河南省周口市川汇区周口恒大中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题（含解析）

周口恒大中学2023-2024学年高一下学期数学开学考试卷
数学试题
试卷考试时间：120分钟 满分：150
第I卷（选择题）
单项选择题（每小题5分，共40分）
1．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．命题：，的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知是第一象限角，，则等于
A． B． C． D．
4．若为第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的图象过点，若要得到一个奇函数的图象，则需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
8．已知函数满足=1，则等于（ ）
A．- B． C．- D．
二．多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．将图像向左平移个单位得到一个偶函数
D．在上单调
11．双曲函数是数学中一类非常重要的函数，其中就包括双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（，为自然对数的底数）．下列关于与说法正确的是（ ）
A．与在上均为增函数
B．与的图象都关于原点对称
C．，都有
D．，都有
12．若，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知函数，若对任意都有，则 ．（填上一个正确的即可）
14．函数的值域为 ．
15．已知函数，则 .
16．已知正数满足，则的最小值是 .
四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）
17．已知函数
（1）求的最大值及对应的值；
（2）求的最小正周期及单调递增区间.
18．已知奇函数和偶函数满足
(1)求和的解析式；
(2)判断并证明在上的单调性
(3)若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围
19．定义：如果存在实数x，y使，那么就说向量可由向量线性表出．给出命题：p：空间三个非零向量中存在一个向量可由另两个向量线性表出．q：空间三个非零向量共面．判断p是q的什么条件，并证明你的结论．
20．已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.
21．已知全集，集合，．
(1)求和；
(2)求．
22．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆）需另投入成本y（万元），且由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
(1)求出2020年的利润S（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额减去成本）
(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大 并求出最大利润．
参考答案：
1．C
【分析】根据三角函数图象的变换求得，再求结果即可.
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象；
再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象；
故.
故选：C.
2．D
【分析】根据给定条件利用全称量词命题的否定是存在量词命题直接写出作答.
【详解】命题：，是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题：，的否定是：，.
故选：D
3．B
【分析】利用商数关系得到sinα、cosα的关系，结合平方关系和第一象限角正弦值的符号求得.
【详解】， 是第一象限角，
,
故选：B.
4．D
【分析】利用同角关系，对所给等式两边平方，逆用二倍角的正弦公式，可解得答案.
【详解】因为，
两边平方得, ，
所以，，
所以，．
故选：D.
5．C
【解析】先对进行化简，再根据图象过点，即可求出，根据的解析式即可求解.
【详解】解：，
又过点，
故，
即，
解得：，
又，
令，
解得：，
，
故若要得到一个奇函数的图象，则需将函数的图象向左平移个单位.
故选：C.
6．A
【分析】先根据确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论．
【详解】记，函数定义域为，则，
所以函数为奇函数，排除BC，
又当时，，排除D，
故选：A
7．B
【分析】化简原不等式，利用一元二次不等式的解法解原不等式即可.
【详解】原不等式即为，解得，
故原不等式的解集为.
故选 ：B.
8．C
【解析】设的最小正周期为，可得，则，再根据得，又，则可求出，进而可得.
【详解】解：设的最小正周期为，因为，
所以，所以，
所以，
又，所以当时，，
，因为
，
整理得，因为，
，
，则
所以
　　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
故选：C.
【点睛】本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目.
9．ABD
【分析】根据基本不等式“1”的妙用即可判断A；
根据，由结合二次函数的性质即可判断B；
由和结合基本不等式即可判断CD.
【详解】由题意知，
A：，
当且仅当时等号成立，故A正确；
B：，
当且仅当时，等号成立，故B正确；
C：，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
D：因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：ABD.
10．ABD
【分析】利用辅助角公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质判断各选项．
【详解】由题意，其中，为锐角，
最小正周期是，A正确；
，，而为锐角，所以，，
，B正确；
将图像向左平移个单位得到的图象的解析式为，为奇函数，C错；
时，，是递增的，D正确．
故选：ABD．
【点睛】思路点睛：本题考查正弦型函数的性质．解题思路是把函数解析式化为一个角一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质求解，可以用整体思想求解，即利用的值或范围求得的值或范围，然后结合正弦函数性质判断．
11．AC
【分析】对于A，利用单调性的定义进行判断；对于B，通过判断函数的奇偶性求解；对于C，直接计算即可；对于D，由前面的判断可知在上为增函数，在上为减函数，所以构造函数在上为增函数，然后利用零点存在性定理可得，使得，从而可进行判断
【详解】选项A，设，
则，
，
，，，
，即，
在上为增函数．
同理可知在上也为增函数，故正确；
选项B，两函数定义域都为，且，图象关于原点对称,
，图象关于轴对称，故错误；
选项C，，故正确；
选项D，由选项，可知与在上均为增函数，
则当时，，
在上为增函数．
又由选项B可知，为偶函数，
在上为减函数．
在上为增函数．
，
，
，
，使得，
即，使得，故错误．
故选：AC
12．AD
【分析】根据不等式的基本性质逐项进行分析即可判断结果.
【详解】对于A选项，因为，，故，故A正确．
对于B选项，取，，则，故B错误．
对于C选项，因为，，故，得，故C错误．
对于D选项，因为，故，故D正确．
故选：AD.
13．（都可以，填一个正确的即可）
【分析】根据诱导公式求出都可满足条件.
【详解】由于对任意恒成立，
，
所以，故利用诱导公式得，
即，都可满足条件.
故答案为：（答案不唯一，只要是即可）
14．
【分析】求出的取值范围，利用对数函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】因为，所以，，
因此，，故函数的值域为.
故答案为：.
15．
【解析】利用分段函数的性质求解即可
【详解】利用分段函数，.
故答案为：
16．8
【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求解.
【详解】因为，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，取得最小值8.
故答案为：8.
17．（1）最大值; （2）最小正周期为;单调递增区间为
【分析】（1）根据正弦与余弦的二倍角公式及辅助角公式,化简即可求得最大值及对应的值.
（2）根据化简的函数解析式,结合正弦函数性质,即可求得最小正周期及单调递增区间.
【详解】（1）
由正弦与余弦的二倍角公式,结合辅助角公式化简可得
所以最大值为2.
当时取得最大值,
解得
所以的最大值为2,对应的值为
（2）由
可知最小正周期为
由正弦函数的单调递增区间为可知
解得,即
所以的最小正周期为,单调递增区间为
【点睛】本题考查了三角函数恒等变形及其应用,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于基础题.
18．(1)，
(2)在上单调递增，证明见详解
(3)
【分析】（1）根据已知条件用替换，构造一个关于、的方程，再利用函数的奇偶性化简，与已知方程联立即可求得答案；
（2）先判断，在利用定义法证明；
（3）设A=，B=，由可知，
A，列出不等式组即可求出k的范围．
【详解】（1）由奇函数和偶函数可知，
，，
因为，①
用替换得
故，即，②
联立解得，，
（2）在上单调递增；证明如下：
取
所以
因为
所以，
所以
所以在上单调递增
（3）设A=，
令，则化为，
易知在上单调递增，
故，，
故；
设B=，
令，则化为，
易知在单调递增，
故，
则时，．
若对于任意的，存在，
使得可知A，
则A，则显然，则B=，
则，
则，解得．
19．充分不必要条件，证明见解析.
【分析】利用给出的定义、向量共面定理即可判断出关系．
【详解】：空间三个非零向量，，中存在一个向量可由另两个向量线性表出．
：空间三个非零向量，，共面．
是的充分不必要条件．
证明如下：
若空间三个非零向量，，中存在一个向量可由另两个向量线性表出，
不妨设,则由向量共面定理知，，，共面，
即，
反之不成立，例如，三个非零向量，，共面，且，而与，不共线，则无法用，线性表示．
是的充分不必要条件．
【点睛】本题考查了向量共线共面定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
20．(1)5
(2)
【分析】（1）利用集合相等的条件求的值；
（2）由与有包含关系得，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可.
【详解】（1）因为，且，
所以或，
解得或，
故.
（2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素，
所以.
当时，，满足题意；
当时，
当时，，解得，满足题意；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
综上，a的取值范围为.
21．(1)，；
(2).
【分析】（1）（2）解一元一次不等式求集合A，再应用集合交、并、补运算求结果.
【详解】（1）由题设，，
所以，.
（2）由（1）知：或，
所以.
22．(1)
(2)100百辆时，1300万元
【分析】（1）分和，由利润=销售额减去成本求解；
（2）由（1）的结果，利用二次函数和对勾函数的性质求解.
【详解】（1）解：由题意得当，，
当时，，
所以；
（2）当时，，
当时，，
当时，
由对勾函数，当时，
，时，，
时，
即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元