第三章 变量之间的关系 培优突破练习（含解析版）【6个考点60题专练】2023-2024学年北师大版数学七年级下册

第三章 变量间的关系
培优突破练习【6个考点60题专练】
2023-2024学年北师大版数学七年级下册
【原卷版】
一．常量与变量（共1小题）
1．用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形的棋子数　　（用含的代数式表示），其中变量是　　．
二．函数关系式（共5小题）
2．声音在水中的传播速度与水的温度有关，且满足（其中，是常数），它们之间的关系如下表所示：
水的温度 0 10 20 30 40
声速 1437.5 1412.5 1387.5 1362.5 1337.5
则与之间的关系式为 　　．
3．（2023秋 雁塔区校级月考）已知与 成正比例，且当 时，．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）若点 在这个函数图象上，求的值．
4．（2022秋 杜尔伯特县期末）某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为（元，用水量为（立方米）．
用水量（立方米） 收费（元
不超过10立方米 每立方米2.5元
超过10立方米 超过的部分每立方米3.5元
（1）写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式：
①每月用水量不超过10立方米时，　　；
②每月用水量超过10立方米时，　　；
（2）若某户居民某月用水量为6立方米，则应交水费多少元？
（3）若某户居民某月交水费32元，则该户居民用水多少立方米？
5．（2023春 宝安区期末）如图，在长为，宽为的长方形四个角上，分别剪去四个全等的等腰直角三角形，当三角形的直角边的长度变化时，阴影部分的面积也随之发生变化．设剪去的每个三角形的直角边长为，阴影部分的面积为．
三角形的直角边长 1 2 3 4
阴影部分的面积 312 288
（1）表中的数据　　，　　；
（2）当等腰直角三角形的直角边长由4增加到7时，阴影部分的面积 　　（填增大或减少） 　　．
（3）写出与的关系式 　　．
6．（2022秋 陇南期末）如图，矩形中，，，矩形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，．
（1）若，，求与之间的函数关系式；
（2）当时，四边形是何种特殊四边形？说明你的理由．
三．函数的图象（共14小题）
7．（2022秋 金东区期末），两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；
②甲出发后被乙追上；
③甲比乙晚到；
④甲车行驶或，甲，乙两车相距；
其中错误的　　
A．序号① B．序号② C．序号③ D．序号④
8．（2023秋 宁国市月考）下列函数图象中，能表示函数图象的是　　
A． B．
C． D．
9．（台州模拟）小颜同学根据学习函数的经验，对函数的图象和性质作了四个推测：（1）图象是一个轴对称图形；（2）当时，有最大值等于3；（3）的值随着的增大而减少；（4）当时，的值随着的增大而减小．则推测正确的是　　．
10．（2023 鼓楼区校级开学）问题背景：
在平面直角坐标系中，任意直线轴，直线上的任意两点的坐标为，点的坐标为且满足，则可以构成函数．
问题解决：
（1）已知点，，点在点的上方，若点在函数图象上，求的函数解析式；
（2）已知点，点且，当时，函数的最大值是3，求的值．
11．（2023春 礼泉县期中）如图是一位旅行者在早晨8时从城市出发到郊外全程所走的路程（千米）与时间（时之间的关系图象．
根据图象回答问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是 　　，因变量是 　　；
（2）他一共走了多少千米？在途中休息了多长时间？
（3）他休息前的平均速度是多少千米时？
12．（2022秋 肇源县期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程（米与时间（分之间的关系．
（1）小明从家到学校的路程共　　米，从家出发到学校，小明共用了　　分钟；
（2）小明修车用了多长时间？
（3）小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？
13．（2023春 寻乌县期末）已知小王家、体育中心、新华书店在同一直线上．如图所示的图象反映的过程是：小王骑电动车从家出发去体育中心锻炼身体．当他骑了一段路时，突然想起要帮弟弟买书，于是原路返回到刚才经过的新华书店（不考虑电动车掉头的时间），买到书后继续前进并到达体育中心．请根据图象回答下列问题：
（1）体育中心到小王家的距离是 　　米．
（2）第20分钟时，他在 　　（地点），他在这个地方停留了 　　分钟．
（3）买到书后，小王从新华书店到体育中心骑车的平均速度是多少？
14．（2023春 济南期中）周末，小明坐公交车到泉城公园游玩，他从家出发0.8小时达到新华书店，逗留一段时间后继续坐公交车到泉城公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往泉城公园．如图是他们离家路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）图中自变量是 　　，因变量是 　　；
（2）小明家到泉城公园的路程为 　　，小明在新华书店逗留的时间为 　　；
（3）小明从新华书店到泉城公园的平均速度为 　　，小明爸爸驾车的平均速度为 　　；爸爸驾车经过 　　追上小明；
（4）小明从家到新华书店时，他离家路程与坐车时间之间的关系式为 　　．
15．（2023春 法库县期末）如图1，，两地之间有一条笔直的道路，地位于，两地之间，甲从地出发驾车驶往地，乙从地出发驾车驶向地．在行驶过程中，乙由于汽车故障，换乘客车（换乘时间忽略不计）继续前行，并与甲同时到达地，图2中线段和折线段分别表示甲、乙两人与地的距离与甲行驶的时间的变化关系，其中与交于点．
（1）在图2中表示的自变量是 　　，因变量是 　　；
（2）乙比甲晚出发 　　，，两地相距 　　；
（3）请直接写出甲的速度为 　　；
（4）　　，　　；
（5）在图2中点表示的含义是 　　；
（6）请直接写出当　　时，甲，乙相距．
16．（2023 延吉市一模）充满未来感、时代感、速度感的2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”火遍全球，为了满足广大需求，某冰墩墩生产厂家引进新设备，让新旧设备同时生产，提高冰墩墩的产量如图所示，甲表示新设备的产量（万个）与时间（天的关系，乙表示旧设备的产量（万个）与时间（天的关系．
（1）由图象可知，新设备因故停止生产了 　　天；
（2）在正常生产的情况下，分别求新、旧设备每天生产冰墩墩的个数；
（3）试问：第几天新、旧设备所生产的冰墩墩的数量相同？
17．（2023春 张店区期末）甲、乙两家蓝莓采摘园的蓝莓品质相同，销售价格都是每千克30元，“五一”假期，两家均推出了优惠方案．甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的蓝莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的蓝莓超过10千克后，超过部分五折优惠．优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为（千克），在甲采摘园所需总费用为（元，在乙采摘园所需总费用为（元．根据题意列出如表：
采摘量：（千克） 5 10 15 20
在甲采摘园所需总费用：（元 150 240 330
在乙采摘园所需总费用：（元 150 300 375 450
（1）变化过程中采摘量（千克）和在甲采摘园所需总费用（元，这两个变量中，自变量是 　　，因变量是 　　，表格中的值为 　　；
（2）当蓝莓采摘量超过10千克时，求表示在乙采摘园所需总费用和采摘量这两个变量之间关系的表达式；
（3）如图，是小刚画出的表示在甲采摘园所需总费用（元和在乙采摘园所需总费用（元分别与采摘量（千克）之间关系的图象．
①图中两图象的交点表示的意义是：　　；
②若要采摘50千克蓝莓，去哪家比较合算？结合图象，你认为小刚应选择去哪家蓝莓采摘园采摘比较合算．
18．（2023春 广饶县期末）李老师为锻炼身体一直坚持步行上下班．已知学校到李老师家总路程为2000米．一天，李老师下班后，以45米分的速度从学校往家走，走到离学校900米时，正好遇到一个朋友，停下又聊了半小时，之后以110米分的速度走回了家．李老师回家过程中，离家的路程（米与所用时间（分之间的关系如图所示．
（1）求、、的值；
（2）求李老师从学校到家的总时间．
19．（2023春 大荔县期末）如图所示是个骑车者与一个跑步者的与的图象，从图象中能够获得的合理信息有：（写出两条）
（1）　　．
（2）　　．
20．（2023春 漳平市期末）根据函数的图象，求函数的解析式．
四．动点问题的函数图象（共34小题）
21．（2023 金昌）如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为　　
A．， B． C．， D．
22．（2023 富裕县模拟）如图1，四边形中，，，，动点从点出发，沿折线方向以1单位秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒的函数图象如图2所示，则四边形的面积是　　
A．15 B．16 C．17 D．18
23．（2023秋 六安期末）如图是边长为2的菱形，，过点作直线，将直线沿线段方向匀速向右平移，直至经过点时停止，在平移的过程中，若菱形在直线左边的部分面积为，则与直线平移的距离之间的函数图象大致为　　
A． B．
C． D．
24．（2023秋 封丘县月考）如图1，点光源射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为（单位：，长为（单位：，随的变化而变化（如图，且当时，．下列说法不正确的是　　
A． B．当时，随的增大而减小
C．的长为 D．当时，
25．（2023秋 蚌埠月考）如图，在中，，，，动点从点出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点从点出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是　　
A． B．
C． D．
26．（2023 齐齐哈尔）如图，在正方形中，，动点，分别从点，同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点
运动的路程为，的面积为，下列图象中能反映与之间函数关系的是　　
A． B．
C． D．
27．（2023秋 安庆期中）如图，直线，，，点是中点，点、分别是直线，上两个动点（不与点、重合），且满足，设，，与的函数图象是　　
A． B．
C． D．
28．（2023秋 江夏区月考）如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至点停止，动点以的速度自点出发沿折线运动至点停止，若点、同时出发运动了秒，记的面积为 ，且与之间的函数关系的图象如图2所示，则图象中的值为　　
A．1 B．1.2 C．1.6 D．2
29．（2021秋 建始县校级月考）如图1，为半圆的直径，是半圆上的一动点，绕点顺时针旋转得到，于点，设，，关于的函数图象如图2，图象过点，，则图象最高点的纵坐标是 　　．
30．（2020春 偃师市期末）如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动，到点停止运动．点运动时，线段的长度与运动时间的函数关系如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则的面积是　　．
31．（太原期末）如图（1），在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点．
请从下面、两题中任选一题作答，我选择
　　题．
．的面积是　　．
．图2中的值是　　．
32．（2022 西城区校级开学）如图1，在四边形中，，，对角线平分，为上一个动点，为中点，设，，得图2所示关于的函数图象，其中是图象的最低点，则的值为 　　．
33．（2021春 埇桥区期末）已知动点以的速度沿图1所示的边框从的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图2所示，已知，回答下列问题：
（1）当时，　　；
（2）　　．
34．（2021秋 湖州期末）如图①，在四边形中，，直线．当直线沿射线方向，从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点，．设直线向右平移的距离为，线段的长，且与的函数关系如图②所示，则四边形的周长是　　．
35．（2021秋 姑苏区期中）如图①，在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，轴，．点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图②中的曲线段、线段与曲线段．以下说法正确的是 　　．（填序号）
①点的运动速度为；
②点的坐标为；
③线段段的函数解析式为；
④曲线段的函数解析式为；
⑤若的面积是四边形的面积的，则时间或．
36．（2020 平顶山模拟）如图1，在中，，点为的中点，点为射线上一点，将绕点顺时针旋转得到，设，与的重叠部分面积为，关于的函数图象如图2所示（其中，，，时函数的解析式不同）．则　　．
37．（2022春 海淀区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，的面积为10，且边在轴上．如果将直线沿轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在轴上平移的距离为，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为，且与的对应关系如图2所示，那么图2中的值是 　　，的值是 　　．
38．（吉州区模拟）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点处停止，设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，则矩形的面积是　　．
39．（2023 涧西区校级二模）如图1，在平面直角坐标系中，的面积为10，且边在轴上．如果将直线沿轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在轴上平移的距离为，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为，且与的对应关系如图2所示，那么的值是 　　．
40．（重庆模拟）周末的一天，小明和他爷爷从家出发沿笔直的滨江大道散步，要走到距家1440米的公园再返回，途中要经过音乐喷泉广场．爷爷先出发4分钟，小明再出发追赶，两人各自的速度均保持不变，在到达公园之前，小明追上了爷爷，然后小明陪同爷爷以爷爷的速度走到公园再返回家里．如图反映了在到达公园之前，两人与音乐广场的距离之和（米与爷爷行走的时间（分钟）之间的函数关系，则整个散步过程一共用了 　　分钟．
41．如图 ①，在梯形中，，，动点从点出发，以的速度沿的路径移动，直到点到达点为止．已知的面积 与点 移动的时间的函数关系的图象如图②所示，则点的整个运动过程共用时　　（保留根号）．
42．（2023 杜尔伯特县二模）如图1，在平行四边形中，，动点，从点同时出发，分别沿和的方向都以每秒1个单位长度的速度运动，到达点后停止运动．设运动时间为，的面积为，与的大致函数关系如图2所示．则当时，的值为 　　．
43．（2022春 高阳县期末）如图1，在平面直角坐标系中，的面积为10，且边在轴上．如果将直线沿轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在轴上平移的距离为，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为，且与的对应关系如图2所示，那么图2中的值是 　　，的值是 　　．
44．（河南二模）如图1，中，，，点是斜边上一动点过点作，垂足为，交边（或边于点，设，的面积为，图2是关于的函数图象，则图象上最高点的坐标是 　　．
45．（2023秋 雁塔区校级期中）如图1，中，，，．动点以每秒2个单位长度的速度从点出发向点运动．到达点后，又以每秒3个单位长度的速度返回点，点回到点时停止运动．连接，设运动时间为秒，的面积为．
（1）请你求出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的如图2平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
46．（2023 南安市校级模拟）如图1，在平行四边形中，，，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿线段运动到点，同时动点以每秒4个单位的速度从点出发，沿折线运动到点．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图象，求值．
47．（2023春 深圳期中）如图1，有足够多的1号大正方形、2号小正方形、3号长方形的卡片．某数学课后活动小组的两名成员，分别选取了1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，拼成了如图2的一个不重叠无缝隙长方形．
【观察推理】观察图2，小军、小芳分别用长方形面积公式、拼图所用三种卡片数量得出了图2的面积的表示方法，因此得出了含有、的一个等式：　　．
【尝试探究】小军想设计一个长为、宽为的长方形，小芳很快告知了小军所需的1号、2号、3号卡片的张数．请你用所学知识推算出1号、2号、3号卡片的数量．
【综合应用】小芳提议：在1号卡片的四个角上各裁去一个小正方形卡片（剪去部分不再使用），再沿虚线折叠、粘合（如图，能制作出一个无盖长方体盒子．若分米，小正方形的边长记为分米的值可变化），无盖长方体的体积记为（分米．
①无盖长方体的体积　　（用含的代数式表示）．
②两人把的多种情况代入上式，发现当时，　　分米，当时，　　分米；他们找老师帮绘制出了与的关系图象（如图，最终证实了当时，最大，最大值　　分米．
③借助以上信息，可得随着的变化而变化的情况是：　　．
48．（2023春 石狮市校级月考）已知点及在第一象限内的动点，且，设的面积为．
（1）当时，　　．
（2）求出关于的函数关系式，写出的取值范围，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象．
49．（2023春 河东区期中）如图，已知中，，，．
（1）若、是边上的两个动点，其中点从沿方向运动，速度为每秒，点从沿方向运动，速度为每秒，两点同时出发，设出发时间为秒．
①当秒时，求的长；
②从出发几秒钟后，是等腰三角形？
（2）若在边上沿方向以每秒的速度运动，则当点在边上运动时，求成为等腰三角形时运动的时间．
50．（2023春 九龙坡区校级月考）如图，矩形的周长为，将对角线绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，设边，的面积为．
（1）求与的函数关系式：
（2）下表列出了部分点，先直接写出的值为 　　，并在图2中利用描点法画出此函数图象；
1 2 3 4 5 6
41 34 29 26 25
（3）结合图象，指出在的变化过程中，的最小值为 　　；并写出在整个变化过程中，点到直线的最小距离为 　　．
51．（2023秋 防城区期中）【综合与实践】
如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体．
【知识背景】把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把周长为的矩形绕它的一条边旋转可以形成一个圆柱体．
请完成下列方案设计中的任务
【方案设计】目标：设计一个侧面积最大的圆柱体．
任务一：把圆柱体的侧面沿着其中一条母线剪开并展平，研究圆柱体侧面展开图的形状及边长．
（1）圆柱体的侧面展开图是一个什么平面图形？的长度与圆柱体的底面周长有什么关系？
（2）如图，设的长度为 ，请用含有的代数式分别表示、、的长度；
任务二：计算圆柱体侧面积，设圆柱体的侧面积为 ．
（3）在（2）的条件下，求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（4）在（3）的条件下，求当取何值时，圆柱体的侧面积最大？最大值是多少？
52．（2023春 漳州期末）如图1，正方形的边长为，为边上一点，动点以的速度沿的路径向终点运动．设运动时间为，的面积为，与的函数图象如图2所示．
（1）求线段的长及的值；
（2）当为何值时，的面积为8？
53．（2023秋 重庆月考）在中，，，，点从点出发，沿的路线到达终点，点运动的路程记为，的面积记为．
（1）请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）在坐标系中画出的图象，并写出一条该函数的性质；
（3）若函数的图象如图所示，请直接写出当时的取值范围（误差不超过．
54．（2023春 静安区期末）如图1，矩形中，是对角线上一个动点（不与点重合），作，交于点，联结，如果设，面积为，那么可得关于的函数图象（如图2所示）．
（1）求关于的函数解析式，并写出其定义域；
（2）求的面积及矩形对角线的长．
五．函数的表示方法（共5小题）
55．下表所列为某商店薄利多销的情况．某商品原价为560元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化（如表）
降价（元 5 10 15 20 25 30 35
日销量（件 780 810 840 870 900 930 960
这个表反映了　 　个变量之间的关系，　 　是自变量，　 　是因变量．从表中可以看出每降价5元，日销量增加　 　件，从而可以估计降价之前的日销量为　 　件，如果售价为500元时，日销量为　 　件．
56．（2023秋 埇桥区校级期中）根据实验测定：高度每增加1000米，气温大约变化量为．
（1）若某登山运动员攀登了3000米，则气温变化量为多少？
（2）若某登山运动员在攀登途中发回信息，报告他所在高度的气温为，如果当时地面温度为，求此时该登山运动员攀登了多少米？
57．（2023春 渭滨区期中）为了更好放松心情，上周六，小红妈妈开车带着小红一家到外郊游，出发前汽车油箱内有一定量的油．行驶过程中油箱中剩余油量（升与行驶时间（小时）的关系如表，请根据表格回答下列问题：
时间小时 0 1 2 3 4 5
油箱剩余油量升 50 45 40 35 30 25
（1）汽车行驶前油箱里有 　　升汽油，汽车每小时耗油 　　升；
（2）请写出与的关系式；
（3）当汽车行驶24小时时，油箱中还剩余多少升油？
58．（2023春 临渭区期中）一种豆子每千克的售价是2元，豆子的总售价（元与售出豆子的质量（千克）之间的关系如表：
售出豆子质量（千克） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5
总售价（元 0 1 2 3 4 5 6 10
（1）当豆子售出5千克时，总售价是 　　元；
（2）随着的逐渐增大，是怎样变化的？
（3）预测一下，当售出豆子8千克时，总售价是多少元？
59．（2023春 市中区期中）下表是某商行某商品的销售情况，该商品原价为600元，随着不同幅度的降价（单位：元），日销量（单位：件）发生相应变化如下：
降价（元 5 10 15 20 25 30 35
日销量（件 780 810 840 870 900 930 960
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量，哪个是因变量？
（2）每降价5元，日销量增加多少件？降价之前的日销量是多少？
（3）根据你观察到的变化规律，你觉得与满足的关系式是还是？由此你能求出当售价为540元时，日销量为多少吗？
六．分段函数（共1小题）
60．（2023秋 包河区月考）合肥市某超市经销某种特色水果的成本为每千克20元，一段时间内，销售单价（元千克）与时间（天的函数图象如图，且其日销售量（千克）与时间（天的关系是：（其中天数为整数）．
（1）当天，求销售单价（元与时间（天之间的函数关系式；
（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
第三章 变量间的关系
培优突破练习【6个考点60题专练】
2023-2024学年北师大版数学七年级下册
【解析版】
一．常量与变量（共1小题）
1．用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形的棋子数　　（用含的代数式表示），其中变量是　　．
【答案】；，．
【分析】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
【解答】解：第一个图需棋子4；
第二个图需棋子；
第三个图需棋子；
第个图需棋子枚．
其中变量是，．
故答案为：；，．
二．函数关系式（共5小题）
2．声音在水中的传播速度与水的温度有关，且满足（其中，是常数），它们之间的关系如下表所示：
水的温度 0 10 20 30 40
声速 1437.5 1412.5 1387.5 1362.5 1337.5
则与之间的关系式为 　　．
【答案】．
【分析】已知与之间的函数关系满足，将表格中的任意两组数据代入求得，即可．
【解答】解：由题意可知：当时，，
代入得：，
，
当时，，
代入得：，
，
，
故答案为：．
3．（2023秋 雁塔区校级月考）已知与 成正比例，且当 时，．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）若点 在这个函数图象上，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设．将，代入，利用待定系数法求解即可；
（2）将坐标代入（1）中求出的与之间的函数解析式，求出的值即可．
【解答】解：（1）设．将，代入，
得，解得．
，
与之间的函数解析式为．
（2）将坐标代入，
得，
．
4．（2022秋 杜尔伯特县期末）某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为（元，用水量为（立方米）．
用水量（立方米） 收费（元
不超过10立方米 每立方米2.5元
超过10立方米 超过的部分每立方米3.5元
（1）写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式：
①每月用水量不超过10立方米时，　　；
②每月用水量超过10立方米时，　　；
（2）若某户居民某月用水量为6立方米，则应交水费多少元？
（3）若某户居民某月交水费32元，则该户居民用水多少立方米？
【答案】（1）①；②；（2）15；（3）12．
【分析】（1）①根据不超过10立方米时应缴水费用水量；
②超过10立方米时应缴水费超出10立方米的用水量，即可得出关于的函数关系式；
（2）将代入中，求出值即可；
（3）根据（元，，即可得出该户居民月用水量超出10立方米，将代入中，求出值即可．
【解答】解：（1）①当时，；
故答案为：；
②当时，；
故答案为：；
（2）当时，（元，
答：应交水费15元；
（3）（元，，
即可得出该户居民月用水量超出10立方米，
当时，，
，
答：该户居民用水12立方米．
5．（2023春 宝安区期末）如图，在长为，宽为的长方形四个角上，分别剪去四个全等的等腰直角三角形，当三角形的直角边的长度变化时，阴影部分的面积也随之发生变化．设剪去的每个三角形的直角边长为，阴影部分的面积为．
三角形的直角边长 1 2 3 4
阴影部分的面积 312 288
（1）表中的数据　318　，　　；
（2）当等腰直角三角形的直角边长由4增加到7时，阴影部分的面积 　　（填增大或减少） 　　．
（3）写出与的关系式 　　．
【答案】（1）318，302；
（2）减少，66；
（3）．
【分析】（1）根据阴影部分的面积长方形的面积个全等的等腰直角三角形的面积求解即可；
（2）根据阴影部分的面积长方形的面积个全等的等腰直角三角形的面积，分别计算出等腰直角三角形的直角边长为4和7时阴影部分的面积，二者相减即可；
（3）根据阴影部分的面积长方形的面积个全等的等腰直角三角形的面积，其中阴影部分的面积用表示，每个三角形的直角边长用表示，列出关于的函数关系式，并进行整理化简．
【解答】解：（1）当三角形的直角边长为时，；
当三角形的直角边长为时，．
故答案为：318，302．
（2）当等腰直角三角形的直角边长为时，阴影部分的面积为；
当等腰直角三角形的直角边长为时，阴影部分的面积为．
当等腰直角三角形的直角边长由4增加到7时，阴影部分的面积减少．
故答案为：减少，66．
（3）由题意得，
与的函数关系式为．
故答案为：．
6．（2022秋 陇南期末）如图，矩形中，，，矩形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，．
（1）若，，求与之间的函数关系式；
（2）当时，四边形是何种特殊四边形？说明你的理由．
【答案】（1）；（2）四边形是正方形，理由见解析．
【分析】（1）首先根据矩形及直角三角形的性质，可证得，再根据相似三角形的性质可得，再根据矩形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，即可求得的取值范围即可；
（2）首先根据，可得，即，再根据四边形是矩形，即可证得四边形是正方形．
【解答】解：（1）在矩形中，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
，
，，
，
，
，
矩形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，
，
解得，
．
（2）四边形是正方形，
理由如下：
，
当时，，
，即，
四边形是矩形，
四边形是正方形．
三．函数的图象（共14小题）
7．（2022秋 金东区期末），两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；
②甲出发后被乙追上；
③甲比乙晚到；
④甲车行驶或，甲，乙两车相距；
其中错误的　　
A．序号① B．序号② C．序号③ D．序号④
【答案】
【分析】根据函数图象即可得到甲车行驶的速度以及乙车行驶的速度；根据函数图象即可得到乙出发后追上甲；根据图象，当乙到达地时，甲乙相距，据此可得甲比乙晚到；根据甲，乙两车相距，列出方程进行求解即可．
【解答】解：①由图可得，甲车行驶的速度是，
甲先出发，乙出发后追上甲，
，
，
即乙车行驶的速度是，故①正确；
②当时，乙出发，当时，乙追上甲，
甲出发后被乙追上，故②正确；
③由图可得，当乙到达地时，甲乙相距，
甲比乙晚到，故③正确；
④应该分两种情况讨论：ⅰ乙车行驶过程中超前甲车，ⅱ乙车到达地，而甲车离地还有、当乙车尚在行驶中，且超前甲车时由图可得当时，解得；ⅱ、当乙车到达地，而甲车离地还有时，
地和地之间的距离是，且甲车出发1小时后乙车才出发，
，解得，即乙车在时到达地由图可得，时，甲车离地，解得，
甲车行驶或，甲，乙两车相距，故④错误；
故选：．
8．（2023秋 宁国市月考）下列函数图象中，能表示函数图象的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由题意是的函数依据函数的概念可知对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可．
【解答】解：、、选项中的图象，对一个确定的的值，有两个值与之对应，所以不是函数图象；
选项中的图象，对每一个确定的的值，都有唯一确定的值与之对应，所以是函数图象，
故选：．
9．（台州模拟）小颜同学根据学习函数的经验，对函数的图象和性质作了四个推测：（1）图象是一个轴对称图形；（2）当时，有最大值等于3；（3）的值随着的增大而减少；（4）当时，的值随着的增大而减小．则推测正确的是　（2）（4）　．
【分析】对函数解析式对函数进行变形得，然后根据非负数性质得到函数的最大值，即可判断．
【解答】解：
，
当时，取最大值，即，最大．图象不对称．故（1）错误，（2）正确；
当时，随增大而增大，故（3）错误，
当时，随增大而增小，故（4）正确．
函数图象如图：
故答案为（2）（4）
10．（2023 鼓楼区校级开学）问题背景：
在平面直角坐标系中，任意直线轴，直线上的任意两点的坐标为，点的坐标为且满足，则可以构成函数．
问题解决：
（1）已知点，，点在点的上方，若点在函数图象上，求的函数解析式；
（2）已知点，点且，当时，函数的最大值是3，求的值．
【答案】（1）；（2）27．
【分析】（1）根据点和的坐标，写出关于的函数表达式，将点的坐标代入，求出值，进而求出的函数解析式；
（2）证明，得到．根据的图象特征，求出当时，取何值时的函数值最大，进而求出值．
【解答】解：（1）根据题意，得．
将代入，得，解得．
．
（2），
，
，其开口向上，对称轴为．
当时，时取最大值，
，解得．
11．（2023春 礼泉县期中）如图是一位旅行者在早晨8时从城市出发到郊外全程所走的路程（千米）与时间（时之间的关系图象．
根据图象回答问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是 　时间　，因变量是 　　；
（2）他一共走了多少千米？在途中休息了多长时间？
（3）他休息前的平均速度是多少千米时？
【答案】（1）时间；路程；
（2）15千米；0.5小时；
（3）4.5千米时．
【分析】（1）根据数量关系路程速度时间，结合函数图象即可得出：自变量为时间，因变量为路程；
（2）找出当时间为9时时的路程，再找出休息的起始时间即可得出结论；
（3）利用速度路程时间即可求出结论．
【解答】解：（1）数量关系：路程速度时间，
结合图形即可得出：自变量为时间，因变量为路程．
故答案为：时间；路程．
（2）由图可知，他一共走了15千米，
小时，
他休息了0.5小时．
答：他一共走了15千米；在途中休息了0.5小时；
（3）他休息前2小时走了9千米，
（千米时）．
答：他休息前的平均速度是4.5千米时．
12．（2022秋 肇源县期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程（米与时间（分之间的关系．
（1）小明从家到学校的路程共　2000　米，从家出发到学校，小明共用了　　分钟；
（2）小明修车用了多长时间？
（3）小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据可以得到小明修车用了多长时间；
（3）根据函数图象中的数据可以求得小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少．
【解答】解：（1）由图象可得，
小明从家到学校的路程共2000米，从家出发到学校，小明共用了20分钟，
（2）小明修车用了：（分钟），
小明修车用了5分钟；
（3）由图象可得，
小明修车前的速度为：米分钟，
小明修车后的速度为：米分钟．
13．（2023春 寻乌县期末）已知小王家、体育中心、新华书店在同一直线上．如图所示的图象反映的过程是：小王骑电动车从家出发去体育中心锻炼身体．当他骑了一段路时，突然想起要帮弟弟买书，于是原路返回到刚才经过的新华书店（不考虑电动车掉头的时间），买到书后继续前进并到达体育中心．请根据图象回答下列问题：
（1）体育中心到小王家的距离是 　4800　米．
（2）第20分钟时，他在 　　（地点），他在这个地方停留了 　　分钟．
（3）买到书后，小王从新华书店到体育中心骑车的平均速度是多少？
【答案】（1）4800；
（2）新华书店（或书店），8；
（3）450米分．
【分析】（1）根据函数图象可直接得出答案；
（2）由函数图象可知：第分钟，小王在新华书店买书；
（3）找到对应时段的函数图象，根据速度路程时间，即可解答．
【解答】解：（1）根据图象可知：小王家离体育中心的距离是4800米；
（2）由图象可知：第20分钟时，他在新华书店；
他在新华书店停留的时间是（分钟）；
（3）小王从新华书店到体育中心的路程为米，
所用时间为分钟，故其平均速度是：（米分）．
14．（2023春 济南期中）周末，小明坐公交车到泉城公园游玩，他从家出发0.8小时达到新华书店，逗留一段时间后继续坐公交车到泉城公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往泉城公园．如图是他们离家路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）图中自变量是 　时间　，因变量是 　　；
（2）小明家到泉城公园的路程为 　　，小明在新华书店逗留的时间为 　　；
（3）小明从新华书店到泉城公园的平均速度为 　　，小明爸爸驾车的平均速度为 　　；爸爸驾车经过 　　追上小明；
（4）小明从家到新华书店时，他离家路程与坐车时间之间的关系式为 　　．
【答案】（1）时间，路程；
（2）30，1.7；
（3）12，30，；
（4）．
【分析】（1）根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量；
（2）根据图象中数据进行计算，即可得到路程与时间；
（3）根据相应的路程除以时间，即可得出速度，根据结论可得爸爸驾车追上小明的时间；
（4）利用待定系数法可得他离家路程与小明离家时间之间的关系式．
【解答】解：（1）
由图可得：自变量是，因变量是，
故答案为：时间，路程；
（2）由图可得：
明家到泉城公园的路程为，小明在新华书店逗留的时间为：；
故答案为：30，1.7；
（3）小明从新华书店到泉城公园的平均速度为：，
小明爸爸驾车的平均速度为：；
爸爸驾车追上小明的时间：，
故答案为：12，30，；
（4）设小明从家到新华书店时，他离家路程与坐车时间之间的关系式：，
代入得：，
解得：；
小明从家到新华书店时，他离家路程与坐车时间之间的关系式：．
故答案为：．
15．（2023春 法库县期末）如图1，，两地之间有一条笔直的道路，地位于，两地之间，甲从地出发驾车驶往地，乙从地出发驾车驶向地．在行驶过程中，乙由于汽车故障，换乘客车（换乘时间忽略不计）继续前行，并与甲同时到达地，图2中线段和折线段分别表示甲、乙两人与地的距离与甲行驶的时间的变化关系，其中与交于点．
（1）在图2中表示的自变量是 　甲行驶的时间　，因变量是 　　；
（2）乙比甲晚出发 　　，，两地相距 　　；
（3）请直接写出甲的速度为 　　；
（4）　　，　　；
（5）在图2中点表示的含义是 　　；
（6）请直接写出当　　时，甲，乙相距．
【答案】（1）甲行驶的时间；甲、乙两人与地的距离；
（2）2；960；
（3）；
（4）16；720；
（5）乙出发后（或甲出发后）两人相遇，相遇地点距地；
（6）5.5或6.5或14．
【分析】（1）根据函数的定义解答即可；
（2）由图象可得乙比甲晚出发4 ，，两地相距（千米）；
（3）根据点的坐标可求出甲，乙两人的驾车速度；
（4）根据两车的速度可得答案；
（5）根据点的坐标解答即可；
（6）分两种情况，①时，②时，分别列方程求解即可．
【解答】解：（1）在图2中表示的自变量是甲行驶的时间，因变量是甲、乙两人与地的距离；
故答案为：甲行驶的时间；甲、乙两人与地的距离；
（2）由图象可知，乙比甲早出发的是2 ，，两地相距（千米）；
故答案为：2；960；
（3）甲的驾车速度为：；
故答案为：；
（4）由题意可得，，
乙的驾车速度为：，
所以，
故答案为：16；720；
（5）在图2中点表示的含义是乙出发后（或甲出发后）两人相遇，相遇地点距地；
故答案为：乙出发后（或甲出发后）两人相遇，相遇地点距地；
（6）分两种情况，①时，
，
解得：，，
②时，
乙的速度为，
，
，
综上，当或6.5或14时，甲，乙相距．
故答案为：5.5或6.5或14．
16．（2023 延吉市一模）充满未来感、时代感、速度感的2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”火遍全球，为了满足广大需求，某冰墩墩生产厂家引进新设备，让新旧设备同时生产，提高冰墩墩的产量如图所示，甲表示新设备的产量（万个）与时间（天的关系，乙表示旧设备的产量（万个）与时间（天的关系．
（1）由图象可知，新设备因故停止生产了 　2　天；
（2）在正常生产的情况下，分别求新、旧设备每天生产冰墩墩的个数；
（3）试问：第几天新、旧设备所生产的冰墩墩的数量相同？
【分析】（1）图象中甲对应的函数图象在时，其产量保持不变，据此可得答案；
（2）结合图象，用产量除以所用时间求解可得答案；
（3）分停产前和停产后分别列出方程求解可得．
【解答】解：（1）由图象知，新设备因工人操作不当停止生产了2天，
故答案为：2；
（2）新设备：（万个天），旧设备：（万个天），
答：新设备每天生产0.4万个冰墩墩，旧设备每天生产0.2万个冰墩墩；
（3）①，解得；
②，解得；
答：第2天和第4天新、旧设备所生产的冰墩墩的数量相同．
17．（2023春 张店区期末）甲、乙两家蓝莓采摘园的蓝莓品质相同，销售价格都是每千克30元，“五一”假期，两家均推出了优惠方案．甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的蓝莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的蓝莓超过10千克后，超过部分五折优惠．优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为（千克），在甲采摘园所需总费用为（元，在乙采摘园所需总费用为（元．根据题意列出如表：
采摘量：（千克） 5 10 15 20
在甲采摘园所需总费用：（元 150 240 330
在乙采摘园所需总费用：（元 150 300 375 450
（1）变化过程中采摘量（千克）和在甲采摘园所需总费用（元，这两个变量中，自变量是 　采摘量　，因变量是 　　，表格中的值为 　　；
（2）当蓝莓采摘量超过10千克时，求表示在乙采摘园所需总费用和采摘量这两个变量之间关系的表达式；
（3）如图，是小刚画出的表示在甲采摘园所需总费用（元和在乙采摘园所需总费用（元分别与采摘量（千克）之间关系的图象．
①图中两图象的交点表示的意义是：　　；
②若要采摘50千克蓝莓，去哪家比较合算？结合图象，你认为小刚应选择去哪家蓝莓采摘园采摘比较合算．
【答案】（1）采摘量（千克），总费用（元，420；
（2）；
（3）①当采摘量为30千克时，甲、乙采摘园所需总费用都是600元；
②小刚应选择去乙采摘园采摘比较合算．
【分析】（1）根据常量与变量的定义即可得出答案，根据甲采摘园的优惠方案计算即可；
（2）根据乙采摘园的优惠方案可得关于的表达式；
（3）①根据横坐标和纵坐标的意义回答即可；②结合图象，即可得到答案．
【解答】解：（1）总费用（元随采摘量（千克）的变化而变化，
这两个变量中，自变量是采摘量（千克），因变量是总费用（元，
表格中的值为；
故答案为：采摘量（千克），总费用（元，420；
（2）根据题意得：当千克时，，
所以总费用和采摘量这两个变量之间关系的表达式为；
（3）①图中两图象的交点表示的意义是：当采摘量为30千克时，甲、乙采摘园所需总费用都是600元；
故答案为：当采摘量为30千克时，甲、乙采摘园所需总费用都是600元；
②根据图象可知：当千克时，，
所以要采摘50千克蓝莓，小刚应选择去乙采摘园采摘比较合算．
18．（2023春 广饶县期末）李老师为锻炼身体一直坚持步行上下班．已知学校到李老师家总路程为2000米．一天，李老师下班后，以45米分的速度从学校往家走，走到离学校900米时，正好遇到一个朋友，停下又聊了半小时，之后以110米分的速度走回了家．李老师回家过程中，离家的路程（米与所用时间（分之间的关系如图所示．
（1）求、、的值；
（2）求李老师从学校到家的总时间．
【分析】（1）根据函数图象和题中给出的信息算出的值以及，的值；
（2）根据等式“时间”分段求出时间，再累加起来算出到家的时间．
【解答】解：（1）李老师停留地点离他家路程为：（米，
（分．
，，；
（2）（分．
答：李老师从学校到家的共用60分钟．
19．（2023春 大荔县期末）如图所示是个骑车者与一个跑步者的与的图象，从图象中能够获得的合理信息有：（写出两条）
（1）　骑车者比跑步者晚出发　．
（2）　　．
【答案】（1）骑车者比跑步者晚出发，
（2）骑车者的路程为300米时，跑步者刚好跑了200米．（答案不唯一）．
【分析】根据路程与时间在图象中的坐标意义解答即可．
【解答】解：（1）骑车者比跑步者晚出发，
（2）骑车者的路程为300米时，跑步者刚好跑了200米．
20．（2023春 漳平市期末）根据函数的图象，求函数的解析式．
【答案】．
【分析】用待定系数法可得答案．
【解答】解：设函数的解析式为，
图象过点，，
，
解得，
该函数的解析式为．
四．动点问题的函数图象（共34小题）
21．（2023 金昌）如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为　　
A．， B． C．， D．
【答案】
【分析】根据图2确定点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，然后求值即可．
【解答】解：由题意可知，当点在边上时，的值先减小后增大，
当点在边上时，的值逐渐减小，
点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，
，，
，
，，
故选：．
22．（2023 富裕县模拟）如图1，四边形中，，，，动点从点出发，沿折线方向以1单位秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒的函数图象如图2所示，则四边形的面积是　　
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】
【分析】由图1和图2可得当时，点到达点处，即，过点作于点，由矩形的性质可得，由等腰三角形三线合一，求得，当时，点到达点处，根据三角形面积公式求得，再根据梯形的面积公式即可求解．
【解答】解：当时，点到达点处，即，
如图，过点作于点，则四边形为矩形，
，
，
，
当时，点到达点处，
，
，
四边形的面积：，
故选：．
23．（2023秋 六安期末）如图是边长为2的菱形，，过点作直线，将直线沿线段方向匀速向右平移，直至经过点时停止，在平移的过程中，若菱形在直线左边的部分面积为，则与直线平移的距离之间的函数图象大致为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】利用面积公式，分别计算出三个距离段的面积对应的解析式，根据相应图象即可解答．
【解答】解：四边形是菱形，，
，，
①当时，，图象是开口向上的抛物线的一部分；
②当时，图象是线段；
③当时，，图象是开口向下的抛物线的一部分．
综上所述，与之间的函数图象大致如选项所示．
故选：．
24．（2023秋 封丘县月考）如图1，点光源射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为（单位：，长为（单位：，随的变化而变化（如图，且当时，．下列说法不正确的是　　
A． B．当时，随的增大而减小
C．的长为 D．当时，
【答案】
【分析】由，得到，求出，再通过观察函数图象即可求解．
【解答】解：，
，
，即，
解得：，
故、正确，不符合题意；
从图象看，当时，随的增大而减小，
故正确，不符合题意；
从图象看，当时，，
故错误，不符合题意；
故选：．
25．（2023秋 蚌埠月考）如图，在中，，，，动点从点出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点从点出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】当时，，当时，如图所示，即可求解．
【解答】解：在中，，，，
，
．
（1）时，，图象为开口向上的抛物线；
（2）当时，如图所示，
，
，图象为开口向下的抛物线；
故选：．
26．（2023 齐齐哈尔）如图，在正方形中，，动点，分别从点，同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点
运动的路程为，的面积为，下列图象中能反映与之间函数关系的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据点的运动情况，写出每种情况和之间的函数关系式，即可确定图象．
【解答】解：时，在上，在上，依题意可知：
设，
，
；
该二次函数图象开口向上，
当时，二次函数的最小值为6；
当或4时，二次函数的最大值为8；
故选：．
27．（2023秋 安庆期中）如图，直线，，，点是中点，点、分别是直线，上两个动点（不与点、重合），且满足，设，，与的函数图象是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】先证得，得出，即可求得答案．
【解答】解：直线，，，
，
，
，
，
，
点是中点，
，
，
，
故选：．
28．（2023秋 江夏区月考）如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至点停止，动点以的速度自点出发沿折线运动至点停止，若点、同时出发运动了秒，记的面积为 ，且与之间的函数关系的图象如图2所示，则图象中的值为　　
A．1 B．1.2 C．1.6 D．2
【答案】
【分析】设正方形的边长为 ，当点在上时，求得．当时，有最大值，配合图象可得方程，即可求得；当点在上时，可求得，把代入即可得到答案．
【解答】解：设正方形的边长为 ，则，，，
，
当时，有最大值，
即，
解得，
，
当点在上时，
如图，，
当时，，
故选：．
29．（2021秋 建始县校级月考）如图1，为半圆的直径，是半圆上的一动点，绕点顺时针旋转得到，于点，设，，关于的函数图象如图2，图象过点，，则图象最高点的纵坐标是 　　．
【答案】．
【分析】根据点，，可知此时和重合，因为，所以，又因为由旋转得到，所以，因为直径所对的圆周角是直角，所以，即，再根据，得到，又因为，所以，即，化为顶点式，即可解答．
【解答】解：由图2知：当时，，此时和重合，
图1中，，，
在直角中，，
由旋转得到，
，
为直径，
，
，
，
又，
，
又，
，
即，
，
当时，取最大值，的最大值为．
30．（2020春 偃师市期末）如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动，到点停止运动．点运动时，线段的长度与运动时间的函数关系如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则的面积是　12　．
【分析】根据图象可知点在上运动时，此时不断增大，而从向运动时，先变小后变大，从而可求出与上的高．
【解答】解：根据图象可知，点在上运动时，此时不断增大，
由图象可知：点从向运动时，的最大值为5，即，
点从向运动时，的最小值为4，
即边上的高为4，
当，，
此时，由勾股定理可知：，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
，
，
的面积为：，
故答案为12．
31．（太原期末）如图（1），在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点．
请从下面、两题中任选一题作答，我选择
　或　题．
．的面积是　　．
．图2中的值是　　．
【分析】从图（2）看，，的最小值为4，即；在中，，则，进而求解．
【解答】解：过点作于点，
，故，
从图（2）看，当时，点在点处，即，
从图（2）看，点为曲线部分的最低点，即的最小值为4，即，
在中，，则，
故；
的周长为，
则，
的面积，
故答案为，．
32．（2022 西城区校级开学）如图1，在四边形中，，，对角线平分，为上一个动点，为中点，设，，得图2所示关于的函数图象，其中是图象的最低点，则的值为 　　．
【答案】．
【分析】由图2即点的运动可知，当点和点重合时，；过点作于点，交于点，连接交于点，连接，通过计算可得此时的点对应图2中的点；结合，平分，分别求解即可．
【解答】解：如图，过点作于点，交于点，连接交于点，连接，
，平分，
，
，
，
，
，
，
，
△，
，，
点与点关于对称，即此时的点对应图2中的点，
，
由图2即点的运动可知，当点和点重合时，，
，
点是的中点，
，，
，
，，
，
在△中，，，
，即，
同理可得，，
，即，
．
故答案为：．
33．（2021春 埇桥区期末）已知动点以的速度沿图1所示的边框从的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图2所示，已知，回答下列问题：
（1）当时，　18　；
（2）　　．
【答案】（1）18；
（2）13．
【分析】（1）先根据图形中所得的移动时间，计算的长，进而可得的值；
（2）根据图形中所得的移动时间，计算、的长，再根据、的长求得相应的时间，再根据为点走完全程的时间，求得的值．
【解答】解：（1）由图得，点在上移动了，故，
所以当时，点与点重合，
所以；
故答案为：18；
（2）由图得，点在上移动了，故，
点在上移动了，故，
由可得，点在上移动了，
由，可得点在上移动了，
为点走完全程的时间：．
故．
故答案为：13．
34．（2021秋 湖州期末）如图①，在四边形中，，直线．当直线沿射线方向，从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点，．设直线向右平移的距离为，线段的长，且与的函数关系如图②所示，则四边形的周长是　　．
【分析】分别研究直线在直线的位置、直线经过后平移到的位置、直线到达直线的位置三种情况，线段与四边形的位置，进而求解．
【解答】解：过、、分别作直线的平行线，．，延长交直线于点，设直线交于点，直线交于点，
①当直线在直线的位置时，
，，则，则，
；
直线经过后平移到处时，，即，
当直线到达直线的位置时，，则，
此时，，，
故为等边三角形，即，
四边形的周长，
故答案为
35．（2021秋 姑苏区期中）如图①，在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，轴，．点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图②中的曲线段、线段与曲线段．以下说法正确的是 　①③④　．（填序号）
①点的运动速度为；
②点的坐标为；
③线段段的函数解析式为；
④曲线段的函数解析式为；
⑤若的面积是四边形的面积的，则时间或．
【答案】①③④．
【分析】结合函数图象得出当3秒时，，此时的面积为，进而求出为，即可得出点的速度，进而求出的长即可，进而判断①②；过点作于点，根据三角形的面积公式可表达此时的，进而判断③；画出图形可得出，，则，求出即可面积可判断④；首先得出的面积，分两种情形分别列出方程即可解决问题进而判断⑤．
【解答】解：由题意可得出：当3秒时，的面积的函数关系式改变，则在上运动3秒，
当3秒时，，此时的面积为，
为，
点的运动速度为：，故①正确；
当运动到5秒时，函数关系式改变，则，
，
可求出，
；故②错误；
当点在上时，如图，于点，
，故③正确；
如图，，，过点作于点，
则，
，
即曲线段的函数解析式为：；故④正确；
，
，
当时，，时，或（舍弃），
当时，；
解得或（舍弃），
综上所述：或，的面积是四边形的面积的．故⑤错．
故答案为：①③④．
36．（2020 平顶山模拟）如图1，在中，，点为的中点，点为射线上一点，将绕点顺时针旋转得到，设，与的重叠部分面积为，关于的函数图象如图2所示（其中，，，时函数的解析式不同）．则　　．
【分析】当点在上时，先求此时，由已知的图2知：当时，，即当时，点在上时，最大，在这一取值重叠部分是三角形，图2中最后一个阶段：计算当过点时，所对应的的长，就是的值，作辅助线，构建等腰直角三角形，先根据面积法求高线的长，再分别求和的长，可得的值，即的值．
【解答】解：（1），
由旋转得：是等腰三角形，
，
由已知图2得：，解得：，
，，
即如图1时，点在上时，，
由已知得：，即当时，点与重合，如图2，
此时，，，
是的中点，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
即，
当经过点时，如图3，过作于，
，
，
，，
，即，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
；
故答案为：．
37．（2022春 海淀区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，的面积为10，且边在轴上．如果将直线沿轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在轴上平移的距离为，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为，且与的对应关系如图2所示，那么图2中的值是 　7　，的值是 　　．
【答案】7，．
【分析】找出图1与图2中的对应点：图1中点对应图2中的点，得出，图1中点对应图2中的点，得出，，则，图1中点对应图2中的点，得出，图1中点对应图2中的点，由．解得值；在可解得．
【解答】解：在图1中，过点，作直线与已知直线平行，交轴于点，，
在图2中，取，，，，
图1中点对应图2中的点，得出，
图1中点对应图2中的点，得出，，则，
图1中点对应图2中的点，得出，
图1中点对应图2中的点，得出，
，，，
，
的面积为10，，
，
在中，，
，
故答案为：7，．
38．（吉州区模拟）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点处停止，设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，则矩形的面积是　20　．
【分析】根据图象横坐标的变化，问题可解．
【解答】解：由图象可知，时，点到达，时，点到点，则，
矩形的面积是20．
39．（2023 涧西区校级二模）如图1，在平面直角坐标系中，的面积为10，且边在轴上．如果将直线沿轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在轴上平移的距离为，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为，且与的对应关系如图2所示，那么的值是 　　．
【答案】．
【分析】找出图1与图2中的对应点：图1中点对应图2中的点，得出，图1中点对应图2中的点，得出，，则，图1中点对应图2中的点，得出，图1中点对应图2中的点，由．解得值；在可解得．
【解答】解：在图1中，过点，作直线与已知直线平行，交轴于点，，
在图2中，取，，，，
图1中点对应图2中的点，得出，
图1中点对应图2中的点，得出，，则，
图1中点对应图2中的点，得出，
图1中点对应图2中的点，得出，
，，
，
的面积为10，，
，
在中，，
，
，
．
故答案为：．
40．（重庆模拟）周末的一天，小明和他爷爷从家出发沿笔直的滨江大道散步，要走到距家1440米的公园再返回，途中要经过音乐喷泉广场．爷爷先出发4分钟，小明再出发追赶，两人各自的速度均保持不变，在到达公园之前，小明追上了爷爷，然后小明陪同爷爷以爷爷的速度走到公园再返回家里．如图反映了在到达公园之前，两人与音乐广场的距离之和（米与爷爷行走的时间（分钟）之间的函数关系，则整个散步过程一共用了 　48　分钟．
【分析】先结合题目，看懂函数图象．两人的距离和960．然后如图，求出小明爷爷的时间以及爷爷从家到被追上的时间，即可求出答案．
【解答】解：如图：
表示两人在家，表示小明追上了爷爷，这两个点表示二人距离广场的和都是960米，
说明广场在家与追上地之间的正中间，即家到广场480米，广场到追上地480米．
表示小明出发，表示爷爷经过广场，表示小明经过广场，小明6分钟走完这480米，
所以小明的速度是80米分．小明追上爷爷时间为分钟，
所以爷爷从家出发到被追上用了分钟，所以爷爷的速度为60米分．
所以整个散步过程一共用了分钟．
故答案为：48．
41．如图 ①，在梯形中，，，动点从点出发，以的速度沿的路径移动，直到点到达点为止．已知的面积 与点 移动的时间的函数关系的图象如图②所示，则点的整个运动过程共用时　秒　（保留根号）．
【答案】答：点从开始移动到停止移动一共用了秒．
【分析】根据图②判断出、的长度，过点作于点，然后求出梯形的高，再根据时的面积求出的长度，过点作于点，然后求出的长度，利用勾股定理列式求出的长度，然后求出、、的和，再根据时间路程速度计算即可得解．
【解答】解：由图②可知，在2到4秒时，的面积不发生变化，
在上运动的时间是2秒，在上运动的时间是秒，
动点的运动速度是，
，，
过点作于点，过点作于点，
则四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
即，
解得，
，
在中，，
所以，动点运动的总路程为，
动点的运动速度是，
点从开始移动到停止移动一共用了（秒．
答：点从开始移动到停止移动一共用了秒．
42．（2023 杜尔伯特县二模）如图1，在平行四边形中，，动点，从点同时出发，分别沿和的方向都以每秒1个单位长度的速度运动，到达点后停止运动．设运动时间为，的面积为，与的大致函数关系如图2所示．则当时，的值为 　1或　．
【答案】1或．
【分析】因为、运动到不同位置时，的面积不同，所以对的取值范围进行分类，，，，然后进行分别求解即可．
【解答】解：四边形是平行四边形，由图2得：
，，
当时，，
，
是等边三角形，
当时，
解得或（舍去）；
当时，如图，
，
，
，
当时，，
解得（舍去）；
当时，如图：
，，，
，
当时，，
解得或（舍去），
综上所述得：当时．或．
故答案为：1或．
43．（2022春 高阳县期末）如图1，在平面直角坐标系中，的面积为10，且边在轴上．如果将直线沿轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在轴上平移的距离为，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为，且与的对应关系如图2所示，那么图2中的值是 　7　，的值是 　　．
【答案】7，．
【分析】找出图1与图2中的对应点：图1中点对应图2中的点，得出，图1中点对应图2中的点，得出，，则，图1中点对应图2中的点，得出，图1中点对应图2中的点，由．解得值；在可解得．
【解答】解：在图1中，过点，作直线与已知直线平行，交轴于点，，
在图2中，取，，，，
图1中点对应图2中的点，得出，
图1中点对应图2中的点，得出，，则，
图1中点对应图2中的点，得出，
图1中点对应图2中的点，得出，
，，
，
的面积为10，，
，
在中，，
，
故答案为：7，．
44．（河南二模）如图1，中，，，点是斜边上一动点过点作，垂足为，交边（或边于点，设，的面积为，图2是关于的函数图象，则图象上最高点的坐标是 　，　．
【分析】当点在线段上时，，当点在点处时，即，为最大值，即可求解．
【解答】解：由图2知，，
则，，
则的高，
当点在线段上时，
，
当点在点处时，即，
，为最大值，
即点，，
故答案为，．
45．（2023秋 雁塔区校级期中）如图1，中，，，．动点以每秒2个单位长度的速度从点出发向点运动．到达点后，又以每秒3个单位长度的速度返回点，点回到点时停止运动．连接，设运动时间为秒，的面积为．
（1）请你求出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的如图2平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
【答案】（1）；
（2）图象见解答．
【分析】（1）当时，由，即可求解；当时，，同理可解；
（2）当时，，当时，，当时，，描绘函数图象即可．
【解答】解：（1）当时，，
，
当时，，
，
综上所述，关于的函数表达式为；
（2）当时，，当时，，当时，，
描绘上述各点绘制函数图象如下：
46．（2023 南安市校级模拟）如图1，在平行四边形中，，，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿线段运动到点，同时动点以每秒4个单位的速度从点出发，沿折线运动到点．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图象，求值．
【答案】．
【分析】根据图2可知时，点停止运动，可计算出，的长，分类讨论，当时，当时分别计算出的面积，当到达点时，，由此即可求解．
【解答】解：根据图2可知，时，点停止运动，
，，
根据题意得，，，
当在上时，即，
，如图所示，过作于点，
，
在中，，
；
当点在上时，即时，如图所示，
四边形是平行四边形，
，
；
综上所述，当点到达点时，，
当时，，
的值为．
47．（2023春 深圳期中）如图1，有足够多的1号大正方形、2号小正方形、3号长方形的卡片．某数学课后活动小组的两名成员，分别选取了1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，拼成了如图2的一个不重叠无缝隙长方形．
【观察推理】观察图2，小军、小芳分别用长方形面积公式、拼图所用三种卡片数量得出了图2的面积的表示方法，因此得出了含有、的一个等式：　　．
【尝试探究】小军想设计一个长为、宽为的长方形，小芳很快告知了小军所需的1号、2号、3号卡片的张数．请你用所学知识推算出1号、2号、3号卡片的数量．
【综合应用】小芳提议：在1号卡片的四个角上各裁去一个小正方形卡片（剪去部分不再使用），再沿虚线折叠、粘合（如图，能制作出一个无盖长方体盒子．若分米，小正方形的边长记为分米的值可变化），无盖长方体的体积记为（分米．
①无盖长方体的体积　　（用含的代数式表示）．
②两人把的多种情况代入上式，发现当时，　　分米，当时，　　分米；他们找老师帮绘制出了与的关系图象（如图，最终证实了当时，最大，最大值　　分米．
③借助以上信息，可得随着的变化而变化的情况是：　　．
【答案】观察推理：；
尝试探究：需要1号3张、2号卡片3张、3号卡片10张；
综合应用：①；②1.936，1，2；③当由0增大到时，由0增大到2；当由增大到时，由2减小到0．
【分析】观察推理：根据长方形面积公式即可获得答案；
尝试探究：根据多项式乘以多项式法则，可得，即可获得答案；
综合应用：①根据长方体体积公式，即可获得答案；
②由题意可知，分别将、、代入求解即可获得答案；
③结合题中信息分析随着的变化而变化的情况即可．
【解答】解：观察推理：由图2可知，图形面积．
故笞案为：；
尝试探究：
，
需要1号3张、2号卡片3张、3号卡片10张；
综合应用：
①由题意可知，该无盖长方体的长、宽、高分别为、、，
则其体积为；
②当时，；
当时，；
当时，最大值；
③借助以上信息可知，当由0增大到时，由0增大到2；当由增大到时，由2减小到0．
故答案为：①；②1.936，1，2；③当由0增大到时，由0增大到2；当由增大到时，由2减小到0．
48．（2023春 石狮市校级月考）已知点及在第一象限内的动点，且，设的面积为．
（1）当时，　20　．
（2）求出关于的函数关系式，写出的取值范围，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象．
【答案】（1）20；
（2），函数图象见解答．
【分析】（1）根据的面积等于可得出关于的函数解析式；
（2）根据一次函数的图象性质，可分别取，和，，在平面坐标系中画出图象即可．
【解答】解：（1）当时，由得，，
则，
故答案为：20；
（2）由（1）知，，
则．
列表如下：
0 10
40 0
函数的图象如下：
49．（2023春 河东区期中）如图，已知中，，，．
（1）若、是边上的两个动点，其中点从沿方向运动，速度为每秒，点从沿方向运动，速度为每秒，两点同时出发，设出发时间为秒．
①当秒时，求的长；
②从出发几秒钟后，是等腰三角形？
（2）若在边上沿方向以每秒的速度运动，则当点在边上运动时，求成为等腰三角形时运动的时间．
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）是等腰三角形，，可知，用表示出、的长，列出等式即可解答；
（3）分三种情况讨论：当时；当时；当时；列出方程解答即可．
【解答】解：（1）如图1，
当时，，，
；
（2）是等腰三角形，，
，
，，
，
解得；
（3）当时，
当时，，
当时，．
50．（2023春 九龙坡区校级月考）如图，矩形的周长为，将对角线绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，设边，的面积为．
（1）求与的函数关系式：
（2）下表列出了部分点，先直接写出的值为 　26　，并在图2中利用描点法画出此函数图象；
1 2 3 4 5 6
41 34 29 26 25
（3）结合图象，指出在的变化过程中，的最小值为 　　；并写出在整个变化过程中，点到直线的最小距离为 　　．
【答案】（1）
（2）26，图见解析；
（3）25，4．
【分析】（1）设边，由矩形的周长为求出，由勾股定理得到，由旋转性质得到，，即可得到与的函数关系式：
（2）由函数解析式即可得到的值，用描点法画出函数图象即可；
（3）图象得到最低点的纵坐标即是的最小值；作交的延长线于点，先证明，则，由题意得到，则，即可得到点到直线的最小距离．
【解答】解：（1）矩形的周长为，
，
设边，则，
，
对角线绕点顺时针方向旋转得到线段，
，，
的面积为，
即与的函数关系式为；
（2）当时，，
即，
图象如下：
故答案为：26；
（3）解：由图象可知，在的变化过程中，当时，取得最小值为25，
如图，作交的延长线于点，则，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即点到直线的最小距离为．
故答案为：25，4．
51．（2023秋 防城区期中）【综合与实践】
如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体．
【知识背景】把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把周长为的矩形绕它的一条边旋转可以形成一个圆柱体．
请完成下列方案设计中的任务
【方案设计】目标：设计一个侧面积最大的圆柱体．
任务一：把圆柱体的侧面沿着其中一条母线剪开并展平，研究圆柱体侧面展开图的形状及边长．
（1）圆柱体的侧面展开图是一个什么平面图形？的长度与圆柱体的底面周长有什么关系？
（2）如图，设的长度为 ，请用含有的代数式分别表示、、的长度；
任务二：计算圆柱体侧面积，设圆柱体的侧面积为 ．
（3）在（2）的条件下，求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（4）在（3）的条件下，求当取何值时，圆柱体的侧面积最大？最大值是多少？
【答案】（1）圆柱体的侧面展开图是一个矩形，的长度等于圆柱体的底面周长；
（2），， ；
（3），；
（4）当时，圆柱体的侧面积最大，最大值是．
【分析】（1）根据圆柱体与平面图形的关系求解；
（2）根据矩形的周长及圆的周长公式求解；
（3）根据圆柱的侧面积等于矩形的面积列代数式求解；
（4）先把二次函数进行配方，再根据二次函数的最值求解．
【解答】解：（1）圆柱体的侧面展开图是一个矩形，的长度等于圆柱体的底面周长；
（2），
，
，
；
（3）；
（4），
当时，圆柱体的侧面积最大，最大值是．
52．（2023春 漳州期末）如图1，正方形的边长为，为边上一点，动点以的速度沿的路径向终点运动．设运动时间为，的面积为，与的函数图象如图2所示．
（1）求线段的长及的值；
（2）当为何值时，的面积为8？
【答案】（1），1；
（2）或．
【分析】（1）当点在段时，的面积逐渐增大；当点在段时，的面积保持不变；当点在段时，的面积逐渐减小．据此即可求解；
（2）由图2可得，当点在段或段时，的面积都可能是8，分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）由图2可得：当点运动到点时，，
即：，
，
由图2可得：点运动后，，
即：，
，
解得：；
（2）①当点在段时：
，
，
解得：；
②当点在段时：
，
，
解得：，
综上所述：或时，的面积为8．
53．（2023秋 重庆月考）在中，，，，点从点出发，沿的路线到达终点，点运动的路程记为，的面积记为．
（1）请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）在坐标系中画出的图象，并写出一条该函数的性质；
（3）若函数的图象如图所示，请直接写出当时的取值范围（误差不超过．
【答案】（1）；
（2）见解析部分；
（3）．
【分析】（1）利用三角形的面积公式分两种情形分别求解；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）利用图象法解决问题即可．
【解答】解：（1）；
（2）函数图象如图所示：
性质：当时，随增大而增大；
当时，函数有最大值为6；
当时，随增大而减小．
（3）
54．（2023春 静安区期末）如图1，矩形中，是对角线上一个动点（不与点重合），作，交于点，联结，如果设，面积为，那么可得关于的函数图象（如图2所示）．
（1）求关于的函数解析式，并写出其定义域；
（2）求的面积及矩形对角线的长．
【答案】（1），定义域为；
（2）的面积为24；．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先根据题意得到当时，点于点重合，进而得到的面积为24；然后由，解得，最后利用三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）设关于的函数解析式为，
将，，代入得，
，
解得，
；
当时，即，
解得，
点不与点重合，
定义域为；
（2）当时，点与点重合，
，
的面积为24；
由（1）可得，当时，解得，
，
，四边形是矩形，
，即，
，
在中，由勾股定理可得，．
五．函数的表示方法（共5小题）
55．下表所列为某商店薄利多销的情况．某商品原价为560元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化（如表）
降价（元 5 10 15 20 25 30 35
日销量（件 780 810 840 870 900 930 960
这个表反映了　两　个变量之间的关系，　 　是自变量，　 　是因变量．从表中可以看出每降价5元，日销量增加　 　件，从而可以估计降价之前的日销量为　 　件，如果售价为500元时，日销量为　 　件．
【分析】根据函数的定义即可确定自变量与因变量；从表中可以看出每降价5元，日销量增加30件，则日销量与降价之间的关系为：日销量（原价售价）；将已知数据代入上式即可求得要求的量．
【解答】解：日销量随降价的改变而改变，
降价（元是自变量，日销量是因变量．
从表中可：日销量与降价之间的关系为：
日销量（原价售价）；
则可以估计降价之前的日销量为件，
售价为500元时，日销量件．
56．（2023秋 埇桥区校级期中）根据实验测定：高度每增加1000米，气温大约变化量为．
（1）若某登山运动员攀登了3000米，则气温变化量为多少？
（2）若某登山运动员在攀登途中发回信息，报告他所在高度的气温为，如果当时地面温度为，求此时该登山运动员攀登了多少米？
【答案】（1）；（2）5500．
【分析】（1）由，，即可得气温变化量为．
（2）由 （米，即可得登山运动员攀登了5500 米．
【解答】解：（1）（个，
，
答：气温变化量为．
（2） （米，
答：登山运动员攀登了5500 米．
57．（2023春 渭滨区期中）为了更好放松心情，上周六，小红妈妈开车带着小红一家到外郊游，出发前汽车油箱内有一定量的油．行驶过程中油箱中剩余油量（升与行驶时间（小时）的关系如表，请根据表格回答下列问题：
时间小时 0 1 2 3 4 5
油箱剩余油量升 50 45 40 35 30 25
（1）汽车行驶前油箱里有 　50　升汽油，汽车每小时耗油 　　升；
（2）请写出与的关系式；
（3）当汽车行驶24小时时，油箱中还剩余多少升油？
【答案】（1）50，5；
（2）；
（3）0升．
【分析】（1）读表并找规律可得到；
（2）将找出的规律用包含、的式子表示出来；
（3）汽车行驶10小时候就没有油了，在10时至24时之间，汽车一直处于没油状态．
【解答】解：（1）0时，汽车有油50升，故行驶前油箱有50升汽油
发现，每行驶1小时，油箱中的油少5升，故汽车每小时耗油5升；
（2）汽车每小时耗油5升，则小时耗油升，
则：；
（3）当时，，
即当汽车行驶10小时后，油箱中的油刚好耗完，
在10时至24时之间，油箱中剩余油量为0．
58．（2023春 临渭区期中）一种豆子每千克的售价是2元，豆子的总售价（元与售出豆子的质量（千克）之间的关系如表：
售出豆子质量（千克） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5
总售价（元 0 1 2 3 4 5 6 10
（1）当豆子售出5千克时，总售价是 　10　元；
（2）随着的逐渐增大，是怎样变化的？
（3）预测一下，当售出豆子8千克时，总售价是多少元？
【分析】（1）根据表格可直接写出结果；
（2）根据表格数值可发现，随着的逐渐增大，逐渐增大．
（3）根据规律，售出豆子的千克数乘以2即为总售价．
【解答】解：（1）由表格可知，当豆子售出5千克时，总售价是10元，
故答案为：10．
（2）随着的逐渐增大，逐渐增大．
（3）根据规律，售出豆子的千克数乘以2即为总售价，
（元，
当售出豆子8千克时，总售价是16元．
59．（2023春 市中区期中）下表是某商行某商品的销售情况，该商品原价为600元，随着不同幅度的降价（单位：元），日销量（单位：件）发生相应变化如下：
降价（元 5 10 15 20 25 30 35
日销量（件 780 810 840 870 900 930 960
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量，哪个是因变量？
（2）每降价5元，日销量增加多少件？降价之前的日销量是多少？
（3）根据你观察到的变化规律，你觉得与满足的关系式是还是？由此你能求出当售价为540元时，日销量为多少吗？
【答案】（1）降价元）与日销量件），，；
（2）30，750；
（3），1110件．
【分析】（1）根据题意解答即可；
（2）根据相邻两组数据之间的变化规律即可得到答案，再由第一组数据可求得降价之前时）的日销量；
（3）将数据代入这两个关系式看哪个关系式成立即可判断，计算出此时的值，代入关系式求出值即可．
【解答】解：（1）上表反映了降价元）与日销量件）这两个变量之间的关系；其中是自变量，是因变量．
（2）由表中数据发现，每降价5元，日销量增加30件．由此可知，降价之前的日销量是（件．
（3）根据观察到的变化规律，与满足的关系式是．
当售价为540元时，，．
六．分段函数（共1小题）
60．（2023秋 包河区月考）合肥市某超市经销某种特色水果的成本为每千克20元，一段时间内，销售单价（元千克）与时间（天的函数图象如图，且其日销售量（千克）与时间（天的关系是：（其中天数为整数）．
（1）当天，求销售单价（元与时间（天之间的函数关系式；
（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
【答案】（1）；（2）第10天，1250元．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设每千克这种特色水果的日销售利润为元，分两种情况：当时和当时，分段求得的最大值即可．
【解答】解：（1）当时，设与之间的函数关系式为．将坐标和代入，
得，解得．
当时，与之间的函数关系式为．
（2）设每千克这种特色水果的日销售利润为元．
当时，，
当时，有最大值为1250．
当时，．
第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元．