安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学
2024年春高三返校联考
考试科目：数学 满分：150分 考试时间：120分钟
第Ι卷（选择题）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是
符合要求的.
1.已知集合A= x x- 1 > 2 ，B= x log4x< 1 ，则A∩B= ( )
A. 3,4 B. -∞ ,-1 ∪ 3,4 C. 1,4 D. -∞ ,4
2. a+ 3i若复数 2+ i 是纯虚数，则实数 a= ( )
A. - 23 B.
2 3 3
3 C.- 2 D. 2
3.在 △ABC 中，D 是线段 BC 上一点，满足 BD= 2DC ,M 是线段 AD 的中点，设 BM =
xAB+ yAC，则 ( )
A. x- y=- 12 B. x+ y=-
1
2 C. x- y=
1
2 D. x+ y=
1
2
4.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的 .在神
G
经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 L=L0DG0，其中L表示每一轮优化时使用的学
习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度 .已
知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.5，衰减速度为 22，且当训练迭代轮数
为 22时，学习率衰减为 0.45，则学习率衰减到 0.05以下 (不含 0.05)所需的训练迭代轮
数至少为 ( ) (参考数据：lg2≈ 0.3010，lg3≈ 0.4771)
A. 11 B. 22 C. 227 D. 481
2 2
5.已知椭圆 C : x + y4 3 = 1
π
的左右焦点为 F1、F2,P为椭圆 C上一点，∠PF1F2= 3 ，则
△PF1F2的面积为 ( )
A. 3 B. 1 C. 3 D. 2 3
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 C= 2A，a，b，c成等差数列，则
cosC= ( )．
A. 1 38 B. 4 C.-
1 D. 42 5
2 y2
7. x已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的左右顶点为A、B，点P、Q均在C上，且关a b
·1·
{#{QQABAQQUggCIAAAAAQgCQw1oCEKQkACCCKoOwFAMMAAAyANABAA=}#}
于 x轴对称.若直线AP、BQ 1的斜率之积为- 4 ，则该双曲线的离心率为 ( )
A. 72 B.
6
2 C.
5
2 D. 2
8.已知正数 a,b,c满足 ea= b= lnc,e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是 ( )
A. a+ c< 2b B. a+ c> 2b C. ac< b2 D. ac> b2
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.已知A，B 是直线 y= 32 与函数 f x = sin ωx+
π
6 ω> 0 图象的两个相邻交点，
若 |AB| = π6 ，则 ω的值可能是 ( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 10
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB= 2，P是正方形ABCD内部 (含边界 )的一个动
点，则 ( )
A. 存在唯一点P，使得D1P⊥B1C
B.存在唯一点P，使得直线D1P与平面ABCD所成的角取到最小值
C. DP= 1若 2 DB，则三棱锥P-BB1C外接球的表面积为 8π
D. 若异面直线D1P与A1B
π
所成的角为 4 ，则动点P的轨迹是抛物线的一部分
11.学校食堂每天中午都会提供A，B两种套餐供学生选择 (学生只能选择其中的一种 )，经
2 1
过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为 3 ，选择B套餐的概率为 3 .而前一
天选择了A 1 3套餐的学生第二天选择A套餐的概率为 4 ，选择B套餐的概率为 4 ；前一
天选择B 1 1套餐的学生第二天选择A套餐的概率为 2 ，选择B套餐的概率也是 2 ，如此
反复 .记某同学第 n天选择A套餐的概率为An，选择B套餐的概率为Bn.一个月 (30天
)后，记甲 乙 丙三位同学选择B套餐的人数为X，则下列说法中正确的是 ( )
A. An+Bn= 1 B.数列 A -
2
n 5 是等比数列
C. E X = 1.5 D. P X= 1 ≈ 36125
·2·
{#{QQABAQQUggCIAAAAAQgCQw1oCEKQkACCCKoOwFAMMAAAyANABAA=}#}
第ΙΙ卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.将答案填在答题卡的相应位置.
12.已知圆 x2+ y2= 4,直线 l : y= x+ b,圆上恰好有两个点到直线 l的距离等于 1.则符合条
件的实数 b可以为 （. 只需写出一个满足条件的实数即可）
13.梯形ABCD中，AD BC，AB⊥AD，AD=AB= 1，BC= 2，分别以AB、BC、AD为
轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为 .
14.若过点 (1,0)可以作曲线 y= ln(x+ a)的两条切线，则实数 a的取值范围为 .
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15（. 13分）
如图为一块直四棱柱木料，其底面ABCD满足：AB⊥AD，AD∥BC．
(1)要经过平面CC1D1D内的一点P和棱BB1将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ (
借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明 )
(2)若AD=AB= 2，BC=AA1= 1，当点P在点C处时，求直线AP与平面CC1D1D所
成角的正弦值．
16（. 15分）
如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移
动一个单位，质点到达位置的数字记为X．
(1)若该质点共移动 2次，位于原点O的概率.
(2)若该质点共移动 6次，求该质点到达数字X的分布列和数学期望．
·3·
{#{QQABAQQUggCIAAAAAQgCQw1oCEKQkACCCKoOwFAMMAAAyANABAA=}#}
17（. 15分）
有n2 n≥ 4 个正数，排成n行n列的数表：
a11 a12 a13 a14 ... a1n
a21 a22 a23 a24 ... a2n
a31 a32 a33 a34 ... a3n
,a41 a42 a43 a44 ... a4n
... ... ... ... ... ...
an1 an2 an3 an4 ... ann
其中 aij表示位于第 i行，第 j列的数.数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比
1 3
数列，并且所有公比相等 .已知 a24= 1，a42= 8 ，a43= 16 .
(1)求公比.
(2)求 a11+ a22+ +ann.
18（. 17分）
已知抛物线C : y2= 2px(p> 0)经过点P(4,4).
(1)求抛物线C的方程及其准线方程.
(2)设O为原点，直线 y= kx+ 2与抛物线C交于M ,N（异于P)两点 ,过点M垂直于 x
轴的直线交直线OP于点T，点H满足MT =TH.证明 :直线HN过定点.
19（. 17分）
2
已知函数 f(x) = exlnx，g(x) = x- 1e - 1．
(1)证明：对任意的 x∈ (0，1)，都有 f(x)≥ g(x)．
(2)若关于 x 的方程 f (x) = m 有两个不等实根 x 1，x2，证明：1 + m < |x2- x 1 | <
2 1+m．
·4·
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2024年春高三返校联考数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C B D A A
题号 7 8 9 10 11
答案 C B AD BCD ABD
1.答案:A
解析：由 x- 1 > 2，得 x<-1或 x> 3，所以A= x x<-1或 x> 3 ，由 log4x< 1，得 0
< x< 4，所以B= x 0< x< 4 ，所以A∩B= x 3< x< 4 .
2.答案：C
a+ 3i = (a+ 3i) (2- i) = 2a+ 3+ (6- a)i解析：2+ i 5 5 ，则 2a+ 3= 0，有 a=-
3
2 .
3.答案：B
解析：因为D是线段BC上一点，满足BD= 2DC，
2 2
所以AD=AB+ 3 BC =AB+ 3 (AC -AB) =
1
3 AB+
2
3 AC，
1 1 1
又M是线段AD的中点，所以AM = 2 AD= 6 AB+ 3 AC，
所以BM =BA+AM =-AB+ 16 AB+
1 5 1
3 AC =- 6 AB+ 3 AC，
所以 x=- 56 ,y=
1 x+ y=- 13，故 2 .
4.答案：D
G G
解析：由于L=L DG0，所以L= 0.5×D 220 ，
22 G
依题意 0.45= 0.5×D 22 D= 910，则L= 0.5×
9 22
10 ，
9 G 9 G G
由L= 0.5× 2210 < 0.05得
22< 110 10，lg
9 22 1 G 9
10 < lg 10 , 22 lg 10 <-1，
G lg9- lg10 <-22，G lg10- lg9 > 22,G> 22lg10- lg9，
G> 22 22 221- 2lg3 = 1- 2× 0.4771 = 0.0458 ≈ 480.35，
所以所需的训练迭代轮数至少为 481轮.
5.答案：A
解析：P为短轴上的顶点.
6.答案：A
·1·
{#{QQABAQQUggCIAAAAAQgCQw1oCEKQkACCCKoOwFAMMAAAyANABAA=}#}
解析：因为C= 2A，所以B= π- 3A．
又因为 a，b，c成等差数列，则 2b= a+ c．
根据正弦定理可得：2sinB= sinA+ sinC，即 2sin 3A = sinA+ sinC，
展开得：2sin2AcosA+ 2cos2AsinA= sinA+ sinC，
进一步得：sin2A 2cosA- 1 = sinA 1- 2cos2A ，
因为 sinA≠ 0，可得 8cos2A- 2cosA- 3= 0，
3 3 2 1
又易知A为锐角，所以 cosA= 4，则 cosC= 2× 4 - 1= 8，故A正确.
7.答案：C
( , ) , ( ,- ) , y1 -y -y
2 2
解析：设P x1 y1 Q x y
1
1 1 则 x + a x - a =-
1 , 1 1 b 1 54 x 2 2
=- , 2 = ,e= .
1 1 1 - a 4 a 4 2
8.答案：B
解析：由题设 a> 0，则 b> 1，且 a= lnb,c= eb，则 a+ c= lnb+ eb，
令 f(x) = lnx+ ex- 2x且 x> 1，故 f (x) = 1 xx + e - 2，
令 g(x) = 1 + exx - 2，则 g
(x) = ex- 12 在 (1,+∞)上递增，故 g
(x)> g (1) = e- 1> 0，
x
所以 g(x) = f (x)在 (1,+∞)上递增，故 f (x)> f (1) = e- 1> 0，
所以 f(x)在 (1,+∞)上递增，故 f(x)> f(1) = e- 2> 0，即 lnx+ ex> 2x在 (1,+∞)上恒
成立，故 a+ c> 2b，A错，B对；对于 ac,b2的大小关系，令 h(x) = exlnx- x2且 x> 1，而
h(1) =-1< 0，h(e) = ee- e2> 0，
显然 h(x)在 (1,+∞)上函数符号有正有负，故 exlnx,x2的大小在 x∈ (1,+∞)上不确定，
即 ac,b2的大小在 b∈ (1,+∞)上不确定，所以C、D错.
9.答案：AD
1 5
解析：设函数 f(x)的最小正周期为T,则 AB = 6 T或者 AB = 6 T，
2π = π 10π即 6ω 6 或 6ω =
π
6 ，解得ω= 2或ω= 10，
10.答案：BCD
解析：对于A选项：正方形BCC1B1中，有BC1⊥B1C，
正方体中有AB⊥平面BCC1B1，B1C 平面BCC1B1，AB⊥B1C，
又BC1∩AB=B，BC1,AB 平面ABC1D1，B1C⊥平面ABC1D1，
只要D1P 平面ABC1D1，就有D1P⊥B1C，P在线段AB上，有无数个点，A选项错误；
对于B选项：D1D⊥平面ABCD，直线D1P与平面ABCD所成的角为∠D1PD，D1D=
2，∠D1PD取到最小值时，PD最大，此时点P与点B重合，B选项正确；
·2·
{#{QQABAQQUggCIAAAAAQgCQw1oCEKQkACCCKoOwFAMMAAAyANABAA=}#}
对于C选项：若DP= 12 DB，则P为DB中点，△PBC为等腰直角三角形，外接圆半径
1 1
为 2 BC= 1，三棱锥P-BB1C外接球的球心到平面PBC的距离为 2 BB1= 1，则外接
球的半径为 2，所以三棱锥P-BB1C外接球的表面积为 8π，C选项正确；
对于D选项：以D为原点，DA,DC,DD1的方向为 x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示
的空间直角坐标系，则D1 0,0,2 ，A1 2,0,2 ，B 2,2,0 ，P x,y,0 0≤ x≤ 2,0≤ y≤ 2 ，
D1P A1B
则有D1P= x,y,-2 ，A1B= 0,2,-2 ，有 cosD1P,A1B = =
D1P A1B
2y+ 4 = cos π = 2 2
x2+ y2+ 4 8 4 2
，化简得 x = 4y，P是正方形ABCD内部 (含边界 )的
一个动点，所以P的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确.
11.答案：ABD
解析：由于每人每次只能选择A，B两种套餐中的一种，所以An+Bn= 1，所以A正确，
1
依题意，An+1=An× 4 + 1-An ×
1
2，则An+1-
2
5 =-
1
4 A -
2
n 5 n≥ 1,n∈N ，
又n= 1时，A - 2 21 5 = 3 -
2 = 4 2 4 15 15，所以数列 An- 5 是以 15 为首项，以- 4 为公
n-1 n
比的等比数列，所以A - 2 = 4 × - 1n 5 15 4 ,A =
2 - 16 1 3n 5 15 × - 4 ,Bn= 1-An= 5
n
+ 16 × - 1 3 315 4 ，当n> 30时，Bn≈ 5，所以X B 3, 5 ,
1 3 2 2P X= 1 =C3× 5 × 5 =
36 9
125 ,E X = 5，
12.答案：符合 2< b < 3 2即可
13. 7π答案：3
解析：如下图所示：
由题意可知，四边形ABCD是直角梯形，且AB为直角腰，AB=AD= 1，BC= 2.
①若以AB为轴旋转一周，则形成的几何体为圆台，且圆台的上底面半径为 1，下底面半
1 7
径为 2，高为 1，几何体的体积为V1= 3 π+ 4π+ π 4π 1= 3 π；
②若以BC为轴旋转一周，则形成的几何体是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成的几何
1
体，且圆柱、圆锥的底面半径均为 1，高均为 1，几何体的体积为V2= π× 12× 1+ 3 × π×
12× 1= 43 π；
③若以AD为轴旋转一周，则形成的几何体是在一个圆柱中挖去一个圆锥所形成的几何
体，圆柱的底面半径为 1，高为 2，圆锥的底面半径与高均为 1，几何体的体积为V3= π×
·3·
{#{QQABAQQUggCIAAAAAQgCQw1oCEKQkACCCKoOwFAMMAAAyANABAA=}#}
12× 2- 13 × π× 1
2× 1= 53 π.因为V1>V3>V2，因此，分别以AB、BC、AD为轴旋转一
7π
周所得到的旋转体的体积的最大值为 3 .
14.答案：-1< a< 0
解析：曲线 y= ln(x+ a)有渐近线 x=-a，且与 x轴交于点A(1- a,0).结合图像可知，
点 (1,0)应位于A与渐近线之间，故有-a< 1< 1- a，解得：-1< a< 0.
15.解析：(1)过点P作直线EF CC1，分别交CD、C1D1于E、F，连接BE、B1F.
(2)以AA1、AB、AD所在直线分别为 x、y、z轴建立空间直角坐标系A- xyz.
则A 0,0,0 ，D 0，0,2 ，D1 1,0,2 ，C 0,2,1 ∴P 0,2,1
AP= (0,2,1) ,CD= (0,-2,1) ,DD1= (1,0,0).
设平面CC1D1D n
的法向量为 = n CD=-2y+ z= 0 x，y，z ，则 ，n DD1= x= 0
取n = 0，1，2 .
n AP
设直线AP与平面CC1D1D θ, sinθ= cos n ,AP = = 4所成角为 n AP 5，
所以直线AP与平面CC1D1D
4
所成角的正弦值为 5 .
16.解析：(1)质点移动 2次，可能结果共有 2× 2= 4种，
若质点位于原点O，则质点需要向左、右各移动一次，共有C 12= 2种，
2 1
故质点位于原点O的概率P= 4 = 2 .
(2)质点每次移动向左或向右，设事件A为“向右”，则A为“向左”.
·4·
{#{QQABAQQUggCIAAAAAQgCQw1oCEKQkACCCKoOwFAMMAAAyANABAA=}#}
故P(A) =P(A) = 12 ,
设Y 1表示 6次移动中向左移动的次数，则Y B 6, 2 ，质点到达的数字X= 6- 2Y,
6
所以P(X= 6) =P(Y= 0) =C 06 1 12 = 64 ,
P(X= 4) =P(Y= 1) =C 1 1
6
= 36 2 32，
P(X= 2) =P(Y= 2) =C 2 1
6
= 156 2 64，
6
P(X= 0) =P(Y= 3) =C 36 12 =
5
16，
6
P(X=-2) =P(Y= 4) =C 46 12 =
15
64，
6
P(X=-4) =P(Y= 5) =C 56 12 =
3
32，
6
P(X=-6) =P(Y= 6) =C 66 12 =
1
64，
所以X的分布列为：
X -6-4-2 0 2 4 6
P 1 3 15 5 15 3 1
64 32 64 16 64 32 64
E(X) =E(6- 2Y) =-2E(Y) + 6=-2× 6× 12 + 6= 0.
17. 1解析：(1)第 4行公差为 d= a43- a42= 16，a44= a
1 1
43+ 16 = 4 .
a q2= 1由已知： 24 4 ,所以 q=±
1
2 .
1
又每个数都是正数，所以 q= 2 .
(2)因为 a41= 1 1 1 k16，所以 a4k 是首项为 16，公差为 16 的等差数列.故 a4k= 16 .
1 n-4 1 n
因为每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，所以 ank= a4k 2 = 2 k.
n
故 ann= 12 n，设 ann 的前n项和为Sn,
1
S = a + a + +a = 1× 1 + 2× 1
2 2 n
n 11 22 nn 2 2 + 3×
1 1
2 + +n× 2 ①,
1 1 2 3 4 n+1
2 Sn= 1× 2 + 2×
1
2 + 3×
1
2 + +n×
1
2 ②,
1 2 3
- 1 S = 1 + 1 + 1 + + 1
n
-n× 1
n+1
① ②得 2 n 2 2 2 2 2
1
2 1- 1= 2n 1 n+11 -n× 1- 2 2
= 1- 1 nn - n+1 .2 2
所以Sn= 2- n+ 2 .2n
18.解析：(1)由已知，16= 8p，所以 p= 2.
·5·
{#{QQABAQQUggCIAAAAAQgCQw1oCEKQkACCCKoOwFAMMAAAyANABAA=}#}
抛物线C : y2= 4x，准线方程为 x=-1.
y2( = 4x2)由 = ，消去 x，得 ky
2- 4y+ 8= 0.
y kx+ 2
设M (x1,y 4 81) ,N (x2,y2)，则 k≠ 0，Δ> 0，且 y1+ y2= ，y1y = .k 2 k
直线OP方程为：y= x.所以T(x1,x1).
又MT =TH，则T为MH中点，所以H(x1,2x1- y1).
所以HN : y- y2 = x- x22x1- y1- y2 x1- x
.
2
令 y= 0,则 x= x2-
y2(x1- x2) = x2(2x1- y1- y2) - y2(x1- x2) x2(2x1- y1) - y2x12x1- y1- y2 2x1- y1- y
=
2 2x1- y1- y
.
2
y2y 2- ( - )= 1 2 - y2 y
2
x y x 2x y 1 - y = y1y2 y y y y又 1 2 2 1 1 4 4 2 1 4 y1+ y 1 2 1 2 4 42- 2 = 4 -k k = 0.
所以直线HN过定点O.
2
19.解析：(1)令 h(x) = f(x) - g(x) = exlnx- x- 1e + 1，x∈ (0，1)．
则 h (x) = e(lnx+ 1) - 2 x- 1e = elnx- 2x+ e+
2 1
e ，h e = 0．
x∈ (0 1) h (x) = e又当 ， 时， x - 2> e- 2> 0，所以 h
(x)在 (0，1)上单调递增．
1 1 1
所以当 x∈ 0， 时，h (x)< h = 0，当 x∈ ，1 时，h (x)> h e e e
1
e = 0．
1
所以 h(x)≥ h e = 0．故对任意的 x∈ (0，1)，都有 f(x)≥ g(x)．
(2)f (x) = e(lnx+ 1)，当 x∈ 0 1， 时 f e (x)< 0，f(x)单调递减，
1
当 x∈ e ，+∞ 时 f
(x)> 0，f(x)单调递增．
f 1又 e =-1，lim f(x) = 0，f(1) = 0，所以-1设函数 g(x)的图象与直线 y=m的交点的横坐标分别为 x 和 x 1 2.
不妨设 x 1< x 2，x1< x2，则 x 1< x1< x2< x 2，所以 |x2- x1| < |x 2- x 1|．
1 2
又方程m= x- - 1可化为 x2- 2 1e e x+ 2 - 1-m= 0,其两根为 x
和 x
e 1 2
，
所以 x 1+ x = 2，x x 12 e 1 2= 2 - 1-m．e
所以 |x - x 2 1| = (x ' + x ')21 2 - 4x1'x2' = 2 1+m．
故 |x2- x1| < 2 1+m．
x∈ 0 1当 ，e 时，f(x) = exlnx<-ex,函数 f(x)图像在直线 y=-ex的下方.
1
当 x∈ e ，+∞ 时，令 k(x) = (e- 1)lnx+
1
x - 1,
( ) = e- 1 - 1 = (e- 1)x- 1则 k x x x2
.
x2
·6·
{#{QQABAQQUggCIAAAAAQgCQw1oCEKQkACCCKoOwFAMMAAAyANABAA=}#}
k(x) ( 1 , 1 1所以 在 e e- 1 )上递减，在 ( e- 1 ,1)上递增.
k( 1 ) = k(1) = 0. x∈ 1 +∞ k(x) = (e- 1)lnx+ 1又 e 所以当 e ， 时， x - 1< 0.
故 f(x) = exlnx< ee- 1 (x- 1) ,函数 f(x)
e
图像在直线 y= e- 1 (x- 1)的下方.
直线 y=m与直线 y=-ex e的交点横坐标分别为 x3，与直线 y= e- 1 (x- 1)交点的横
坐标为 x4,则 x3=-me ,x =m-
m
4 e + 1.
所以 |x2- x1| > x4- x3=m+ 1.
综上，1+m< |x2- x1| < 2 1+m．
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