2023-2024学年广东省汕尾市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省汕尾市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题：，，则( )
A. ：， B. ：，
C. ：， D. 时，为真命题
2.设集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
3.下列幂函数中，在定义域内是偶函数且在上是减函数的是( )
A. B. C. D.
4.若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值等于( )
A. B. C. D.
5.设，，，则( )
A. B. C. D.
6.某市家庭用水的使用量和水费元满足关系已知某家庭年前四个月的水费如下表：
月份 用水量 水费元
一月
二月
三月
四月
若五月份该家庭使用了的水，则五月份的水费为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
7.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.若函数，恰有个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，且，则下列不等式恒成立的有
( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则函数( )
A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在定义域上递增 D. 在定义域上递减
11.已知，为正数，且，则( )
A. B. C. D.
12.对于区间上的函数，若满足，且，都有，则称函数为区间上的“非减函数”已知为区间上的“非减函数”，都有，且当时，，则下列命题中正确的有( )
A. B. 当时，
C. ， D. ，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，且是第二象限角，则______．
14.若对，恒成立，则实数的取值范围是______．
15.九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章涉及了弧田面积的计算问题如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为，圆心角为，则此弧田的面积为______．
16.小明在研究函数时，发现具有其中一个性质：如果常数，那么函数在区间上单调递减，在区间上单调递增请你根据以上信息和所学知识解决问题：若函数的定义域为，值域为，则实数的值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
18.本小题分
已知集合，，全集条件：；．
当时，求和；
若集合，满足条件_____，求实数的取值范围从两个条件中任选一个作答，若同时选择两个条件作答，则按所选的第一个条件给分
19.本小题分
已知函数．
若关于的不等式的解集为，求，的值；
若，解关于的不等式．
20.本小题分
已知函数
求函数的定义域；
若恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度满足为常数实验测算，当时满足．
求的值；
茶艺文化是中国传统文化的重要组成部分，涵盖茶的制作、泡法、茶器、茶道等方面经验表明，茶水的口感与茶叶品种和水温有关，某种茶叶泡制的茶水，刚彻出来时茶水温度为，等茶水温度降至时饮用口感最佳已知空气温度为，则刚沕出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？结果保留一位小数，参考数值：，，
22.本小题分
平原上两根电线杆间的电线有相似的曲线形态，这些曲线在数学上称为悬链线悬链线在工程上有广泛的应用在恰当的坐标系中，这类曲线的函数表达式可以为，其中、为非零实数．
利用单调性定义证明：当时，在上单调递增；
若为奇函数，函数，，探究是否存在实数，使的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：命题：，，
则：，，
当时，或时，，故为假命题．
故选：．
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：集合，，
则图中阴影部分表示的集合为．
故选：．
利用交集定义、韦恩图直接求解．
本题考查交集定义、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，在定义域内是偶函数且在上是减函数，符合题意；
对于，，在其定义域内为奇函数，不符合题意；
对于，，是偶函数，但在上是增函数，不符合题意；
对于，，其定义域为，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意．
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和上的单调性，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：函数，
令，解得，
当时，，
故点，
所以．
故选：．
根据已知条件，结合指数函数的性质，求出定点，再结合三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．
本题考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意知，函数中，
，，；
解方程组得，，
所以，；
所以，
即该家庭五月份的水费是元．
故选：．
根据题意得出，利用，列方程组求出、，即可求得的值．
本题考查了分段函数的应用问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由，能得到，但不能得到，故充分性不成立．
由，可得，能得到，故必要性成立．
综上可得，”是“”的必要不充分条件．
故选：．
由题意，根据必要不充分条件的定义，对数的运算性质，得出结论．
本题主要考查必要不充分条件的定义，对数的运算性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由，得，
作出函数的图象，如图所示：
令，则，
由图可知，当时，直线与函数的图象有个交点，
从而函数有个零点，
但对恒成立，即对恒成立，
又，则，
所以．
故选：．
令，则有，作出函数的图象，结合图象即可得答案．
本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，考查了学生对不等式的分析推理能力，属于基础题．
由已知可得，，的符号不确定，然后对应各个选项逐个判断即可．
【解答】
解：由已知可得，，而的符号不确定，所以C正确，D错误，
则，所以，故A错误；
因为，，所以，故B正确；
故选：．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
有，解可得，即函数的定义域为，
而，则函数为奇函数，
函数在上为减函数，函数在上为增函数，
故在上为减函数．
故选：．
根据题意，先分析函数的奇偶性，再利用对数函数的性质分析的单调性，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及对数函数的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据、为正数，且，可知，所以，故A正确；
当时，，故不成立，不正确；
，当且仅当时，等号成立，故C正确；
当时，，故不成立，不正确．
故选：．
根据不等式的性质，判断出项的正误；通过举反例判断出、两项的正误；利用基本不等式求最值，判断出项的正误，可得答案．
本题主要考查了不等式的性质、运用基本不等式求最值等知识，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，都有，当时，有，变形可得，A正确；
对于，当时，有，则，
又由都有，则，B正确；
对于，由于，，
函数为“非减函数”，则，，C错误；
对于，当时，，此时，
同时，由于，且，
故在区间上，，
综合可得：当时，有，故D正确．
故选：．
根据题意，利用特殊值分析，由于当时，有，利用函数的解析式分析可得在上的解析式，分析可得B正确，由“非减函数”的定义可得C错误，利用换元法分析在上值域，可得D正确，综合可得答案．
本题考查抽象函数的性质，关键理解“非减函数”的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，且是第二象限角，
．
故答案为：
由的值且为第二象限角，利用同角三角函数间基本关系求出的值即可．
此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意知：对，恒成立，
则，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
利用判别式小于，即可求解．
本题考查二次不等式的解法，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意扇形的面积为，
三角形的面积为，
则弧田的面积为．
故答案为：．
分别求出扇形的面积以及三角形的面积，进而可以求解．
本题考查了扇形面积公式的应用，属于基础题．
16.【答案】或
【解析】解：当时，即，在上递增，
故当时，，
解得：，满足题设；
当，即，
若，即时，函数在上递减，在上递增，
故，
可得或舍去；
若，即时，函数在上单调递增，
所以，
解得，不满足题意．
故答案为：或．
当判断单调性，进而确定最值即可求范围，当，再讨论与的大小关系，结合的性质，判断函数在上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围．
本题主要考查了单调性的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：原式，
所以．
由知，
所以．
【解析】根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解；
将弦化切，即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
18.【答案】解：当时，，，
所以，
或．
若选择条件，
因为，
所以．
若，满足，则，解得；
若，由，得，
解得．
综上，的取值范围是．
若选择条件，
因为，
所以．
若，满足，则，解得；
若，由，得，
解得．
综上，的取值范围是．
【解析】当时，求出集合和，由此能求出和．
推导出，当时，则；若，由，得，由此能求出的取值范围．
本题考查交集、并集、补集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：将代入，可得，
不等式，即，
可转化为，
原不等式的解集为，
，
综上，．
不等式，可化为，
即．
方程的两个根为或，
，
当，即时，原不等式的解集为；
当，即时，；
当，即，原不等式的解集为．
【解析】将代入，可得即可求解；
不等式可化为，分类讨论即可．
本题考查不等式的解法，属于中档题．
20.【答案】解：由题意得，，
即，
解得．
函数的定义域为；
，
当且仅当，即时等号成立，
，
．
恒成立，
，
实数的取值范围是．
【解析】结合对数函数的性质求解即可；
由题意可得，结合对数函数的性质及基本不等式求解即可．
本题考查了对数函数的性质、转化思想及基本不等式的应用，属于中档题．
21.【答案】解：由题意知，
，得，两边取对数，得，
即，解得．
设刚沏出来的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感，
由题意可知，，，，
所以，
即，
解得，
所以刚沏出来的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感．
【解析】根据题意列方程组，即可求出的值．
由题意知，，，，由此求出的值．
本题考查了指数函数与对数函数的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
22.【答案】证明：当时，，
设，则，，
，，
．
即，
在上单调递增．
解：为奇函数，
对成立
对成立
对成立，
，，
令，，
，．
又即的最小值为，
当，即时，，不符合要求；
当，即时，，此时；
当，即时，，矛盾．
的最小值为，则．
【解析】利用函数的单调性的定义即可求解；
由为奇函数得，，，令，，则可化为，，由的最小值为求出的值．
本题考查了函数的单调性，函数的奇偶性，二次函数的性质，属于中档题．
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