2.3垂径定理课件(共31张PPT)2023-2024学年度湘教版数学九年级下册

(共31张PPT)
2.3 垂径定理
九年级下
湘教版
1.经历探索并证明垂径定理及其逆定理的过程，理解并掌握垂径定理及其逆定理.
2.运用垂径定理及其逆定理解决相关问题.
学习目标
重点
难点
如图，1400年前，我国隋代建造的赵州桥的桥拱是圆弧形，如果知道 它的跨度（弧所对的弦长），拱高（弧的中点到弦的距离），同学们思考一下怎样可以求出桥拱的半径呢？
新课引入
在⊙O中，AB 是任一条弦，CD 是⊙O 的直径，且 CD ⊥ AB，垂足为 E. 试问：AE 与 BE， 与 ， 与 分别相等吗？
新知学习
思考
因为圆是轴对称图形， 将 ⊙O 沿直径CD对折，AE 与 BE 重合， ， 分别与 , 重合， 即AE = BE ， , .
你能试着用学过的知识证明这个结论吗？
连接 OA，OB.
∵ OA = OB，
∴ △OAB 是等腰三角形.
∵ OE ⊥ AB，
∴ AE = BE， ∠AOD =∠BOD.
从而∠AOC =∠BOC.
∴ ，
证明：
∵CD是直径，且CD⊥AB，
∴AM=BM.
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
几何语言：
∴
归纳
●O
A
B
C
D
M
└
过圆心
试一试
上面我们学习了垂径定理的文字语言描述如下：
·
O
D
E
A
B
C
一条直线若满足:
①过圆心②垂直于弦
则③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
已知①②
可推出
③④⑤
猜想：已知①③
？
②④⑤
猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么它就能垂直于这条弦，也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧
·
O
D
E
A
图示：
·
O
D
A
B
C
C
B
·
O
D
E
A
B
C
·
O
D
E
A
B
C
被平分的弦是直径
被平分的弦不是直径
猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么它就能垂直于这条弦，也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧
图示：
·
O
D
A
B
C
被平分的弦是直径
反例：
·
O
D
A
B
C
直径虽然平分弦但不垂直于弦
所以猜想1有问题，我们不妨要求被平分的弦不能是直径，提出猜想2再来研究一下是否成立
猜想2：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧
已知：如图，CD 是⊙O 的直径，CD平分弦AB于点E.
求证：CD ⊥AB于点E ，
= ， =
·
O
D
E
A
B
C
证明： 连接 AO、BO，则 AO = BO.
在△OAB中，∵OA=OB
∴△OAB是等腰三角形.
∵CD平分弦AB于点E，
∴OE⊥AB于点E，
即CD⊥AB与点E.
∴
= ， =
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD 是⊙O 的直径，CD平分AB于点E，
∴ CD ⊥ AB于点E，
数学语言：
·
O
D
E
A
C
B
试一试：更换条件你还能证明吗？
探究
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
猜想3：已知①⑤
？
②③④
猜想3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧.
·
O
D
E
A
C
B
正确
已知 结论 命题
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
①③ ②④⑤ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧
①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧
②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧
③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦
归纳
例1 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
O
A
B
C
A
B
D
C
O
E
A
B
O
E
C
A
B
O
C
D
E
①过圆心 ②垂直于弦
例2 如图，弦AB = 8 cm，CD是⊙O 的直径，CD⊥AB， 垂足为 E，DE ＝ 2 cm，求⊙O 的直径 CD 的长.
解 连接 OA. 设 OA = r cm， 则 OE ＝ r - 2 （cm）
∵ CD⊥AB，
由垂径定理得
在 Rt△AEO 中， 由勾股定理得
OA2 ＝ OE2 + AE2
即 r2 ＝ （r-2）2 + 42 解得 r ＝ 5 .
∴ CD = 2r = 10 （cm）.
例3 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
已知：如图， 在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 平行．
求证：
证明： 作直径 EF⊥ AB，∴ .
又∵AB∥CD， EF ⊥ AB ，
∴ EF ⊥ CD. ∴ .
因此 .
即 .
例4 如图， AB 是⊙O 的直径， C 是⊙O上一点，AC ＝ 8 cm， AB ＝ 10 cm， OD⊥BC于点 D， 求 BD 的长.
解 ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；
∵OD⊥BC，∴OD∥AC，又∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线，即BD= BC；
Rt△ABC中，AB = 10cm，AC = 8cm；
由勾股定理，得：BC=6cm；
故BD= BC=3cm．
二 垂径定理的实际应用
回到一开始的问题，已知赵州桥的跨度（弧所对的弦的长）为 37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
你能用垂径定理解决这个问题吗？
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
解：如图，用AB表示主桥拱，
设 AB 所在圆的圆心为 O，半径为 R.
经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC，D 为垂足，OC 与 弧AB 相交于点C，连接OA，
根据垂径定理，
D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD 就是拱高.
由题设可知AB=37，CD=7.23，
OD=OC-CD=R-7.23.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2，
即R2=18.52+(R-7.23)2.
解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
∴ AD= AB= ×37=18.5，
解：由题意得，AB = 6 m，OE⊥AB于F，
∴AF = AB = 3 m.
∵设 AB 所在圆O的半径为 r，且 EF = 2 m，
∴AO = r，OF = r - 2.
在 Rt△AOF 中，由勾股定理可知：AO 2 = AF 2 + OF 2，
即 r2 = 32 + ( r - 2 )2 解得 r = m．
即 AB 所在圆 O 的半径为 m．
例1 如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度 AB = 6 m，弓形的高 EF = 2 m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧 AB 所在圆 O 的半径．
例2 一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示,
其中有水部分水面宽 0.8 m、水深 0.2 m, 则此输水
管道的直径是（ ）
A. 0.4 m B. 0.5 m
C. 0.8 m D. 1 m
D
B
A
分析：
过圆心作OA垂直于水面，连接OB由此形成了一个直角三角形，
可设OA为x m，OB为(0.2+x) m
根据垂径定理可知AB为0.4 m
在直角三角形AOB中，由勾股定理可得x=0.3 m
所以半径OB=0.5 m,直径为1 m
涉及垂径定理时辅助线的添加方法：
在圆中有关弦长 a，半径 r， 弦心距 d（圆心到弦的距离），弓形高 h 的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
弓形中重要数量关系：
弦 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r之
间有以下关系：
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h = r
O
A
B
C
·
归纳
1. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为 5cm，油面宽 AB 为 6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为 8cm，则油面 AB上升了（　　）cm．
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
D
思路点拨：上升的过程中油面宽度为8cm不止是一个时刻。
注意圆中的多种情况
随堂练习
2.（2022云南省卷）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为 E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为
(　　)
A. B.
C. D.
B
3.（2022四川泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E. 若AC＝4 ，DE＝4，则BC的长是(　　)
A．1
B．
C．2
D．4
C
4.如图，⊙P与y轴交于点M（0,﹣4），N（0,﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
C
思路点拨：将点坐标转化为线段长度
5. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心)，其中 CD = 600 m，E 为弧 CD 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m.求这段弯路的半径.
解:连接 OC.
● O
C
D
E
F
┗
设这段弯路的半径为 R m,则 OF = (R-90)m.
根据勾股定理，得
解得 R = 545.
∴这段弯路的半径约为 545 m.
6.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（　　）（1尺＝10寸）
A．12寸 B．13寸
C．24寸 D．26寸
D
推论
辅助线
内容
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.
满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
两条辅助线：连半径，作弦心距,构造直角三角形，有如下关系：
课堂小结