2023-2024学年黑龙江省牡丹江重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省牡丹江重点中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
6.函数的部分图象如图所示，如果，且，则( )
A.
B.
C.
D.
7.计算( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，则的值可以为( )
A. B. C. D.
11.设函数，给出下列命题，不正确的是( )
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C. 把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象
D. 的最小正周期为，且在上为增函数
12.一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时图中点开始计时，则( )
A. 点第一次到达最高点需要秒
B. 当水轮转动秒时，点距离水面米
C. 当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米
D. 点距离水面的高度米与秒的函数解析式为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算： ______．
14.______．
15.已知，，则 ．
16.已知函数，若不等式任意的恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数且的图象过点．
求函数的解析式；
解不等式．
18.本小题分
计算：；
已知求的值．
19.本小题分
已知函数，．
求函数的最小正周期和单调递减区间；
求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值．
20.本小题分
已知函数的图象在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称．
求函数的解析式；
若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知函数在区间上有最大值和最小值设．
求，的值；
若不等式在上有解，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数．
求的对称中心；
设常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
若函数在区间上的最大值为，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由于函数的最小正周期．
故选：．
由题意，根据余弦型函数的最小正周期，进而即得．
本题主要考查余弦函数的周期性，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数的求值，涉及函数的解析式，属于基础题．
根据题意，由函数的解析式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数，
则，
则，
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了诱导公式，考查了余弦的二倍角公式，属于基础题．
由，结合余弦的二倍角公式求解即可．
【解答】
解：已知，
则，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由可得，
即，解得，
所以可得．
故选：．
利用两角和的正切公式可求得，再利用二倍角的正切公式代入计算可得结果．
本题主要考查了两角和及二倍角的正切公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：依题意，，即，
，，
解得：，，
函数的定义域是，
故选：．
根据给定条件，列出不等式，求解即可得到函数的定义域．
本题主要考查了求函数的定义域，考查了解三角函数不等式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据函数的部分图象，可得，，，
结合五点法作图可得，，
如果，且，结合，可得，
，，
故选：．
由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．再由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得的值．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．还考查了正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
根据已知条件，结合三角函数的二倍角公式，以及两角和公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的二倍角公式，以及两角和公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：函数在区间上单调递减，
令：，
整理得；
函数在区间上单调递减，
故；
故；
整理得：．
故的取值范围是．
故选：．
直接利用正弦型函数的性质函数的单调性的应用求出结果．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据诱导公式可知：
因为，所以不正确；
因为，所以不正确；
因为，所以C正确；
因为，所以D正确．
故选：．
利用诱导公式，判断各个选项中的式子是否成立，从而得出结论．
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由得：，解得，即，
由于，，，当且仅当即时取得等号．
故选：．
先由等式得到，再应用基本不等式求得的范围，结合选项判断即可．
本题考查的知识要点：基本不等式的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A，令，，则，，
函数的图象关于直线，对称，即选项A不正确；
对于选项B，令，，则，，
函数的图象关于点对称，即选项B不正确；
对于选项C，把的图象向左平移个单位长度，
得到是偶函数，即选项C正确；
对于选项D，最小正周期，
令，，则，，
函数的单调递增区间为，，
当时，函数的增区间为，而不是的子区间，即选项D不正确．
故选：．
根据正弦函数的中心对称、轴对称、周期性和单调性可分别判断选项A，和；选项C，由函数图象的平移变换法则可判断选项C．
本题考查三角函数的图象与性质，以及图象的平移变换，熟练掌握正弦函数的对称性、周期性和单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设点距离水面的高度米和时间秒的函数解析式为，
由题意得：，解得，，
又因为，所以；
又因为，解得，
因为，所以，
所以；
对于，令，代入，即，
即，解得：，选项A正确；
对于，令，代入，解得：，选项B错误；
对于，令，代入，解得：，选项C正确；
对于，由函数的解析式知，选项D错误．
故选：．
设点距离水面的高度米和时间秒的函数解析式为，根据题意求出，，，的值，对照选项判断正误即可．
本题考查了三角函数模型的简单应用问题，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为：，，所以原式．
故答案为：．
直接利用零指数幂的意义和底的对数等于得到结果．
本题主要考查了指数及对数的运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：
利用诱导公式得，再由两角和的正切求值．
本题考查诱导公式化简求值，考查了两角和的正切，是基础的计算题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数关系式和两角和与差的三角函数公式，属中档题．
利用同角三角函数关系式和角的范围先求出角的正弦与余弦，再用两角和与差的三角函数公式化简即可．
【解答】
解：因为，所以，．
由得
所以
．
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：函数，
令，设，
不等式任意的恒成立，等价为在恒成立．
当时，成立；
当时，等价为，
由在递增，可得的最大值为，
由，当且仅当，即时，取得等号．
又不等式在恒成立，等价为，
所以．
故答案为：
由二倍角的余弦公式和正弦函数的单调性，可得不等式任意的恒成立，等价为在恒成立．验证成立，再考虑时，不等式等价为，分别由函数的单调性和基本不等式求得最值，可得所求范围．
本题考查三角函数的二倍角公式和正弦函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为函数且的图象过点，
所以，解得，
所以；
因为是定义域上的单调递增函数，
所以不等式等价于，
解得，
所以不等式的解集是．
【解析】根据函数的图象过点列方程求出的值即可；
根据的单调性，把不等式化为，求出解集即可．
本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化思想，是基础题．
18.【答案】解：；
已知，
则．
【解析】由诱导公式及两角差的正弦公式化简求值即可；
先由诱导公式进行化简，再由商数关系求值即可．
本题考查了诱导公式及两角差的正弦公式，属基础题．
19.【答案】解：的最小正周期，
当，
即，时，单调递减，
的单调递减区间是，．
，则，
故，
，此时，即；
，此时，即．
【解析】本题考查复合三角函数的单调性，着重考查余弦函数的周期公式及单调性与最值的应用，属于中档题．
由余弦函数的周期公式即可求得答案；
，利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时的值．
20.【答案】解：函数的图象在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和，
，，即，则，即，
若将函数的图象向左平移个单位后所得函数图象关于原点对称，
即是奇函数，，，
则，则，即，
则函数的解析式为，；
函数，
函数的周期为，，解得，
则，即，
设
若，则，，
则当时，，
则要使方程恰有两个不同的根，则，即．
【解析】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数性质的考查，根据条件求出，和的值是解决本题的关键，属于中档题．
根据函数的图象坐标求出函数的周期和振幅，结合函数是奇偶性进行求解即可．
根据函数是周期求出的值，利用函数与方程之间的关系进行求解即可．
21.【答案】解：的对称轴为在直线，开口向上，
在区间上是增函数，
，解得．
由可得，则，
，
在上有解，
即在上有解，
在上有解，
令，则，
，，记，
不等式在上有解，
小于在上的最大值即可，
在上先减后增，
，，
，
．
【解析】本题考查了函数的单调性，函数存在性问题与函数最值的关系，属于中档题．
根据的单调性和最值列方程组解出，的值；
分离参数可得，利用换元法求出右侧函数的最大值即可得出的范围．
22.【答案】解：
．
对称中心，．
，由，
解得，
的增区间为，
在上是增函数，
当时，有，
，解得，
的取值范围是．
，
令，则，
，
，
当时，即时，，
令，解得舍．
当时，即时，
，令，
解得或舍，
当时，即时，，
由，解得，
因此或．
【解析】本题考查三角函数的图象与性质，属于较难题．
把函数化简为。即可得对称中心；
求出函数的增区间，根据是其子区间解不等式得解；
化简。通过换元法转化，根据二次函数的最值求参数的取值．
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