广东省肇庆市德庆县香山中学2023-2024学年高一（上）第三次月考数学试卷（1月份）（含解析）
文档属性
| 名称 | 广东省肇庆市德庆县香山中学2023-2024学年高一（上）第三次月考数学试卷（1月份）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 37.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-18 14:10:10 | ||
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文档简介
2023-2024学年广东省肇庆市德庆县香山中学高一（上）第三次月考数学试卷（1月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题：，使，则( )
A. 命题的否定为“，使”
B. 命题的否定为“，使”
C. 命题的否定为“，使”
D. 命题的否定为“，使”
2.若集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，为实数，且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.已知点是角终边上一点，则( )
A. B. C. D.
5.下列各组函数是同一函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
6.已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为( )
A. B. C. D.
7.“”是“函数的图象与轴只有一个公共点”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围是( )
A. ， B.
C. D. ，
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是( )
A. B. C. D.
10.下列判断或计算正确的是( )
A. ，使得 B.
C. D.
11.下列不等式中一定成立的是
( )
A. B.
C. D.
12.下列说法中正确的是( )
A. 函数只有一个零点，且该零点在区间上
B. 若是定义在上的奇函数，，且当时，，则
C. 已知的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则一定是奇函数
D. 实数是命题“，”为假命题的充分不必要条件
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的最小正周期为 ．
14.已知，求 ______．
15.当时，不等式恒成立，则实数的最大值是______．
16.已知函数若在上单调递减，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
已知全集，集合，．
Ⅰ当时，求
Ⅱ若，求实数的取值范围．
19.本小题分
小明有万元的闲置资金，计划进行投资．现有两种投资方案可供选择，这两种方案的回报如下：方案一：每月回报投资额的；方案二：第一个月回报投资额的，以后每月的回报比前一个月翻一番．小明计划投资个月．
分别写出两种方案中，第月与第月所得回报万元的函数关系式；
小明选择哪种方案总收益最多？请说明理由．
20.本小题分
已知函数，且．
若的解集为，求函数的值域；
当时，解不等式．
21.本小题分
已知函数且的最小正周期为．
求函数的单调递减区间；
若，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数是偶函数，其中是自然对数的底数．
求的值；
若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意知命题：，使为存在量词命题，
其否定为全称量词命题，即“，使”．
故选：．
根据含有一个量词的命题的否定，即可得到答案．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于，若，，，，不等式不成立；
对于，取，，，，不等式不成立；
对于，因为且，，所以由不等式的同向可加性，，不等式成立；
对于，当，时，不等式不成立．
故选：．
取特殊值可判断；利用不等式的性质可判断．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的正弦值和余弦值，可得结论．
【解答】
解：因为点是角终边上一点，
所以，
所以，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：对于，，与的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；
对于，，与的对应关系不同，不是同一函数；
对于，，与的定义域不同，不是同一函数；
对于，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．
故选：．
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断两个函数是同一函数．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由于的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，
所以函数的周期为．
故选：．
根据正弦函数的图象求出函数的周期，进而求得．
本题考查了正弦函数图象的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：当时，函数的图象与轴只有一个公共点，满足题意，
当时，函数的图象与轴只有一个公共点，则，解得，
综上所述：或．
故选：．
考虑和两种情况，计算得到，根据范围大小得到答案．
本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为函数有三个零点，
所以的图象与的图象有三个交点，
因为，所以当时，由得，或，所以当时，的图象与的图象有两个交点；
当时，的图象与的图象有个交点，
令，得，所以符合题意；
令，得或舍去，所以符合题意．
综上，的取值范围是，．
故选：．
由题意可得的图象与的图象有三个交点，结合，分和分别求解即可得答案．
本题考查分段函数、函数的零点，考查数分类讨论思想，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：是偶函数，但在上不是单调函数，故A错误；
对于：是偶函数，且在上单调递减，故B正确；
对于：是偶函数，且在上单调递增，故C错误；
对于：是偶函数，且在上单调递减，故D正确．
故选：．
直接根据函数的性质，逐一分析答案，即可得出答案．
本题考查函数的单调性和奇偶性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】【分析】
直接利用三角函数的性质，三角函数的符号，三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系确定、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的性质，三角函数的符号，三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
【解答】
解：对于：，使得，由于，出现矛盾，故A错误；
对于：，故B正确；
对于：，故C正确；
对于：，故D错误；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角函数单调性和诱导公式的应用，属于中档题．
利用诱导公式对选项中的三角函数进行化简，然后根据三角函数的单调性进行分析判断．
【解答】
解：、，故A正确；
B、因为
，
又，
所以，即，故B错误；
C、因为
，
又，
故，所以C错误；
D、因为
，
，
又，
所以，即，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的零点范围问题，考查了函数的奇偶性和对称性，属中档题．
根据函数单调性判断，根据奇函数性质，求出函数值判断，根据函数的奇偶性判断，根据二次函数根的判别式判断．
【解答】
解：对于，函数单调递增，又，，
所以该零点在区间上，不在区间上，所以错；
对于，由得，，
又是定义在上的奇函数，
所以，当时，，所以对；
由为奇函数，得，
由为偶函数，得，
所以，
从而，即，
于是是奇函数，所以对；
对于，“，”为真命题“，”为假命题，
反之，当时，“，”为假命题推不出“”，所以对；
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正切函数的周期性，属于基础题．
根据函数的最小正周期为，进而可求得函数的最小正周期．
【解答】
解：，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以原式．
故答案为：．
根据诱导公式和同角三角函数基本公式化简求值即可．
本题主要考查了诱导公式和同角三角函数基本公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：当时，，
则，
当且仅当，即时取等号，
当时，不等式恒成立，
则，
所以实数的取值范围为
则实数的最大值是．
故答案为：．
将问题转化为求解的最小值问题，利用基本不等式求解最小值，即可得到答案．
本题考查了不等式恒成立问题，利用基本不等式求解最值的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：函数在上单调递减，
令，
函数在上单调递减，
，解得，
实数的取值范围是．
故答案为：．
根据复合函数的单调性，转化为函数在上单调递减，注意函数的定义域，列出不等式组，解此不等式组即可求得结果．
本题考查函数的单调性的应用，属中档题．
17.【答案】解：；
．
【解析】直接计算指数幂即可；
利用对数的运算性质计算即可．
本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：当时，．
又，
，
或．
当时，，即，这时．
当时，有，解得．
综上，的取值范围为．
【解析】本题主要考查集合的基本运算以及关系，结合子集的定义进行转化是解决本题的关键，属于中档题．
求出集合，的等价条件，结合集合补集和并集的定义进行计算即可；
根据集合子集关系建立不等式组进行求解即可．
19.【答案】解：设第月所得回报为万元，则方案一可以用且描述；
方案二可以用且描述．
两个方案每月的回报额列表如下：
月 方案一：万元 方案二：万元
若选择方案一，则总回报为万元，
若选择方案二，则总回报为万元，
故选择方案二总收益最多．
【解析】本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，考查了学生的运算能力，属于较难题．
分别根据两种方案建立函数关系式即可求解；
分别列举出两种方案各个月的回报，求和比较即可求解．
20.【答案】解：由题意可得，；
因为的解集为，
所以和为方程的两个根，
所以，解得，
所以．
当时，，当且仅当时等号成立；
当时，
，
当且仅当时等号成立．
所以函数的值域为．
．
当时，分三种情况讨论：
当，即时，解不等式，得；
当，即时，不等式化为，无解；
当，即时，解不等式，得．
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
【解析】本题考查了一元二次不等式与对应方程和函数的应用问题，属于中档题．
由求出的值，再根据的解集求出的值，写出的解析式，由基本不等式求函数的值域即可
利用分类讨论法求不等式的解集．
21.【答案】解：由函数的最小正周期可得，可得，
当时，，
所以单调递减区间满足，，
解得，，
所以函数的单调递减区间为，；
当时，，
则函数的单调递减区间满足，，
解得，，
即函数的单调递减区间为，；
由可得当时，
所以，，
解得，．
所以不等式的解集为，，
当时，
即，可得，，
解得，，
所以不等式的解集为，．
【解析】由函数的最小正周期可得的值，分别写出函数的单调递减区间满足的条件，求出即可；
分别写出满足不等式的充要条件，求出即可．
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题．
22.【答案】解：函数是偶函数，
，即，
．
由题意，知在上恒成立，
则，即，
，
令，则，
，
，当且仅当时等号成立，
，
即的取值范围是．
【解析】本题主要考查函数的奇偶性，不等式恒成立问题，考查转化思想的应用．
由是偶函数，可得，从而可求得的值；
将不等式恒成立转化为，令，利用基本不等式求出的最小值即可求得的取值范围．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题：，使，则( )
A. 命题的否定为“，使”
B. 命题的否定为“，使”
C. 命题的否定为“，使”
D. 命题的否定为“，使”
2.若集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，为实数，且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.已知点是角终边上一点，则( )
A. B. C. D.
5.下列各组函数是同一函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
6.已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为( )
A. B. C. D.
7.“”是“函数的图象与轴只有一个公共点”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围是( )
A. ， B.
C. D. ，
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是( )
A. B. C. D.
10.下列判断或计算正确的是( )
A. ，使得 B.
C. D.
11.下列不等式中一定成立的是
( )
A. B.
C. D.
12.下列说法中正确的是( )
A. 函数只有一个零点，且该零点在区间上
B. 若是定义在上的奇函数，，且当时，，则
C. 已知的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则一定是奇函数
D. 实数是命题“，”为假命题的充分不必要条件
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的最小正周期为 ．
14.已知，求 ______．
15.当时，不等式恒成立，则实数的最大值是______．
16.已知函数若在上单调递减，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
已知全集，集合，．
Ⅰ当时，求
Ⅱ若，求实数的取值范围．
19.本小题分
小明有万元的闲置资金，计划进行投资．现有两种投资方案可供选择，这两种方案的回报如下：方案一：每月回报投资额的；方案二：第一个月回报投资额的，以后每月的回报比前一个月翻一番．小明计划投资个月．
分别写出两种方案中，第月与第月所得回报万元的函数关系式；
小明选择哪种方案总收益最多？请说明理由．
20.本小题分
已知函数，且．
若的解集为，求函数的值域；
当时，解不等式．
21.本小题分
已知函数且的最小正周期为．
求函数的单调递减区间；
若，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数是偶函数，其中是自然对数的底数．
求的值；
若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意知命题：，使为存在量词命题，
其否定为全称量词命题，即“，使”．
故选：．
根据含有一个量词的命题的否定，即可得到答案．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于，若，，，，不等式不成立；
对于，取，，，，不等式不成立；
对于，因为且，，所以由不等式的同向可加性，，不等式成立；
对于，当，时，不等式不成立．
故选：．
取特殊值可判断；利用不等式的性质可判断．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的正弦值和余弦值，可得结论．
【解答】
解：因为点是角终边上一点，
所以，
所以，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：对于，，与的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；
对于，，与的对应关系不同，不是同一函数；
对于，，与的定义域不同，不是同一函数；
对于，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．
故选：．
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断两个函数是同一函数．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由于的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，
所以函数的周期为．
故选：．
根据正弦函数的图象求出函数的周期，进而求得．
本题考查了正弦函数图象的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：当时，函数的图象与轴只有一个公共点，满足题意，
当时，函数的图象与轴只有一个公共点，则，解得，
综上所述：或．
故选：．
考虑和两种情况，计算得到，根据范围大小得到答案．
本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为函数有三个零点，
所以的图象与的图象有三个交点，
因为，所以当时，由得，或，所以当时，的图象与的图象有两个交点；
当时，的图象与的图象有个交点，
令，得，所以符合题意；
令，得或舍去，所以符合题意．
综上，的取值范围是，．
故选：．
由题意可得的图象与的图象有三个交点，结合，分和分别求解即可得答案．
本题考查分段函数、函数的零点，考查数分类讨论思想，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：是偶函数，但在上不是单调函数，故A错误；
对于：是偶函数，且在上单调递减，故B正确；
对于：是偶函数，且在上单调递增，故C错误；
对于：是偶函数，且在上单调递减，故D正确．
故选：．
直接根据函数的性质，逐一分析答案，即可得出答案．
本题考查函数的单调性和奇偶性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】【分析】
直接利用三角函数的性质，三角函数的符号，三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系确定、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的性质，三角函数的符号，三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
【解答】
解：对于：，使得，由于，出现矛盾，故A错误；
对于：，故B正确；
对于：，故C正确；
对于：，故D错误；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角函数单调性和诱导公式的应用，属于中档题．
利用诱导公式对选项中的三角函数进行化简，然后根据三角函数的单调性进行分析判断．
【解答】
解：、，故A正确；
B、因为
，
又，
所以，即，故B错误；
C、因为
，
又，
故，所以C错误；
D、因为
，
，
又，
所以，即，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的零点范围问题，考查了函数的奇偶性和对称性，属中档题．
根据函数单调性判断，根据奇函数性质，求出函数值判断，根据函数的奇偶性判断，根据二次函数根的判别式判断．
【解答】
解：对于，函数单调递增，又，，
所以该零点在区间上，不在区间上，所以错；
对于，由得，，
又是定义在上的奇函数，
所以，当时，，所以对；
由为奇函数，得，
由为偶函数，得，
所以，
从而，即，
于是是奇函数，所以对；
对于，“，”为真命题“，”为假命题，
反之，当时，“，”为假命题推不出“”，所以对；
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正切函数的周期性，属于基础题．
根据函数的最小正周期为，进而可求得函数的最小正周期．
【解答】
解：，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以原式．
故答案为：．
根据诱导公式和同角三角函数基本公式化简求值即可．
本题主要考查了诱导公式和同角三角函数基本公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：当时，，
则，
当且仅当，即时取等号，
当时，不等式恒成立，
则，
所以实数的取值范围为
则实数的最大值是．
故答案为：．
将问题转化为求解的最小值问题，利用基本不等式求解最小值，即可得到答案．
本题考查了不等式恒成立问题，利用基本不等式求解最值的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：函数在上单调递减，
令，
函数在上单调递减，
，解得，
实数的取值范围是．
故答案为：．
根据复合函数的单调性，转化为函数在上单调递减，注意函数的定义域，列出不等式组，解此不等式组即可求得结果．
本题考查函数的单调性的应用，属中档题．
17.【答案】解：；
．
【解析】直接计算指数幂即可；
利用对数的运算性质计算即可．
本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：当时，．
又，
，
或．
当时，，即，这时．
当时，有，解得．
综上，的取值范围为．
【解析】本题主要考查集合的基本运算以及关系，结合子集的定义进行转化是解决本题的关键，属于中档题．
求出集合，的等价条件，结合集合补集和并集的定义进行计算即可；
根据集合子集关系建立不等式组进行求解即可．
19.【答案】解：设第月所得回报为万元，则方案一可以用且描述；
方案二可以用且描述．
两个方案每月的回报额列表如下：
月 方案一：万元 方案二：万元
若选择方案一，则总回报为万元，
若选择方案二，则总回报为万元，
故选择方案二总收益最多．
【解析】本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，考查了学生的运算能力，属于较难题．
分别根据两种方案建立函数关系式即可求解；
分别列举出两种方案各个月的回报，求和比较即可求解．
20.【答案】解：由题意可得，；
因为的解集为，
所以和为方程的两个根，
所以，解得，
所以．
当时，，当且仅当时等号成立；
当时，
，
当且仅当时等号成立．
所以函数的值域为．
．
当时，分三种情况讨论：
当，即时，解不等式，得；
当，即时，不等式化为，无解；
当，即时，解不等式，得．
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
【解析】本题考查了一元二次不等式与对应方程和函数的应用问题，属于中档题．
由求出的值，再根据的解集求出的值，写出的解析式，由基本不等式求函数的值域即可
利用分类讨论法求不等式的解集．
21.【答案】解：由函数的最小正周期可得，可得，
当时，，
所以单调递减区间满足，，
解得，，
所以函数的单调递减区间为，；
当时，，
则函数的单调递减区间满足，，
解得，，
即函数的单调递减区间为，；
由可得当时，
所以，，
解得，．
所以不等式的解集为，，
当时，
即，可得，，
解得，，
所以不等式的解集为，．
【解析】由函数的最小正周期可得的值，分别写出函数的单调递减区间满足的条件，求出即可；
分别写出满足不等式的充要条件，求出即可．
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题．
22.【答案】解：函数是偶函数，
，即，
．
由题意，知在上恒成立，
则，即，
，
令，则，
，
，当且仅当时等号成立，
，
即的取值范围是．
【解析】本题主要考查函数的奇偶性，不等式恒成立问题，考查转化思想的应用．
由是偶函数，可得，从而可求得的值；
将不等式恒成立转化为，令，利用基本不等式求出的最小值即可求得的取值范围．
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