2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.已知像，，，这样只能被和它本身整除的正整数称为素数也称为质数，设是正整数，用表示不超过的系数个数，事实上，数学家们已经证明，当充分大时，，利用此公式求出不超过的素数个数约为( )
A. B. C. D.
5.古希腊数学家泰特托斯，公元前公元前年详细地讨论了无理数的理论，他通过如图来构造无理数，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
6.已知，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，满足，且，那么下列选项中一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.下列各式中，值为的是( )
A. B. C. D.
11.以下运算中正确的有( )
A. 若，，则
B.
C.
D.
12.已知函数，有下列四个结论正确的是( )
A. 为偶函数 B. 的值域为
C. 在上单调递减 D. 在上恰有个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域是______．
14.关于的不等式的解集为，则 ______．
15.已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为______．
16.函数的所有零点之和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．
18.本小题分
已知幂函数的图象过点．
求出函数的解析式；
判断在上的单调性并用定义法证明．
19.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数，且时，．
Ⅰ求函数的解析式，并判断其单调性无需证明；
Ⅱ若，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数的相邻两对称轴间的距离为．
求函数的解析式；
将函数图象上点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到函数的图象，若，，求的值．
21.本小题分
如图，是边长为米的正方形菜园，计划在矩形区域种值蔬菜，分别在，上，在弧上，米，设矩形的面积为单位：平方米
Ⅰ若，请写出单位：平方米关于的函数关系式；
Ⅱ求的最小值．
22.本小题分
已知函数，．
证明：为偶函数；
若函数的图象与直线没有公共点，求的取值范围；
若函数，是否存在，使最小值为若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以．
故选：．
先求，然后由交集运算可得．
本题考查了交集和补集的定义及运算，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：“”能推出“”，即充分性成立；
反过来，“”不能推出“”，例如，但，即必要性不成立；
若“”，一定有“”，即必要性成立；
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断．
本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，关键在于掌握其定义，属于中档题．下附注判断规则：
若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；
若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；
若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件；
若为假命题且为假命题，则命题是命题的既不充分也不必要条件．
3.【答案】
【解析】解：由为偶函数，在上为单调递减函数，故A错误；
为偶函数，在内递增，在内递减，故B错误；
为偶函数，在内递增，故C正确；
的定义域为，且，则为奇函数，故D错误．
故选：．
由常见函数的奇偶性和单调性可得结论．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查推理能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意知：，
故选：．
根据，进行计算，从而确定正确选项．
本题考查函数的新定义，考查学生的运算能力，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：记，，
由图知：，，，
所以
．
故选：．
利用直角三角形中边角关系和两角和的余弦公式即可求解．
本题主要考查三角形中的几何计算，任意角的三角函数的定义，两角和的余弦公式，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解；，，
又，，
．
故选：．
根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
化简已知等式，得出，利用二倍角公式代入化简求值即可．
本题考查两角和与差的正弦公式，考查诱导公式及二倍角公式的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：令，
则，则是奇函数，
由，得在递增，
则，
，即，得．
故选：．
令，求出函数的导数，可得的单调性，再判断的奇偶性，问题转化为，从而确定答案．
本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查化归转化思想，是中档题，
9.【答案】
【解析】解：由于，且，所以，，故，A正确，
由于，，又，所以，所以，B正确，
由于，，又，所以，故C错误，
由于，，则，又，，因此，D正确．
故选：．
根据条件可得，，即可判断，根据作差法即可判断，由基本不等式，结合指数幂的性质即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，正确；
对于，，正确；
对于，，错误；
对于，，正确．
故选：．
利用诱导公式，二倍角公式，特殊角的三角函数值即可逐一求解．
本题考查了诱导公式，二倍角公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：：若，，则，A正确；
：原式，B错误；
：原式，C正确；
：原式，D错误．
故选：．
结合对数的换底公式检验选项A，；结合指数幂的运算性质及对数恒等式检验选项B，．
本题主要考查了指数及对数的运算性质的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由可知，的定义域为，关于原点对称，
又，
所以为上的偶函数，故A正确；
，
设，则，
当时，取得最大值，当时，取得最小值为，
即的值域为，
所以的值域为，故B错误；
在上的单调性与它在上的单调性刚好相反，
当时，单调递增，且，
而在时单调递减，
故在上单调递减，
又此时，故函数在上单调递增，
所以在单调递减，故C正确；
令，得或，而当时，及恰有个不等的实根，
即在区间上恰有个零点，
结合奇偶性可知，即在区间上恰有个零点，故D错误．
故选：．
A.根据已知函数即可得出函数的奇偶性；化简函数，即可求出函数的值域；求出的单调性，即可求出函数的单调性；求出的解，即可求出函数在上的零点个数．
本题考查了函数的奇偶性和单调性，函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意可得，，
解得．
故答案为：．
根据开偶次方根被开方数大于等于，对数函数的真数大于，列出不等式求出定义域．
本题考查求函数的定义域的求法，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为关于的不等式的解集为，
则，且、是关于的方程的两根，
由韦达定理可得，，解得，
所以，．
故答案为：．
分析可知，、是关于的方程的两根，利用韦达定理可得出的值．
本题主要考查了二次方程与二次不等式转化关系的应用，还考查了方程的根与系数关系，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，
所以在上为增函数，
由，得，，
当时，，
有，解得；
当时，，
有，解得，
综上，不等式的解集为．
故答案为：．
由题意和偶函数的性质可知函数在上为减函数，在上为增函数，结合，分类讨论当、时，利用函数的单调性解不等式即可．
本题主要考查了函数单调性的判断与性质，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由，，
令，，
显然与的图象都关于直线对称，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，
观察图象知，函数，的图象有个公共点，其横坐标依次为，，，，，，
这个点两两关于直线对称，有，则，
所以函数的所有零点之和为．
故答案为：．
根据给定条件，构造函数，，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答．
本题考查函数零点问题，属于中档题．
17.【答案】解：由，
解得：；
Ⅱ
．
【解析】Ⅰ利用三角函数的诱导公式化简即可；
Ⅱ利用两角和与差的三角函数化简求值即可．
本题考查了三角函数的诱导公式及其化简求值，是基础题．
18.【答案】解：因为是幂函数，所以设．
代入点，得到，解得．
故解析式为．
在上单调递增．
证明：令，
则，因为，所以．
故在上单调递增．
【解析】代入点，求解即可．
判断在上单调递增；根据定义法证明即可．
本题主要考查函数的单调性，属于基础题．
19.【答案】解：当时，，
故，
所以函数的解析式为，
函数在上单调递增，在上单调递减．
Ⅱ由可知：．
所以不等式可化为，
结合函数的单调性可知：，
解得：，
所以实数的取值范围为．
【解析】Ⅰ设，则，根据题意得出，然后利用函数为偶函数即可求解；
Ⅱ结合的结论，求出，将不等式等价转化为，解之即可求解．
本题主要考查了函数奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：由题意知：，
且可得的周期，得：，
所以：，
故：．
由题意得：，
因为：，所以：，得：，
因为：，所以：，由，
所以：，
所以：．
故：．
【解析】化简解析式，根据的对称轴求出周期从而求出，进而求得的解析式．
根据三角函数图象变换求得，由，求得，，然后构造方程组结合余弦的二倍角公式，即可求解．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的值的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：延长交于，
则米，米，
则米，米，
所以，．
Ⅱ由得：
，．
令，则，
因为，，
所以，
所以，
因为，
所以当时，．
即当时，
矩形面积的最小值为平方米．
【解析】延长交于，求出，和，，计算矩形的面积．
Ⅱ利用换元法，设，求面积的最小值即可．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
22.【答案】证明：因为，
又
，
故，所以函数为偶函数；
解：原题意等价于方程无解，
即方程无解，
令，
又，
因为，
所以，
故函数的值域是，
因此当时满足题意，故实数的取值范围为；
解：由题意可得，
令，则，
则，，
当时，，所以，解得；
当时，，所以，解得舍；
当时，，所以，解得舍．
综上所述，存在，使得最小值为．
【解析】本题考查了函数与方程的综合应用，涉及了函数奇偶性的判断、二次函数最值的应用，解题的关键是利用换元法将复杂函数问题转化为常见函数问题进行研究，属于拔高题．
直接利用偶函数的定义以及对数的运算性质证明即可；
将问题等价转化为方程无解，令，研究的值域即可得到的取值范围；
表示出的解析式，令，则，将问题转化为二次函数，的最值问题进行分析，按照对称轴与区间的位置关系分类讨论，分别求解即可．
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