2023~2024学年第二学期福建省部分学校教学联盟高一年级开学质量监测
数学试题参考答案
阅卷说明：参考答案是用来说明评分标准的。如果考生的答案、方法、步骤与本参考答案不同，但解答
科学合理的同样给分。有错的，根据考生错误的性质参考评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C A B C B B
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是
符合题目要求的。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
注意：全部选对的得 6分，第 9题选对其中一个选项得 2分，第 10、11题选对其中一个选项得 3分。
有错选的得 0分。
题号 9 10 11
答案 ABD BD AB
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12． 2,3,7,8 13 24． 14． 1, 3
7 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分 13分，第一小题 6分，第二小题 7分）
1 ( ) = 3
1
解：（ ）函数
3 +1
经过点 1, ，
+3 6
3 1
所以 = ，解得 = 1，即 ( ) = 3 1 +1 =
3 1
，
12 6 3 +3 3(3 +1)
( ) = 3 1 1 2 1
3(3
= ，
+1) 3 3 3 +1
则 ( )是 R上的单调递增函数，理由如下：
任取 1、 2 ∈ R，且 1 < 2，则3 2 > 3 1，
则 ( 1) ( ) =
2 ( 1 1 ) = 2 3 1 3 22 < 0，3 3 2+1 3 1+1 3 (3 1+1)(3 2+1)
所以 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
所以 ( )是定义域 R上的单调递增函数．
3 2 ( ) = 1 = 1 3
（ ）因为 = ( )，
3(3 +1) 3(3 +1)
故 ( )是奇函数且在 R上单调递增，
则不等式 ( 2 + ) + ( 2 + 4) > 0等价于 ( 2 + ) > ( 2 + 4) = ( 2 4)，
所以 2 + > 2 4，即 2 2 + + 4 > 0，
即存在 ∈ 2, 1 ,不等式 2 2 + + 4 > 0有解，
即 < 2 4在[ 2, 1]上有解，
由 ∈ [ 2, 1]，可得 ∈ [1,2]，
1
{#{QQABQQ4QggCgAABAAAhCUwH6CEOQkBCCCIoOgEAMMAAASBFABAA=}#}
2
由对勾函数性质易知： = + 在 1, 2 单调递减，在 2, 2 单调递增，
2
且 1 + = 2 + 2 = 3，故 = + 2在[1,2]的最大值为 3，
1 2
2 2所以 ≤ 6 4，即 2 ≤ 6
所以 < ( 2 4 )
max
= 6，
即实数 的取值范围是( ∞,6)．
16．（本题满分 15分，第一小题 6分，第二小题 9分）
解：（1）由题意，购买 台“ 1机器狗”的总成本为 = 2 + + 20，
80
1
则每台机器狗的平均成本为 = = + 20 + 1 ≥ 2 1 20+ 1 = 1 + 1 = 2，
80 80
1 20
当且仅当 = 时，即 = 40时，等号成立，
80
所以，若使每台“机器狗”的平均成本最低，应买 40台.
（2）由题意，“ 1” 1汪 满足 1 1 +
1 1 2 = 120
120
，可得
2 2 1
= 1+ 2，
2
“汪 2”满足 2 1 2 = 120 =
120
，可得 2 ， 1 2
“汪 3” 60满足 3 = +
60 = 120
2 1 2 1 2
，
1+ 2
2 1 2 ≤ 2 1 2 = ， ≠ ，
1+ 2 2 1 2 1 21 2
2
所以 1 2 <
+ 1
2 ，
1 2
因为 1 > 0， 2 > 0，且 1 ≠ 2，
1+ 2 > 1+ 所以可得 1 2，则 2 > 1 2 >
2 1 2 > 0，
2 2 1+ 2
所以 1 < 2 < 3，所以 “汪 1”用的时间最少.
17．（本题满分 15分，第一小题 6分，第二小题 9分）
解：（1）以简车转轮的中心 O 为原点，与水面平行的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，
设 = sin( + ) + ， ∈ 0,24 ，由题意知，2 = 8， + = 6，
∴ = 4， = 2，即 = 4sin( + ) + 2，
当 = 0 时， = 4sin + 2 = 4，解得 sin = 1，
2
π
结合图像初始位置可知 = ，
6
= 2π又因为 = 24，所以 = π，
12
综上 = 4sin π + π + 2, ∈ 0,24 ．
12 6
2
{#{QQABQQ4QggCgAABAAAhCUwH6CEOQkBCCCIoOgEAMMAAASBFABAA=}#}
（2）经过 s后 A π π距离水面的高度 = 4sin + + 2，
12 6
∠ = 2π = π s B π π由题意知 ，所以经过 后 距离水面的高度 ′ = 4sin + 2，
8 4 12 12
π π π π
则盛水筒 B 与盛水筒 A 的高度差为 = ′ = 4 sin + sin ，
12 6 12 12
利用 sin sin = 2cos + sin ，
2 2
= 4 sin π + π sin π π = 8sin π cos π + π ，
12 6 12 12 8 12 24
π + π当 = π, ∈ Z = 1，即 + 12 , ∈ π时，H 取最大值 8sin m ，
12 24 2 8
又因为 ∈ [0,24]，所以当 = 11.5或 = 23.5时，H 取最大值，
综上，盛水筒 B 与盛水筒 A 的高度差的最大值约为 8sin πm，此时 = 11.5或 = 23.5．
8
18．（本题满分 17分，第一小题 6分，第二小题 11分）
16 2,0 ≤ ≤ 6,
解：（1）注射 1ml该药品，其浓度为 = 8
9 , 6 < ≤ 18.
2
当 0 ≤ ≤ 6时，2 ≤ 16 2，解得 4 ≤ ≤ 6；
8
当 6 < ≤ 18时，2 ≤ 9 ，解得 6 < ≤ 14．
2
所以一次注射 1ml该药品，则药物有效时间可达 14 4 = 10小时．
（2）设从第一次注射起，经 (12 ≤ ≤ 18)小时后，
其浓度 ( ) = 9 + 16 2 = 20 + 16 2 1，则 20 ∈ [2,8]，
2 8 ( 12) 2 20
20 + 16 2 1 ≥ 2 (20 ) 16 因为 2 1 = 4 2 2 1，
2 20 2 (20 )
20
当 = 16 时，即 = 20 4 2 时，等号成立．
2 20
> 0 1，当 ∈ , 2 时， = 20 4 2 ∈ [12,18]，
8
4 2 2 1 ≥ 2
所以 1 ≤ ≤ 2 ，因为 2 4 2 + 3 = ( 2 1)( 2 3) ≤ 0，
8
解得 0.5 ≤ ≤ 2，所以 ≥ 0.5．
= 1 ( ) = 20 + 2 5 (18) = 3 < 2 ∈ 0, 1当 时， ， ，所以 不能保证持续有效，
8 2 20 4 4 8
综上，要使随后的 6小时内药品能够持续有效治疗， 的最小值为 0.5．
3
{#{QQABQQ4QggCgAABAAAhCUwH6CEOQkBCCCIoOgEAMMAAASBFABAA=}#}
19．（本题满分 17分，第一小题 4分，第二小题 5分，第三小题 8分）
解：（1） = 2sin cos 2cos2 + 2
2
2 2 2
= sin2 1 + cos2 +
2 2 2
2 2 π
= sin2 cos2 = sin 2
2 2 4
π
令 + 2 π ≤ 2 π ≤ π+ 2 π ∈ Z ，
2 4 2
π得 + π ≤ ≤ 3π+ π ∈ Z
8 8
∴函数 π 3π的单调递增区间为 + π, + π ∈ Z
8 8
（2） = + + π + π
4 4
π π π π
= sin 2 + cos 2 sin 2 cos 2
4 4 4 4
sin 2 π令 + cos 2 π = = 2sin2 ∈ 2, 2 ，
4 4
sin 2 π cos 2 π
2
则 = 1
4 4 2
1 1 1
= = 2 + + = 1 2 + 1
2 2 2
可得，当 = 1 即 sin2 = 2时，
2 max
= 1；
当 = 2即 sin2 = 1 1时， min = 2 2
∵存在 1, 2 ∈ R，对任意 ∈ R，有 1 ≤ ≤ 2 恒成立，
∴ 1 为 的最小值， 2 为 的最大值，
∴sin2 1 = 1，sin2 =
2
2 ，2
∴ 2 3π 3π 3π1 2 2 min = = ，2 4 4
3π∴ 1 2 min = .8
（3）令 = 2 + π + + π + 2 3 = 0，
8 8
sin2 = 2 +3 = sin
22 4 +7 7
方程可化为 = sin2 + 2 + 4，
sin2 +2 sin2 +2 sin2 +2
令 sin2 + 2 = ∈ 1,3 ，则 + 4 = + 7 ∈ 1,3 ，
当 + 4 = 8时， = 1，sin2 = 1，此时函数 在 0, π ∈ N+ 上有 个零点，
∴ = 4， = 2023适合题意；
当 + 4 ∈ 16 , 11 ∪ 11 , 8 时， 在 1,2 ∪ 2, 7 内有一解，
3 2 2 3
sin2 在 1,0 或 0, 1 内有一取值，则此时函数 在 0, π ∈ N+ 上有 2 个零点，不适合题意；3
4
{#{QQABQQ4QggCgAABAAAhCUwH6CEOQkBCCCIoOgEAMMAAASBFABAA=}#}
+ 4 = 11当 时， = 2,sin2 = 0，此时函数 在 0, π ∈ N+ 上有 2 1个零点，2
3
∴ = ， = 1012适合题意；
2
+ 4 = 16当 时， = 3 7或 ，sin2 = 1 1或 ，则此时函数 在 0, π ∈ N+ 上有 3 个零点，不适合3 3 3
题意；
当 + 4 ∈ 2 7, 16 7 1时， 在 , 7 和 7, 3 内各有一解，sin2 在 , 7 2 和 7 2,1 内各有一取值，
3 3 3
则此时函数 在 0, π ∈ N+ 上有 4 个零点，不适合题意；
当 + 4 = 2 7时， = 7，sin2 = 7 2，则此时函数 在 0, π ∈ N+ 上有 2 个零点，不适
合题意.
综上所述， = 4， = 2023 = 3，或 ， = 1012.
2
5
{#{QQABQQ4QggCgAABAAAhCUwH6CEOQkBCCCIoOgEAMMAAASBFABAA=}#}准考证号： 姓名：
（在此卷上答题无效）
2023~2024学年第二学期福建省部分学校教学联盟高一年级开学质量监测
数 学 试 卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
温馨提示：请将所有答案填写到答题卡的相应位置上！请不要错位、越界答题！
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的。
1．设集合 = { ∣ 1 ≤ < 5}, = { ∈ N|| | ≤ 2}，则 ∩ =
A． ∣ 1 ≤ ≤ 2 B．{ ∣ 1 ≤ < 5} C． 1,0,1,2 D． 0,1,2
2．cos300° =
A 1 3 1． B． C． D 3．
2 2 2 2
3．已知 > > 0 > ，则下列结论正确的是
A < B > C ． ． ． < D． <
4．王昌龄是著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥
望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的
A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知命题 : 0∈R, 02+2 0 ≤0.若 为假命题，则实数 的取值范围是
A． 1,+∞ B． ∞, 1 C． 1,+∞ D． ∞, 1
6 log ．函数 ＝ 2 的图象大致为2 －2－
A． B． C． D．
7．“学如逆水行舟，不进则退;心似平原跑马，易放难收”，《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天
的“进步”率都是 1%，那么一年后是(1 + 1%)365 = 1.01365;如果每天的“落后”率都是 1%，那么一年后是
365 365
(1 1%)365 = 0.99365. 1.01 1.01一年后“进步”的是“落后”的 365 = ≈ 1481倍.现假设每天的“进步”率和0.99 0.99
“落后”率都是 20%，要使“进步”的是“落后”的 100倍，则大约需要经过
(参考数据：lg2 ≈ 0.3010，lg3 ≈ 0.4771)
A．15天 B．11天 C．7天 D．3天
高一数学 — 1— （共 4页）
{#{QQABQQ4QggCgAABAAAhCUwH6CEOQkBCCCIoOgEAMMAAASBFABAA=}#}
8．中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）
台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，
便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．
用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．
同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差
一寸，地差千里”．记“表”的顶部为 ，太阳光线通过顶部 投影到“圭”上的点为 ．
5 4
同一日内，甲地日影长是乙地日影长的 ，记甲地中直线 与地面所成的角为 ，且 sin = ．则甲、乙
6 5
两地之间的距离约为
A．10千里 B．12千里 C．14千里 D．16千里
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是
符合题目要求的。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．函数 = cos + π 的部分图象如图，则
6
A． = 5π是函数 的一条对称轴 B． = π是函数 的一条对称轴
12 12
C = cos 1 + π． D． = cos 2 + π
2 6 6
10．已知函数 ， 的定义域均为 R，且 + 2 = 5， 4 = 7．若 = 2是
的对称轴，且 2 = 4，则下列结论正确的是
A． 是奇函数 B． 3,6 是 的对称中心
C 22．2是 的周期 D． =1 = 130
11．波恩哈德·黎曼（1866.07.20～1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出
过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函
1 , = ( , ∈ Z , , 互质)
数的定义域为 0,1 ，其解析式为： ( ) = ，下列关于黎曼函数的说法
0， = 0 或 1或(0,1)内的无理数
正确的是
A． = 1 B． ≤
C． + ≥ + D 1 1 1．关于 的不等式 > + 的解集为
5 5 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知全集 = 1,2,3,4,5,6,7,8 ， = 1,3,6 ， = 3,4,5 ，指出 Venn图
中阴影部分表示的集合是 .
13 sin = 4．已知 0 < < π ，则 tan2 = .
5 2
14 ．已知函数 = + 2 + + 4 < 0 ，若 sin0 + sin + sin = 0，则关于
6 2
的不等式 + 2 < < 3的解集为 .
高一数学 — 2— （共 4页）
{#{QQABQQ4QggCgAABAAAhCUwH6CEOQkBCCCIoOgEAMMAAASBFABAA=}#}
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分 13分）
= 3
1
已知函数 的图象经过点 1, ．
3 +1+3 6
(1)求 的值，判断 的单调性并说明理由；
(2)若存在 ∈ 2, 1 ，不等式 2 + + 2 + 4 > 0成立，求实数 的取值范围．
16．（本题满分 15分）
杭州，作为 2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首
次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买 台“机器狗”的总成本为
= 1 2 + + 20 万元 .
80
(1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台
(2)现安排标明“汪 1”、“汪 2”、“汪 3”的 3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是 120米. 3
台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为 1， 2， 3. “汪 1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） 1奔跑，
另一半的时间以速度 2奔跑；“汪 2”全程以速度 1 2奔跑；“汪 3”有一半的路程以速度 1奔跑，另一半
的路程以速度 2奔跑，其中 1 > 0， 2 > 0，且 1 ≠ 2 则哪台机器狗用的时间最少 请说明理由.
17．（本题满分 15分）
筒车（chinese noria）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋
而盛于唐，距今已有 1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间
构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激
轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡
间有一筒车，其最高点到水面的距离为 6m，筒车直径为 8m，设置有 8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮
上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要 24s，如图，盛水筒 A（视为质
点）的初始位置 0距水面的距离为 4m．
高一数学 — 3— （共 4页）
{#{QQABQQ4QggCgAABAAAhCUwH6CEOQkBCCCIoOgEAMMAAASBFABAA=}#}
(1)盛水筒 A 经过 s后距离水面的高度为 h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h 关于 t 的函数 =
的解析式；
(2)盛水筒 B（视为质点）与盛水筒 A 相邻，设盛水筒 B 在盛水筒 A 的顺时针方向相邻处，求盛水筒 B
与盛水筒 A 的高度差的最大值（结果用含π的代数式表示），及此时对应的 t．
sin sin = 2cos + sin cos cos = 2sin + （参考公式： ， sin ）
2 2 2 2
18．（本题满分 17分）
某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射 tml药品，从注射时间起血药浓度 y（单位：ug/ml）与药
16 2 , 0 ≤ ≤ 6,
品在体内时间 （单位：小时）的关系如下： = 8 当血药浓度不低于 2ug/ml时才
9 , 6 < ≤ 18.
2
能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过 2ml．
(1)若注射 1ml药品，求药品的有效治疗时间；
(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射
1ml药品，12小时之后又注射 aml药品，要使随后的 6小时内药品能够持续有效消疗，求 的最小值．
19．（本题满分 17分）
已知函数 = 2sin cos 2cos2 + 2.
2
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若 = + + π + π ，存在 1, 2 ∈ R，对任意 ∈ R，有 1 ≤ ≤ 4 4 2
恒成立，求 1 2 的最小值；
(3)若函数 = 2 + π + + π + 2 3在 0, π ∈ N 内恰有 2023个零点，求 与 的值.
8 8 +
高一数学 — 4— （共 4页）
{#{QQABQQ4QggCgAABAAAhCUwH6CEOQkBCCCIoOgEAMMAAASBFABAA=}#}
