(共27张PPT)
2.2.2圆周角第1课时圆周角定理及其推论1
九年级下
湘教版
1.理解圆周角的概念；
2.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等.
3.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半.
学习目标
重点
难点
难点
如图，把圆心角∠BOC 的顶点 O 拉到圆上，得到∠BAC.
∠BAC有什么特点？它与∠BOC有何异同？
新课引入
∠BAC顶点在圆上，
它和∠BOC所对的弧长一样，但是比∠BOC小
新知学习
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．
我们把∠BAC 叫作 所对的圆周角，
叫作圆周角∠BAC 所对的弧．
一 圆周角的定义
圆周角在我们生活中处处可见，比如，我们从共青团团旗上的图案抽象出的图形，该图形中就有许多圆周角．
A
O
B
C
注意：(1)圆周角必须具备两个条件：
①顶点在圆上;②两边都与圆相交.
(2)一条弧所对的圆周角有无数个.
“弧AB”所对的圆周角除了∠ACB外，还有其他角吗？
思考
D
E
∠AEB，∠ADB都是弧AB所对的圆周角
如图所示，可以一直往下画弧AB的圆周角.
名称 关系 圆心角 圆周角
区别 顶点在圆心 顶点在圆上
一条弧所对的圆心角唯一 一条弧所对的圆周角有无数个
联 系 角两边都与圆相交 A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
例1 下列各图中的∠BAC 是否为圆周角,并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
（4）
顶点不在圆上
2.分别测量图中∠BAC 和∠BOC 的度数，它们之间有什么关系？
探究
通过度量，发现圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
1.如图，点 A、B、C 是 ☉O 上的点，请问图中哪些是圆周角？哪些是圆心角
圆心角：∠BOC
圆周角：∠BAC
二 圆周角定理及其推论1
3.在圆上任取 ，画出圆心角∠BOC 和圆周角∠BAC，圆心与圆周角有几种位置关系？
圆周角的一边通过圆心
圆心在圆周角的内部
圆心在圆周角的外部
4.在圆上任意变动点A的位置（包含上述三种位置关系），探究2的结论是否成立？
A
A
A
变动点 A 的位置，圆周角的度数没有变化，它的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.
问题1：分别测量下图中 所对的圆周角∠BAC 和圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系？
探究
问题2：在☉O上任意取一段弧，作出它所对的圆周角和圆心角，测量他们的度数，结论还成立吗？你发现了什么规律？
成立，可以发现，同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.
②圆心O在∠BAC的内部
①圆心O在∠BAC的一边上
③圆心O在∠BAC的外部
问题3：你能证明这个猜想吗？
①圆心O在∠BAC的一边上
证明：
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠C．
又∵ ∠BOC=∠A+∠C
∴
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
②圆心O在∠BAC的内部
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
③圆心O在∠BAC的外部
·
·
·
100°
A
O
20°
O
90°
A
B
A
B
B
C
C
(1)
(2)
(3)
求 ∠AOB
求 ∠AOB
求 ∠A
例2
50°
40°
180°
∠C1，∠C2，∠C3 都是 所对的圆周角， 那么∠C1 =∠C2 =∠C3 吗？
∠C1，∠C2，∠C3 所对弧上的圆心角均为∠AOB. 由圆周角定理，可知∠C1 =∠C2 =∠C3 .
动脑筋
归纳
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
圆周角定理推论1
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧相等.
注意：“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角.
由此我们可以得到：
例3 如图，OA，OB，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB = 50°，∠BOC =70°. 求∠ACB和∠BAC 的度数.
解 ∵ 圆心角∠AOB与圆周角∠ACB 所对的弧为 ，
∴ ∠ACB ＝ ∠AOB = 25°.
同理∠BAC ＝ ∠BOC = 35°.
例4 如图，⊙O中，弦 AB 与 CD 交于点 M，∠A= 45°，∠AMD = 75°，则∠B 的度数是（ ）
A．15° B．25°
C．30° D．75°
C
.
O
M
C
A
B
D
随堂练习
1. 如图，在⊙O中，弧AB = 弧AC，∠AOB＝50°，则∠ADC的度数是( )
A．50° B．40°
C．30° D．25°
D
O
A
B
C
D
2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，∠AOD 是圆心角， ∠BCD是圆周角，若 ∠BCD = 25°，则 ∠AOD = .
130°
3. 如图，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB = ，∠ADB = .
130°
50°
D
A
O
C
B
图6
图7
4. 如图，分别求出图中∠x的大小.
60°
x
解：(1)∵同弧所对圆周角相等，
∴∠x=60°.
(1)
30°
20°
x
A
D
B
E
C
F
(2)
解：(2)连结BF，
∵同弧所对圆周角相等，
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为( )
B
A.100° B.110° C.115° D.120°
思路点拨：角度无法直接求解的时候，可以尝分割的方法
定义
顶点在圆上，两边都与圆相交的角（二者
必须同时具备）
圆周角
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
课堂小结(共22张PPT)
2.2.2圆周角第2课时圆周角及其推论2及圆内接四边形的性质
九年级下
湘教版
1.直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
2.圆内接四边形的对角互补.
学习目标
难点
难点
圆周角定理内容是什么？
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
新课引入
如图是一个圆形，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形的圆心吗？
一 圆周角定理推论2
新知学习
1.AB 是⊙O 的直径， 那么∠C1，∠C2，∠C3 的度数分别是多少呢？
因为圆周角∠C1，∠C2，∠C3 所对弧上的圆心角是∠AOB，只要知道∠AOB的度数，利用圆周角定理，就可以求出∠C1，∠C2，∠C3的度数.
因为A，O，B 在一条直线上， 所以圆心角∠AOB 是一个平角，
即∠AOB = 180°. 故∠C1 ＝∠C2 ＝∠C3 ＝ × 180°= 90°.
思考
2.若已知∠C1 = 90°， 它所对的弦 AB 是直径吗？
是的
圆周角定理的推论2
直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
几何语言：
1.∵AB为直径∴∠AC1B=90°
2.∵∠AC1B=90°∴AB为直径
3.回归到最初的问题，你能确定圆形的圆心吗？
利用三角板在圆中画出两个 90° 的圆周角，这样就得到
两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心.
O
例1 如图，BC 是⊙O 的直径，∠ABC = 60°，点 D 在⊙O 上，求∠ADB 的度数.
解 ∵ BC为直径，
∴ ∠BAC = 90°.
又∠ABC = 60°，
∴ ∠C = 30°.
又∵ ∠ADB与∠C都是 所对的圆周角，
∴ ∠ADB =∠C = 30°.
例2 如图，⊙O 的直径 AC 为 10 cm，弦 AD 为 6 cm.
（1）求 DC 的长；
B
解：(1)∵AC 是直径，
∴ ∠ADC = 90°.
在Rt△ADC中，
B
在 Rt△ABC 中，AB2+BC2 = AC2，
(2)∵ AC 是直径，∴ ∠ABC = 90°.
∵BD 平分 ∠ADC，∴∠ADB =∠CDB.
又∵∠ACB =∠ADB ，∠BAC =∠BDC .
∴ ∠BAC =∠ACB.
∴AB = BC.
（2）若∠ADC 的平分线交 ⊙O 于 B，
求 AB、BC 的长．
二 圆内接四边形的性质
如图，A，B，C，D 是圆 O 上的四点，顺次连接 A，B，C，D 四点，得到四边形 ABCD，我们把四边形 ABCD 称为圆内接四边形.
这个圆叫作这个四边形的外接圆.
在四边形 ABCD 中，两组对角∠A 与∠C，∠B 与∠D 有什么关系？
连接 OB，OD，
∵ ∠A 所对的弧为 ， ∠C 所对的弧为 ，
又 与 所对的圆心角之和是周角，
∴ ∠A + ∠C = = 180°
思考
思考
根据前面的探究，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
推论 圆内接四边形的对角互补.
·
O
D
B
C
A
·
O
D
B
C
A
几何语句：
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD =180°（圆内接四边形的对角互补）.
例1 如图，四边形ABCD 为 ⊙O 的内接四边形，已知∠BOD 为 100°，求∠BAD 及∠BCD 的度数.
解 ∵ 圆心角∠BOD与圆周角∠BAD所对的弧为 ，
∠BOD = 100°,
∴ ∠BAD = ∠BOD = ×100°= 50°.
∵ ∠BCD +∠BAD = 180°，
∴ ∠BCD = 180°-∠BAD = 180°- 50°＝ 130°.
思考
如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？
A
B
C
O
D
E
解：∠A=∠DCE.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°（圆内角四边形的对角
互补）.
∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE.
结论：圆内接四边形的外角等于它邻角的对角.
例2 如图，在⊙O中，AB 是直径，C，D 是圆上两点，且 AC ＝ AD．
求证：BC ＝ BD．
解 ∵ AC = AD,
∴ ∠ABC = ∠ABD .
又∵ ∠C = ∠D = 90°，
∴∠CAB = ∠DAB ，
∴ BC = BD.
∠C = ∠D = 90°
∠ABC = ∠ABD
例3 如图，圆内接四边形 ABCD 的外角 ∠DCE = 85°，求∠A 的度数.
解 ∵∠A +∠BCD = 180°，
∠BCD + ∠DCE = 180°，
∴∠A =∠DCE = 85°.
随堂练习
1.（2022山东济宁）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°.若CD＝a，tan ∠CBD＝ ，则AD的长是________.
2. （分类讨论题）如图, A , B , C 是☉O 上的三点 , 且四
边形 OABC 是菱形．若点 D 是圆上异于 A , B , C 的
另一点 , 则∠ADC 的度数是____________.
60°或120°
∵AB为直径 ，
∴∠BCA=90°（直径所对的圆周角为直角）.
∴∠BCD+∠DCA=90°.
∵ ∠ACD=15°，
∴∠BCD=90°-15°=75°.
∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相等）.
3.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数.
A
B
C
O
D
解法一：连接BC.
A
B
C
O
D
∵∠ACD=15°，
∴∠AOD=2∠ACD =30°（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）.
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA.
又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180°，
∴∠BAD=75°.
解法二：连接OD.
圆内接
四边形性质
推论2
圆周角定理
推论2及圆的
内接四边形
直径所所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径
圆内接四边形的对角互补.
课堂小结
