2.7正多边形与圆课件 25张PPT 2023-2024学年度湘教版数学九年级下册

(共25张PPT)
2.7 正多边形与圆
九年级下
湘教版
1.了解正多边形的概念以及和圆的关系.
2.会用尺规作圆的内接正方形和正六边形.
3.会运用正多边形和圆的有关知识解决相关问题.
4.掌握正多边形的对称性
学习目标
重点
难点
重点
新课引入
如图，这些多边形有什么共同的特点？
等边三角形
正方形
正五边形
正六边形
它们的各边都相等，各内角也相等.
各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形.
正多边形定义
如果一个正多边形有 n 条边，那么这个正多边形叫做正 n 边形.
一 正多边形的概念及与圆的关系
新知学习
1.菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？
思考
正多边形和圆的关系联系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出正多边形.
接下来，我们就一起正五边形为例证明.
2.如何作一个正多边形呢？
·
A
B
C
D
E
O
证明：
∴
AB = BC = CD = DE = EA.
同理
∠B = ∠C = ∠D = ∠E.
∴
∠A = ∠B.　
∴ 五边形 ABCDE 是正五边形.
如图，把 ⊙O 分成相等的 5 段弧，即 ，依次连接各等分点，所得五边形 ABCDE 是正五边形吗？
∵
∴
证明:
弦相等 (多边形的边相等)
圆周角相等 (多边形的角相等)
—所得的多边形是正多边形
3.将圆 n (n≥3) 等分，依次连接各等分点，所得到的多边形是正多边形吗？
弧相等—
将一个圆 n(n≥3) 等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正 n 边形的各顶点 n 等分其外接圆.
归纳
O
R
r
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.正 n 边形的每个中心角都等于 .
归纳
做一做
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.
已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正六边形.
. O
分析：因为正六边形每条边所对的圆心角
为 ，所以正六边形的边长与圆的半
径 .因此，在半径为r的圆上依次截取
等于 的弦，即可将圆六等分.
60
相等
r
作法：(1)用直尺任作⊙O的一条直径FC；
(2)以点F为圆心，OF 为半径作圆，与⊙O 交于点E，A；
(3)以点C 为圆心，OC为半径作圆，与⊙O 交于点D，B；
(4)顺次连结所得的圆上六点，则六边形ABCDEF即为所求作的正六边形.
. O
F
C
A
B
D
E
例1 如图，已知⊙O 的半径为 r，求作⊙O 的内接正方形.
分析 : 作两条互相垂直的直径，就可以将 ⊙O 四等分.
作法：（1）作直径 AC与 BD，使 AC ⊥ BD.
（2） 依次连接 AB，BC，CD，DA，则四边形 ABCD 就是所求作的 ⊙O 的内接正方形.
在生产设计中，人们经常会遇到等分圆的问题. 例如设计剪纸、齿轮、汽车轮毂等就是通过等分圆而得到的.
讨论
在生活中有哪些等分圆的例子，你能说出来吗
正n边形的一个内角的度数是多少？
中心角呢？正多边形的中心角与外角
的大小有什么关系？
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径R
边心距r
中心
正多边 形边数 内角 中心角 外角
3
4
6
n
60°
120°
120°
90°
90°
90°
120°
60°
60°
正多边形的外角=中心角
例2 如图，在圆内接正六边形 ABCDEF 中，半径 OC=4，OG⊥BC ，垂足为点 G，求正六边形的中心角、边长和边心距.
解：连结OD.
∵六边形 ABCDEF 为正六边形，
∴△COD为等边三角形.
∴∠COD= = 60°.
∴CD=OC = 4.
在Rt△COG 中，OC=4，CG=2.
∴
∴正六边形 ABCDEF 的中心角为60°，边长为4，边心距为 .
归纳
2.作边心距，构造直角三角形.
1.连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形的辅助线
O
边心距r
边长一半
半径R
B
M
中心角一半
观察图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出其对称轴； 如果是中心对称图形，找出其对称中心.
二 圆内接多边形的对称性
观察
正多边形都是 图形,一个正 n 边形共有 条对称轴，每条对称轴都通过 n 边形的 .当n为奇数时，正多边形的n条对称轴都是顶点与中心的连线；当n为偶数时，正多边形的 条对称轴都是顶点与中心的连线，有 条对称轴是过中心与边垂直的直线.
轴对称
n
中心
由于每个正多边形都有外接圆，因此由圆的轴对称性可以得到：
利用圆绕圆心旋转任意角度，所得图形都与自身重合这一性质，可以得出：
一个正n边形，绕它的中心旋转 所的图形与这个正n边形重合，从而当n为偶数时，正n边形绕它的中心旋转 所得图形与这个正n边形重合. 因此边数是偶数的正多边形还 是 ，它的中心就是对称中心.
中心对称图形
解：连接 AO，BO，CO，AC，
∵正八边形 ABCDEFGH 的半径为 2，
∴AO = BO = CO = 2，∠AOB =∠BOC = ，
∴∠AOC =90°，
∴AC= ，此时 AC 与 BO 垂直，
∴S四边形 AOCB =
∴正八边形面积为： ．
1. 如图，正八边形 ABCDEFGH 的半径为 2，它的面积
为______．
随堂练习
2. （贵阳中考）如图, 正六边形 ABCDEF 内接于☉O,
☉O 的半径为 6, OM ⊥ BC 于点 M , 则 OM 的长为
_______．
3.有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积(面积精确到0.1 m2).
C
D
O
E
F
A
P
抽象成
B
O
4 m
A
B
C
D
E
F
P
r
解：过点O作OP⊥BC于P.
∵OB=OC，∠BOC=60°，
∴BC=OB=4 m，地基周长l=6×4=24(m).
亭子地基的面积
在Rt△OPB中,OB＝4 m,PB＝
利用勾股定理,可得边心距
正多边形与圆
正多边形和圆的关系
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
每个正多边形都有外接圆；
正 n 边形各顶点等分其外接圆.
正多边形的画法
1. 用量角器作图2. 尺规作图
课堂小结
正多边形的对称性
正多边形是轴对称图形；当边数为偶数时，是中心对称图形.