云南省昭通市一中教研联盟2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题（C卷）（含答案）

昭通一中教研联盟2023~2024学年上学期高二年级期末质量检
测数学（C卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线，则该直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．设抛物线的焦点为F，在C上，，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．若，，，且A，B，C三点共线，则（ ）
A． B．5 C．10 D．12
5．若椭圆上一点M到椭圆的一个焦点的距离为5，则点M到另外一个焦点的距离为（ ）
A．7 B．6 C．9 D．8
6．设，，则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．如图，在正方体中，E，F分别为，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．C的离心率为
C． D．C的渐近线方程为
10．已知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．是平面的一个法向量 D．
11．过点且与圆相切的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则平分
D．若，延长交直线于点M，则M，B，Q三点共线
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．请写出一个焦点在y轴上，且与直线没有交点的双曲线的标准方程：______．
14．斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为______．
15．已知，直线，点P为直线l上的动点，过点P作的切线，切点为A，则切线段长的最小值为______．
16．如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为______．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求：
（Ⅰ）所在直线的方程；
（Ⅱ）边上的高所在直线的方程．
18．（本小题满分12分）
已知圆和圆．
（Ⅰ）求证：圆和圆相交；
（Ⅱ）求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长．
19．（本小题满分12分）
如图，在正方体中，E，F，G分别是，，的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的长轴是短轴的倍，且右焦点为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线交椭圆C于A，B两点，求的面积．
21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值．
22．（本小题满分12分）
已知抛物线，过焦点的直线l与抛物线C交于两点A，B，当直线l的倾斜角为时，．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程和准线方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，直线分别与直线，交于点M，N，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标．
昭通一中教研联盟2023~2024学年上学期高一年级期末质量检测
数学（C卷）参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C A C A D
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 AB ABC AC ACD
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 （答案不唯一） 1
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）因为，，
所以直线的两点式方程为，
化简得
（Ⅱ）因为，又，
则，所以，
则直线的方程为，
即．
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：由题意可知，圆心，半径；圆心，半径，
两圆心距离，
且满足．
所以，两圆相交．
（Ⅱ）解：两圆作差得公共弦所在的直线方程为．
所以到直线的距离为，
所以公共弦长为．
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：设正方体的棱长为2，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，．
，，，．
因为，
所以，即．
（Ⅱ）解：因为，
所以，即．
因为，，平面，
所以平面，即为平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为长轴是短轴的倍，所以，
因为右焦点为，所以，
结合，解得，，
所以椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ）设，，如图．
由得，解得或
即，，则，
点到直线的距离，
则的面积．
21．（本小题满分12分）
（I）证明：∵，，M为的中点，
∴
∵四棱锥的底面是矩形，
∴，
∴，∴，
而，即，
∵底面，底面，
∴，而，，平面，
∴平面．
（Ⅱ）解：∵平面，，平面，
∴，，
∵四棱锥的底面是矩形，
∴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
∵平面，
∴平面的法向量为，
设为平面的法向量，，，
于是有可得即
取，则平面的法向量，
平面与平面所成角的余弦值为．
22．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由已知可得，抛物线的焦点坐标为，
直线l的方程为，
联立抛物线与直线的方程可得，
设，，
由韦达定理可得，
所以，
所以，
所以抛物线的方程为，准线方程为．
（Ⅱ）证明：设直线，
联立直线与抛物线的方程可得，
所以，，
又，，
所以，
同理可得，
设圆上任意一点为，
则由，可得圆的方程为，
整理可得，
随着m的取值不同，圆的公共弦为x轴，
令，可得或，
所以为直径的圆过定点，定点坐标为和．