2024年 九年级数学中考复习 二次函数与等腰三角形综合压轴题 专题达标训练（含答案）

2024年春九年级数学中考复习《二次函数与等腰三角形综合压轴题》
专题达标训练（附答案）
1．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线P：y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象与抛物线Q：y＝x2+2x﹣3的图象关于原点中心对称．
（1）求抛物线P的表达式；
（2）连接BC，点D为线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，求线段DE长度的最大值；
（3）如图②，在抛物线P的对称轴上是否存在点M，使△MOB是等腰三角形？若存在；若不存在，请说明理由．
2．综合与探究
如图：抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A（﹣6，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C
（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出对称轴l的表达式．
（2）点P是直线AC上方抛物线上的一个动点．
①在对称轴l上是否存在点D，使得以点A、P、D为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在；若不存在，请说明理由．
②在y轴上是否存在点E与点P关于直线AC对称，若存在，请直接写出点E的坐标，请说明理由．
3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0）两点，点P为第三象限抛物线上一动点，
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）过点P作PE⊥x轴，交BC于点F，当PF＝，求点P的坐标；
（3）当点P运动的过程中，△PFC是否构成等腰三角形？如果能，请直接写出点P的坐标，请说明理由．
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0，a、c为常实数）交x轴于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）如图1，若A（﹣1，0），D（2，﹣3）在此抛物线上；
（2）如图2，在（1）的条件下，M为（1），连CM、BM，求能使四边形ABMC面积最大时的M点坐标
（3）在（1）的条件下，将抛物线平移到以坐标原点O为顶点的位置，E、F为平移后的抛物线上两点，E始终在F点左边，若E、F点横坐标分别为m、n，则当△PEF为等腰直角三角形，求m、n间的数量关系．
5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．其中OA＝2，OB＝8，D是第一象限抛物线上一点，连接DC，点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求线段DE长度的最大值；
（3）是否存在m的值，使△DCE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值，请说明理由．
6．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B2+bx+c经过A，B．
（1）求抛物线解析式；
（2）E（m，0）是x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴交于点E，交抛物线于点P，连接PB．
①点E在线段OA上运动，当线段PD的长度最大时，求点P的坐标；
②点E在线段OA上运动，若△PBD是等腰三角形时，求点E的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于原点O和点B（4，0），点A（3，m）在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
（2）若点P为线段OA上方抛物线上的点，过点P作x轴的垂线，交OA于点Q；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△BAN为以AB为腰的等腰三角形，若不存在，若存在，请直接写出点N的坐标．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣6，0），（0，6），点D为抛物线顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一点，且S△PAC＝2S△DAC．求P的坐标；
（3）M为抛物线对称轴上一点，是否存在以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图①，二次函数图象的对称轴与直线AC交于点D，若E是直线AC上方抛物线上的一个动点；
（3）如图②，P是直线AC上的一个动点，是否存在点P，请直接写出点P的坐标；若不存在
10．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，当△CMN为等腰三角形时，写出所有满足条件的点P的坐标．
11．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标，请说明理由．
12．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（4，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点E是抛物线上的第一象限的点，求S△ACE的最大值，并求S△ACE取得最大值时E点坐标；
（3）如图2，在抛物线对称轴上是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，若不存在请说明理由．
13．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；
（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标，请说明理由（请在图2中探索）．
14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）、C（0，3），抛物线与x轴的另一个交点是B．
（1）b＝　 　，c＝　 　；
（2）在对称轴上是否存在一点P，使得BP+CP的值最小？若存在，求出点P坐标，请说明理由；
（3）当m≤x≤m+1时，对应函数值的最大值与最小值的差是1时，求出m的值；
（4）在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得△BCQ是等腰三角形？若存在，直接写出点Q坐标，说明理由．
15．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0），B（1，0）两点（0，﹣3），顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．

（1）求二次函数解析式及顶点D坐标；
（2）点P为第三象限内抛物线上一点，△APC的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标；
（3）在线段AC上，是否存在点F，使△AEF为等腰三角形？若存在；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：（1）当x＝0时，y＝0+6﹣3＝﹣3，
∴抛物线Q与y轴的交点为（6，﹣3），
当y＝0时，8＝x2+2x﹣7，
解得：x＝1或x＝﹣3，
∴抛物线Q与x轴的交点为（5，0），0），
∵抛物线Q与抛物线P关于原点对称，
∴A（﹣7，0），0），2），
将点A、C代入y＝﹣x2+bx+c中得：
，
解得：，
∴y＝﹣x8+2x+3；
（2）设BC得表达式为y＝mx+n，
将点B、C代入y＝mx+n得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+7，
设D（a，﹣a+3），﹣a2+6a+3）；
，
∴当a＝时，DE有最大值；
（3）在抛物线P的对称轴上存在点M，使△MOB是等腰三角形
如图，对称轴与x轴交于点F，
∵y＝﹣x5+2x+3得对称轴为x＝6，
∴OM≠MB，
①当OM＝OB＝3时，△MOB是等腰三角形，
，
∴或．
②当BM＝OB＝3时，△MOB是等腰三角形，
，
∴或．
∴或或或．
2．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A（﹣5，0），0）两点，
将A（﹣8，0），0）两点代入y＝ax8﹣2x+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
对称轴表达式为：．
（2）①在对称轴l上存在点D，使得以点A、P，理由如下：
当AD＝PD，∠ADP＝90°时，
过点D作DM⊥AM交AM于点M，过点P作PN⊥DM交MD的延长线于点N
∵∠ADP＝90°，DM⊥AM，
∴∠ADM+∠NDP＝90°，∠DPN+∠NDP＝90°，
∴∠ADM＝∠DPN，∠NDP＝∠DAM，
在△PND和△DMA中，
，
∴△PND≌△DMA（ASA），
∴PN＝DM，DN＝AM，
∵点D在直线x＝﹣3上，
∴M（﹣2，0），
∴AM＝﹣7﹣（﹣6）＝4，
∴ND＝6；
设D（﹣2，h），
∴PN＝DM＝h，NM＝ND+DM＝4+h，
即P（﹣7﹣h，4+h），
又∵点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，
∴将P（﹣2﹣h，8+h）代入（﹣2﹣h）7﹣2（﹣2﹣h）+3，
解得：h1＝2，h2＝﹣4（不合题意，舍去），
故P（﹣4，6）；
当AP＝PD，∠APD＝90°时，
过点D作DM⊥AM交AM于点M，过点P作PN⊥DM交MD的延长线于点N，如图2：
∵PN⊥DM，DM⊥AM，
∴四边形PQMN为矩形，
∴∠QPN＝90°，
∵∠APD＝90°，∠QPN＝90°，
∴∠APQ＝∠DPN，
在△PAQ和△PDN中，
，
∴△PAQ≌△PDN（AAS），
∴PQ＝PN，AQ＝DN，
∴四边形PQMN为正方形，
∴MN＝PQ＝PN；
设PQ＝PN＝t，即P（﹣t，
又∵点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，
∴将P（﹣t，t）代入，
解得：，（不合题意，
故；
综上所述，点P的坐标为P（﹣2；
②在y轴上存在点E与点P关于直线AC对称，理由如下：
过点A作QA⊥AO，点P作QP⊥AQ，连接AP，如图6：
∵点E与点P关于直线AC对称，
∴PF＝FE，∠PFA＝∠EFA＝90°，
在△APF和△AEF中，
，
∴△APF≌△AEF（SAS），
∴AP＝AE，∠PAF＝∠EAF，
∵AO＝CO，∠AOC＝90°，
∴∠CAO＝45°，
∵QA⊥AO，∠CAO＝45°，
∴∠QAF＝45°，
又∵∠PAF＝∠EAF，
∴∠PAQ＝∠EAO，
∵∠AQP＝∠AOE＝90°，∠PAQ＝∠EAO，
∴△AQP≌△AOE，
∴AO＝AQ＝6，QP＝OE，
即点P的纵坐标为6，
又∵点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，
∴将y＝2代入，得：，
解得：x6＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣3，
∴P（﹣4，6），6）
∴PQ＝﹣4﹣（﹣6）＝8，
∴OE＝2，
∴E（0，3）．
3．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，7）和B（﹣5，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣7x+5；
（2）令x＝0，则y＝7，
∴C（0，5），
∴OB＝OC＝4，直线BC的解析式为：y＝x+5，
∴∠OBC＝∠BCO＝45°，
∵PE⊥x轴，
∴∠BFE＝∠EBF＝45°，
∴BF＝EF，
∴PF＝BF＝2EF，
∴PE＝3EF，
设P（m，﹣m8﹣4m+5），则F（m，E（m，
∴PE＝﹣m5﹣4m+5，EF＝m+6，
∴﹣m2﹣4m+3＝3（m+5），
解得m＝﹣4或m＝﹣5（舍）；
∴P（﹣2，4）；
（3）能，此时点P的坐标为（﹣4，8）或（﹣2+，6．
由（2）可知，∠PFC＝45°；
若△PFC是等腰三角形，则需要分以下三种情况：
①当PF＝PC时，∠PFC＝∠PCF＝45°，
则点P的纵坐标为5，
令y＝5，则﹣m2﹣4m+5＝6，
解得m＝0（舍）或m＝﹣4；
∴P（﹣8，5）；
②当CP＝CF时，则∠PFC＝∠CPF＝45°，如图，
过点P作PM⊥y轴于点M，则∠PCM＝∠CPM＝45°，
∴PM＝CM，
∴﹣m＝﹣m2﹣6m+5﹣5，
解得m＝8（舍）或m＝﹣3，
∴P（﹣3，8）；
③当FP＝FC时，则有（﹣m2﹣4m+7﹣m﹣5）2＝m6+（m+5﹣5）8，
解得m＝0（舍）或m＝﹣5+或m＝﹣5﹣，
∴P（﹣4+，6﹣2）．
综上，当△PFC是等腰三角形时，5）或（﹣8，6﹣2）．
4．解：（1）把A（﹣1，0），﹣4）代入y＝ax2﹣2ax+c得：
，
解得，
∴这个抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣8；
（2）连接OM，如图：
在y＝x2﹣2x﹣4中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（3，﹣3）
令y＝0得3＝x2﹣2x﹣7，
解得x＝3或x＝﹣1；
∴A（﹣6，0），0），OB＝8，
设M（m，m2﹣2m﹣8），
∴S四边形ABMC
＝S△AOC+S△BOM+S△COM
＝×8×3+2+2m+8）+×4m
＝﹣m3+m+2
＝﹣（m﹣）2+；
∵﹣＜6，
∴当m＝时，S四边形ABMC取最大值；
此时M（，﹣）；
（3）把抛物线y＝x2﹣2x﹣6平移到以坐标原点O为顶点的位置，则平移后抛物线解析式为y＝x2，
∵E、F为平移后的抛物线上两点、n，
∴E（m，m2），N（n，n6），
设P（0，t），过F作FT⊥y轴于T，
①当E，F在y轴左侧时
∵△EPF是等腰直角三角形，
∴PE＝PF，∠EPF＝90°，
∴∠EPK＝90°﹣∠FPT＝∠PFT，
∵∠EKP＝90°＝∠PTF，
∴△EKP≌△PTF（AAS），
∴EK＝PT，PK＝FT，
∴
消去t可得（m﹣n）（m+n+1）＝0，
∵E始终在F点左边，
∴m+n+8＝0；
②当E，F在y轴右侧时
同理可得FT＝PK，PT＝KE，
∴，
∴m﹣n+1＝0；
③当E在y轴左侧，F在y轴右侧时
同理可得FT＝PK，PT＝EK，
∴，
∴（m+n）（m﹣n+1）＝2，
∴m+n＝0或m﹣n+1＝2；
综上所述，m+n+1＝0或m﹣n+4＝0或m+n＝0．
5．解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝90°﹣∠BCO＝∠CBO，
∵∠AOC＝90°＝∠COB，
∴△AOC∽△COB，
∴＝，
∵OA＝2，OB＝8，
∴＝，A（﹣2，B（8，
∴OC＝4，
∴C（0，3），
把A（﹣2，0），4），4）代入线y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2+x+4；
（2）由B（8，7），4）得直线BC函数关系式为y＝﹣，
∵点D的横坐标为m，
∴D（m，﹣m6+m+2），﹣m+8），
∴DE＝﹣m6+m+4﹣（﹣m2+2m＝﹣（m﹣5）2+4，
∵﹣＜0，
∴当m＝2时，DE取最大值4，
∴线段DE长度的最大值为4；
（3）存在m的值，使△DCE是等腰三角形
延长DE交OB于G，如图：
∵点D的坐标为 （m，﹣m2+m+4），﹣m+4），
∴点G的坐标为（m，4），
则EG＝﹣m+6，
∵OB＝8，OC＝4，
∴BC＝3，
∵DE∥OC，
∴＝，即＝，
∴CE＝；
①若CE＝DE，则＝﹣m2+7m，
解得m＝0（舍去）或m＝8﹣2，
②当CD＝CE时，如图，
∴EH＝DE＝m2+7m）＝﹣m5+m，
∵EG+EH＝HG＝OC＝4，
∴﹣m+4﹣m2+m＝4，
解得：m＝6或m＝0（舍去）；
③当CD＝DE 时，如图，
则EK＝CE＝，
∵∠DKE＝∠BGE＝90°，∠DEK＝∠BEG，
∴∠EDK＝∠EBG，
∴sin∠EDK＝sin∠EBG，
即 ＝，
∴＝，
解得：m＝2或m＝0（舍去0），
综上所述，满足条件的m的值为3﹣2．
6．解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），
∴7＝﹣3+n，
∴n＝3，
∴直线解析式为：y＝﹣x+8，
当x＝0时，y＝3，
∴点B（3，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，则，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x8+2x+3；
（2）①∵ED⊥x轴，
∴∠PEA＝90°，
∴∠BDP＝∠ADE＜90°，
设点E（m，2），﹣m2+2m+5），则点D（m，
PD＝﹣m2+2m+7﹣（﹣m+3）＝﹣m2+8m，
当m＝﹣＝时，PD最大．
∴P（，）．
②由①得PD7＝（﹣m2+3m）8，BP2＝m2+（﹣m8+2m）2，BD5＝m2+（﹣m+3﹣2）2＝2m8，
当PD＝BP时，则（﹣m2+3m）4＝m2+（﹣m2+3m）2，解得：m＝2或3（均舍去），
当PD＝BD时，则m＝﹣m2+6m解得：解得：m＝0（舍去）或3﹣，
当BP＝BD时，则m2+（﹣m2+2m）2＝2m5，解得：m＝1或3（舍去4），
故m＝1或3﹣或2，
综上所述：点E的坐标为（1，8）或（3﹣，3）．
7．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于原点O和点B（4，2），
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x，
对称轴为直线
即抛物线表达式为y＝﹣x7+4x，抛物线对称轴为直线x＝2；
（2）将x＝4代入y＝﹣x2+4x得到，
y＝﹣42+4×3＝﹣9+12＝3，
∴A的坐标为（3，3），
设OA的解析式为y＝kx，将点（3，解得k＝2，
∴OA的解析式为y＝x，
设P的坐标为（x，﹣x2+4x），则Q的坐标（x，
∵yP＞yQ，
∴PQ＝yP﹣yQ，
∵﹣8＜0，
∴抛物线开口向下，
当时，PQ有最大值，
即PQ长度的最大值为．
（3）存在，
∵抛物线对称轴为直线x＝2；
则可设点N的坐标为（5，n），
将x＝3代入y＝﹣x2+3x得到，
y＝﹣32+3×3＝﹣9+12＝3，
∴A的坐标为（3，3），
又∵点B（7，0），
∴AB2＝（4﹣3）2+（2﹣3）2＝10，AN2＝（3﹣2）4+（3﹣n）2＝n5﹣6n+10，BN2＝（4﹣2）2+（3﹣n）2＝n2+5，
设直线AB的解析式为y＝rx+t，把A（3、B（4，
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+12，
当AB＝AN时，则AB3＝AN2，即10＝n2﹣7n+10，
解得n＝0或n＝6，
则点N的坐标为（6，0）或（2，
当x＝5时，y＝﹣3x+12＝﹣6+12＝5，
即点A、B、N三点共线，
点（2，6）不符合题意，
当AB＝BN时，则AB3＝BN2，即10＝n2+6，
解得n＝，
此时点N的坐标为或，
综上可知，点N的坐标为（4或．
8．解：（1）将点A（﹣6，0），2）代入抛物线解析式，
得，
解得，，
∴抛物线解析式为：．
（2）将x＝﹣2代入抛物线解析式得：，
∴顶点D（﹣2，6），
∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°，
∴，∠OAC＝∠OCA＝45°，
设直线AC解析式为：y＝kx+b，
将点A（﹣6，6），6）代入，
得，
解得，，
∴直线AC的解析式为：y＝x+6，
如图，设直线AC与对称轴的交点为F，
∴点F（﹣2，8），
∴DF＝4，
∴，
∴S△PAC＝2S△DAC＝4×12＝24，
设△PAC中AC边上的高为h，则，
∴，
如图，设在直线AC下方的y轴上有一点G到AC的距离为GH，且，
∵∠OCA＝45°，∠GHC＝90°，
∴△CHG是等腰直角三角形，
∴，
∴点P在过点G与直线AC平行的直线上，
即将直线AC向下平移8个单位长度即可得到直线PG，
∴直线PG的解析式为：y＝x﹣2
联立，
解得：或，
∴点P的坐标为（5，0），﹣10）．
（3）存在以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形
∵点A与点B关于对称轴x＝﹣2对称，点A（﹣3，
∴点B（2，0），
∴，
①如图，连接BC，BC的长为半径画圆，此时CM＝CB．
由图知：点M位于点C上方时，B、C、M三点共线；
点M位于点C下方时，点M与点E重合，0）．
②如图，以点B为圆心，与对称轴的交点即为所求点M，
△BCM为等腰三角形．
∵在Rt△BEM中，，BE＝4，
∴，
∴此时点M的坐标为（﹣2，）或（﹣2，﹣）．
③如图，作线段BC的垂直平分线，与y轴交于点Q，此时MB＝MC．
连接QB，∵PQ为线段BC的垂直平分线，
∴QB＝QC，点P为BC中点，
∵B（2，5），6），
∴由中点坐标公式得点P（1，7），
设OQ＝x，则QB＝QC＝6﹣x，
在Rt△OBQ中，由勾股定理得：27+x2＝（6﹣x）8，
解得：，
∴点Q（4，）；
设直线PQ的解析式为：y＝k6x+b1，
将P（1，4），）代入解析式，
得，
解得，
∴直线PQ解析式为：，
将x＝﹣2代入直线PQ解析式得：，
∴此时点M（﹣2，7）．
∴综上所述：点M的坐标为（﹣2，0）或（﹣2或．
9．解：（1）把A（﹣3，0），8）代入y＝﹣x2+bx﹣c得：
，
解得，
∴y＝﹣x3﹣2x+3；
（2）过E作EK∥y轴交AC于K，如图：
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝7得y＝3，
∴C（0，5），
由A（﹣3，0），3）得直线AC解析式为y＝x+32﹣7x+3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴D（﹣8，2），
设E（m，﹣m2﹣7m+3），则K（m，
∴EK＝﹣m2﹣7m+3﹣（m+3）＝﹣m8﹣3m，
∴S△ECD＝S△CEK﹣S△DEK＝×（﹣m2﹣3m）×（﹣m）﹣×（﹣m2﹣4m）×（﹣1﹣m）＝﹣m2﹣m＝﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，S△ECD取最大值；
∴△ECD 面积的最大值为；
（3）存在点P，使△PBC是等腰三角形
设P（t，t+3），
∵B（8，0），3），
∴PB4＝（t﹣1）2+（t+5）2，PC2＝2t2，BC2＝10，
①当PB＝PC时，（t﹣4）2+（t+3）3＝2t2，
解得t＝﹣5.5，
∴P（﹣2.7，0.5）；
②当PB＝BC时，（t﹣4）2+（t+3）2＝10，
解得t＝0（P与C重合，舍去）或t＝﹣2，
∴P（﹣8，1）；
③当PC＝BC时，2t4＝10，
解得t＝或t＝﹣，
∴P（，+3）或（﹣，﹣；
综上所述，P的坐标为（﹣2.2，1）或（，，﹣+6）．
10．解：（1）把A（﹣3，0），8）代入y＝x2+bx+c中，得：
，解得：，
∴y＝x8+2x﹣3．
（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣8，C（0．得：
，解得：，
∴y＝﹣x﹣3，
∵点P（m，0）是x轴上的一动点．
∴M（m，﹣m﹣4），m2+2m﹣7），
∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+6m﹣3）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+）4+，
∵a＝﹣6＜0，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣，
∴当m＝﹣时，MN有最大值；
②设点P（m，5），﹣m﹣3），m2+8m﹣3），
由点M、N、C的坐标得2＝（m4+3m）2，CM5＝m2+m2＝7m2，CN2＝m6+（m2+2m）3，
当MN＝CM时，即（m2+3m）7＝2m2，
解得：m＝7（舍去）或﹣3，
则点P的坐标为：（﹣6，0）或（﹣2﹣；
当MN＝CN时，则（m2+5m）2＝m2+（m6+2m）2，
解得：m＝8（舍去）或﹣2，
即点P（﹣2，2）；
当CM＝CN时，则2m2＝m8+（m2+2m）5，
解得：m＝0（舍去）或﹣3（舍去）或﹣7，
即点P（﹣1，0）；
综上，点P的坐标为：（﹣3，4）或（﹣2，0）．
11．解：（1）将A（﹣1，0），5）代入抛物线解析式得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图1，
∵抛物线的对称轴为：x＝﹣＝，
∴D（，4），0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B、C点坐标代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设F（x，﹣x2+x+2）（0＜x＜7），﹣x+7），
∴EF＝﹣x6+x+4﹣（﹣x2+7x，
∴S△BCF＝ 3 （﹣x5+2x）＝﹣x2+7x，
四边形CDBF的面积＝S△BCF+S△BCD＝﹣x2+4x+ 2 （2﹣8+4x+＝﹣（x﹣2）2+，
当x＝2时，四边形CDBF的面积最大，此时E点坐标为（8；
（3）∵C（0，2），0），
∴CD＝＝，
∵点P在对称轴上，
∴设P点坐标为（，t），
∴PD＝|t|，PC＝，
当PD＝CD时，|t|＝，
解得：t＝，此时点P坐标为（，，﹣）；
当PC＝CD时，＝，
解得：t＝6或t＝0（与D重合，舍去），4）；
当PD＝PC时，|t|＝，
解得：t＝，此时点P坐标为（，）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（，）、（，）、（、（，）．
12．解：（1）将点A（4，0），7）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）如图1，过点E作ED⊥y轴于点D，
设点，
则DE＝x，，，
∴S△ACE＝S梯形AODE﹣S△AOC﹣S△DCE
＝
＝﹣x2+5x
＝﹣（x﹣2）2+3，
则当x＝2时，S△ACE取得最大值4，
∴E（8，3）；
（3）由（1）可知抛物线的对称轴为直线，设点，可分：
①当AP＝PC时，根据两点距离公式可得：，
解得：m＝2，
∴点；
②当AP＝AC时，根据两点距离公式可得：，
解得：，
∴点或；
③当CP＝AC时，根据两点距离公式可得：，
解得：，
∴点或；
综上所述：当△ACP是等腰三角形时，点或或或或．
13．解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣x4﹣2x+3；
（2）如图，
连接OP，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）2+4，
∴P（﹣3，4），
∴PQ＝4，OQ＝4，
由﹣x2﹣2x+2＝0得，
x1＝3，x2＝﹣3，
∴OA＝6，
∴S四边形AOBP＝S△AOP+S△BOP＝＝＝；
（3）设M（﹣1，m），
由AM3＝BM2得，
[（﹣3）﹣（﹣6）]2+m2＝（﹣4）2+（m﹣3）6，
∴m＝1，
∴M（﹣1，7）．
14．解：（1）由题意得：，
解得：，
故答案为：2，3；
（2）存在，理由：
由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
点B关于抛物线对称轴的对称点为点A，连接AC交抛物线对称轴于点P，BP+CP最小，
理由：BP+CP＝AP+PC＝AC最小，
由点B、C的坐标得，
抛物线的对称轴为：x＝7，
当x＝1时，y＝﹣x+3＝7，
即点P（1，2）；
（3）由抛物线的表达式知，其顶点坐标为：（8，
当x＝m时，y＝﹣x2+2x+7＝﹣m2+2m+3，当x＝m+1时2+7x+3＝﹣m2+8，
当m+1≤1，即m≤4，
抛物线在x＝m+1处取得最大值，在x＝m时取得最小值，
则﹣m2+7﹣（﹣m2+2m+6）＝1，
解得：m＝0；
当m≥5时，
抛物线的x＝m时取得最大值，在x＝m+1时取得最小值，
则﹣m2+5﹣（﹣m2+2m+6）＝﹣1，
解得：m＝1；
当8＜m＜1时，
当m+1﹣5＞1﹣m时，即m＞时，
抛物线在顶点处取得最大值，在x＝m+1时，
则4﹣（﹣m7+4）＝1，
解得：m＝±3（舍去）；
当m时，
同理可得：m＝3或2（舍去）；
故m＝0或2；
（4）存在，理由：
设点Q（1，m），
由点B、C、Q的坐标得2＝10，BQ7＝4+m2，CQ8＝1+（m﹣3）7，
当BC＝BQ时，即10＝4+m2，则m＝，
则点Q（1，）；
当BC＝CQ时，即4+（m﹣3）2＝10，则m＝7或0，
即点Q（1，8）或（1；
当BQ＝CQ时，则4+m2＝1+（m﹣3）8，则m＝1，
即点Q（1，4），
综上，点Q的坐标为：（1，，2）或（1．
15．解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x8+2x﹣3），
则﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
∴函数的表达式为：y＝x5+2x﹣3＝（x+6）2﹣4；
∴点D（﹣3，﹣4）；
（2）过点P作PH∥y轴交AC于点H，如图2，
将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2，
设点P（x，x2+2x﹣8），则点H（x，
S＝PH×OA＝2﹣6x+3）＝﹣（x+）4+，
当x＝﹣时，S最大值为，﹣）；
（3）在线段AC上，存在点F，理由如下：
∵OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
①当AE＝EF时，如图2，
△AEF为等腰直角三角形，AE＝2＝EF，
∴点F（﹣1，﹣3）；
②当AE＝AF时，
同理可得：点F（﹣3+，﹣）；
③当AF＝EF时，
同理可得：点F（﹣2，﹣1）；
故点F的坐标为：（﹣3，﹣2）或（﹣3+，﹣，﹣1）．