正方体中，设平面为，
为，为，
则满足，，此时，故D错误.
故选:B.
5．C
【详解】1与4相邻，共有种排法，
两个2之间插入1个数，
共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，
则总共有种密码．
故选：C
6．D
【详解】设，函数的定义域为，求导得，
当曲线在点处的切线平行于直线时，，
则，而，解得，于是，
平行于的直线与曲线相切的切点坐标为，
所以点到直线的最小距离即点到直线的距离．
故选：D
7．D
【详解】因为，结合题设，
所以，而，
所以，
即，所以，
所以.
故选：D
8．B
【详解】当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，
联立，可得，
所以，
所以的面积为，
由，可得为的中点，所以，
因为点在椭圆上，所以，所以，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，消去得，，
，
设，，则，，
，
所以点坐标为，
因为点在椭圆上，所以，
因为原点到直线的距离为，
，
所以的面积为
，
综上，，又，
又，
所以当时，的面积最大.
故选：B.
9．AC
【详解】对于A：
，A正确；
对于B：
，B错误；
对于C：
，C正确；
对于D：，D错误.
故选：AC.
10．ABD
【详解】对于A，设，故，则，，故成立，故A正确，
对于B，，，显然复平面内对应的点位于第二象限，故B正确，
对于C，易知，，当时，，故C错误，
对于D，若，则，而，易得当时，最大，此时，故D正确.
故选：ABD
11．BC
【详解】令，得，则，
令，则，①
令，则，
即，②
联立①②可得，则，，A错B对，
函数为增函数，且为非奇非偶函数，C对D错.
故选：BC.
12．
【详解】因为，，
所以.
故答案为：
13．
【详解】
如图所示取中点，连接，
根据题意易知，
又为等腰直角三角形，为等边三角形，
所以可知，
易知点在直线上，设，球半径为R，
所以，
故外接球的表面积为.
故答案为：
14．②③
【详解】对于①，取，满足，但不满足，
即成立推不出，
由于，故，
而，故，当且仅当时取等号，
即成立可推出成立，
故不是“”的必要不充分条件；
对于②，作出函数的图象，如图曲线，即将的图像向右平移1个单位得到；

则（）表示几何意义为曲线在第一象限内和坐标轴围成的区域部分（不含坐标轴），
则中相应的点所在区域即上述区域；
而表示的几何意义为直角三角形区域部分（不含坐标轴），
显然直角三角形区域部分（不含坐标轴）对应集合为曲线在第一象限内和坐标轴围成的区域部分（不含坐标轴）相应集合的真子集，
即是的必要不充分条件，
对于③，由得，故，（），
设，则，
则在上单调递减，且，
则存在，使得，即时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
而，则在上恒成立，
即，故；
而当成立时，不妨取，成立，
但不成立，故是的必要不充分条件；
对于④，当时，设，
则，显然在单调递增，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
又，
作出的大致图象如图：

由图象可知存在，使得，
故当时，只有唯一解，
若，则与条件不符；
即此时得不出，
即不是的必要条件，
故能作为“”的必要不充分条件的是②③，
故答案为：②③
15．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1），，．
故曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由（1）得．
令函数，则，所以是增函数．
因为，，
所以存在，使得，即．
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
．
因为，所以，
所以．
故．
16．(1)16
(2)
【详解】（1）因为服从正态分布，所以，，，
所以.
进入面试的人数，.
因此，进入面试的人数大约为16.
（2）由题意可知，的可能取值为0，2，4，6，8，10，
则；
；
；
；
；
.
所以.
17．(1)
(2)，
【详解】（1）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，
所以，
则.
设平面的法向量，
则，取得，
设平面的法向量，
则，取得，
设二面角的大小为，则
，
所以.
（2）设，则
.
因为异面直线与所成角的大小为，
所以，解得或（舍去）.
此时，
所以点到平面的距离.
18．(1)椭圆的离心率为，双曲线的离心率为
(2)证明见解析
【详解】（1）椭圆的焦距，双曲线的焦距，
则，整理得，
从而，，
故椭圆的离心率，双曲线的离心率．
（2）由（1）可知，椭圆，
因为，所以直线的方程为．
联立方程组，整理得，
则，则，
可得，即，
因为，，，
则，，
故．

19．(1)2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；1，5，9，13，17是4阶平衡数列；
(2)证明见解析
(3)12873．
【详解】（1）由不为整数，
可得数列2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；
数列1，5，9，13，17为首项为1，公差为4的等差数列，
则数列1，5，9，13，17是4阶平衡数列；
（2）证明：若为偶数，设，
考虑1，2，3，，这项，其和为.
所以这项的算术平均值为：，此数不是整数；
若为奇数，设，，考虑1，2，3，4，5，，，；
这项，其和为，
所以这项的算术平均数为：，
此数不是整数；
故数列：1，2，3，4，，不是“阶平衡数列”，其中；
（3）在数列中任意两项，，，
对于任意，在中任意取两项，，相异的项，
并设这项和为.由题意可得，都是的倍数，
即，，，为整数），可得，
即数列中任意两项之差都是的倍数，，
因此所求数列的任意两项之差都是2，3，，的倍数，
如果数列的项数超过8，
那么，，，均为2，3，4，5，6，7的倍数，
即，，，均为420的倍数，
为2，3，4，5，6，7的最小公倍数），
，
即，这与矛盾，
故数列的项数至多7项.
数列的项数为7，
那么，，，均为2，3，4，5，6的倍数，
即，，，均为60的倍数，
为2，3，4，5，6的最小公倍数），
又，且，
所以，，，，
所以，
当且仅当，，，取得最大值12873；
验证可得此数列为“阶平衡数列”，，
如果数列的项数小于或等于6，由，
可得数列中所有项的之和小于或等于，
综上可得数列中所有元素之和的最大值为12873.