2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，是空间中互不相同的四个点，则( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.椭圆的长轴长是( )
A. B. C. D.
4.已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为( )
A. B. C. D.
5.在等差数列中，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.若离心率为的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则( )
A. B. C. D.
7.已知数列的通项公式为，若，当数列的前项和取最大值时，( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在等差数列中，已知，，是其前项和，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知直线：与圆：交于，两点，则( )
A. 直线恒过定点
B. 使得的直线有条
C. 面积的最大值为
D. 圆在，两点处的切线的交点在直线上
11.如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为该正方体的上底面上的动点，则( )
A. 满足平面的点的轨迹长度为
B. 存在唯一的点满足
C. 满足的点的轨迹长度为
D. 存在点满足
12.如图，为抛物线：的焦点，为坐标原点，过轴左侧一点作抛物线的两条切线，切点为、，、分别交轴于、两点，则下列结论一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等比数列中，，，则 ______．
14.过定点且与直线平行的直线的一般式方程为______．
15.在三棱锥中，在线段上，满足，是平面内任意一点，，则实数 ______．
16.已知双曲线，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点，且，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知正项数列满足．
求的通项公式；
记，数列的前项和为，求．
18.本小题分
已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于、两点
求圆的方程．
当时，求直线方程．
19.本小题分
已知数列满足，，．
求；
当为奇数时，求数列的前项和．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
求证：平面；
求证：平面．
21.本小题分
如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，分别是，的中点，平面经过点，，与棱交于点，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求直线与平面所成角的余弦值．
22.本小题分
已知椭圆过点，焦距为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ直线：与椭圆交于异于的两点，，直线，分别与直线交于点，两点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
运用向量加法法则、减法法则计算即可．
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：直线的斜率
直线的倾斜角满足，
结合，可得
故选：．
根据直线的方程，算出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系即可算出所求的倾斜角大小．
本题给出直线方程，求直线的倾斜角的大小．着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由椭圆可知，椭圆焦点在轴上，
长轴长，
故选：．
直接由椭圆的性质得答案．
本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的性质，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：圆，圆，
所以，，且，，
因为，
所以，
所以两圆相交，所以两圆有条公切线．
故选：．
判断两圆的位置关系，即可判断出公切线的条数．
本题考查两圆的位置关系与公切线条数间的关系，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：在等差数列中，，
则，
因此．
故选：．
由等差数列的性质计算即可得．
本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，渐近线方程为，
其中一条渐近线与直线垂直，
，得．
故选：．
根据双曲线离心率求得，再根据双曲线的一条渐近线与直线垂直列出，求解．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：令，则，
所以当时，；当时，，
由知，当时，；当时，，
要使取最大值，则需取到数列中的所有正数项，所以．
故选：．
易知当时，；当时，，再找出数列中所有正数项对应的，即可得解．
本题考查数列求和，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据三棱锥中，相对的棱的棱长相等，将三棱锥补成长方体，
设该长方体的长、宽、高分别为、、，则，解得，
以为原点，分别以、、所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
可得，，，，，，
设直线与所成角为，则．
故选：．
根据题意，将图形补成一个长、宽、高分别为，，的长方体，然后建立空间直角坐标系，利用向量法算出直线与所成角的余弦值．
本题主要考查长方体的性质、利用空间向量研究异面直线所成角的大小，考查了计算能力、空间想象能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
由，，可得，
解得，
，故A，B正确，
，故C错误，
，，
，故D正确．
故选：．
设等差数列的公差为，由题意可得，可求出和，再结合等差数列的通项公式和前项和公式判断各个选项即可．
本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，直线：恒过定点，故A正确；
对于，由得，弦心距，
，解得，只有条，故B错误；
对于，设圆心到直线的距离为，则，，
的面积，
又，所以当时，，故C正确；
对于，设交点，则切点弦的方程为，
又过点，所以，即交点在直线上，故D正确．
故选：．
求得直线过定点判断；利用点到直线的距离求得判断；求得最大面积判断；求得交点所在直线方程判断．
本题主要考查直线和圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：选项A，如图：
在正方体中，，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得：平面，
又，所以平面平面，
又平面平面，
故满足平面的点的轨迹为线段，
由题意知，，故选项A正确；
选项B，在正方体中，建立如图所示坐标系，
则，，设，其中，，
则，，
由，可得，
即，故，
即，故选项B正确；
选项C，，，
由可得：，即，
故点的轨迹为图中线段，
其中，为线段和上靠近的四等分点，
则，故选项C正确；
选项D，作点关于平面的对称点，则，
当，，三点共线时，最短，
故，
故不存在点满足，故D错误．
故选：．
通过证明面面平行，得出点的轨迹为线段，可判断；建立空间直角坐标系，通过，求得点只有唯一解，可判断；由可得点坐标满足，从而判定点轨迹，可判断；作点关于平面的对称点，当，，三点共线时，最短，求得最短距离，可判断．
本题考查空间点、线、面间的距离计算，考查空间向量解决距离问题，属难题．
12.【答案】
【解析】解：如图，
由题，设，则，
过点的切线方程为，
联立方程组，消去得，
令，解得，即过抛物线上一点的切线的斜率为，
对于，设，
所以过点的切线方程为，令，可得，即，
又，所以，则，
所以，即，同理可得，
则，，，四点共圆，所以，故A正确；
对于，若点在准线上，则直线的方程为，
此时直线过焦点，则，所以，故B错误；
对于，由，，
可得，，
若，可得，
则，
所以，此时直线过焦点，设直线，代入抛物线，
可得，可得，
所以当直线过抛物线焦点时，两交点的纵坐标之积为，
而直线不一定过焦点，故C错误；
对于，因为，，可得，故，
联立方程组，解得，即，
则，
所以，故D正确．
故选：．
求得过点的切线方程，得到，得出和，可判断A正确；当点在准线上，求得，可判定B错误；由，求得，可判定C错误；分别求得和，可判定D正确．
本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力和转化思想的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：在等比数列中，，，也成等比数列，
，
故答案为：．
根据在等比数列中，，，也成等比数列，进而根据和的值求得答案．
本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是利用在等比数列中，依次每项之和仍成等比数列的性质．
14.【答案】
【解析】解：设所求直线方程为，
代入点，得，解得，
故所求直线方程为．
故答案为：．
根据题意，利用两条直线平行与方程的关系加以解答，可得答案．
本题主要考查直线的方程、两条直线平行与方程的关系等知识，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由，可得，
由，
可得，
因为是平面内的点，
所以，解得．
故答案为：．
根据四点共面的向量表示，可得，解出即可．
本题考查四点共面的向量关系，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：不妨设双曲线的渐近线为，则直线为，
由，得，即，
设点，则，
，，
解得，即，
由点在双曲线上，代入得，
整理得，则．
故答案为：．
由已知求出点的坐标，由求出点的坐标，代入双曲线方程即可求得离心率．
本题考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：因为，
当时，，
两式相减得，因为，可得，，
令，可得，满足，
所以的通项公式为；
，
所以．
【解析】利用数列通项和前项和的关系求解；
由得到，再利用裂项相消法求解．
本题考查数列的通项与求和的关系，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：意知到直线的距离为圆半径，
，
圆方程为分
垂径定理可知且，
在中由勾股定理易知
设动直线方程为：或，显然合题意．
由到距离为知．
或为所求方程．分
【解析】利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；
根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．
本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为，所以数列，，，构成首项为，公差为的等差数列，
所以；
由，所以数列，，，构成首项为，公差为的等差数列，得到，
设，
则，
又，所以为奇数时，．
【解析】根据条件，得出数列，，，为等差数列，即可求出结果；
根据条件得出，由知，再利用分组求和即可求出结果．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：证明：连接，交于点，连接，
底面是正方形，是的中点，
是的中点，，
平面，平面，
平面．
证明：底面是正方形，，
侧棱底面，平面，，
，是的中点，，
，平面，平面，
平面，，
，平面，平面，
平面，，
，，平面，
平面．
【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
连接，交于点，连接，则，由此能证明平面．
推导出，，，从而平面，，平面，，，由此能证明平面．
21.【答案】解：过点作直线与平行，则，所以，共面，延长与交于点，
连接，与的交点即为点，
因为为正方形，是的中点，
所以，，又，所以，
因为是的中点，所以，则，
又，所以．
连接，取的中点，连接，因为，所以，且，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
如图建立空间直角坐标系，则，
所以，
设平面的法向量为，则，取，
所以，
设直线与平面所成角为，则，所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为．

【解析】过点作直线与平行，则，所以与共面，延长与交于点，连接，与的交点即为点，再利用三角形相似计算可得；
连接，取的中点，连接，即可证明平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
本题主要考查直线和平面所成的角，属于中档题．
22.【答案】解：Ⅰ因为椭圆过点，焦距为，
所以，
解得，，
则椭圆的方程为；
Ⅱ证明：联立，消去并整理得，
此时，
即，
不妨设，，
由韦达定理得，，
易知直线的方程为，
令，
解得，
即，
直线的方程为，
令，
解得，
即，
因为，
所以，
即，
可得，
整理得，
因为，，
所以，
解得或，
当时，直线的方程为，
即，
此时直线过定点，不符合题意；
当时，直线方程为，
即，
此时直线过定点．
故直线经过定点．
【解析】Ⅰ由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系，列出等式进行求解即可；
Ⅱ将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，，得到直线和的方程，推出，两点的坐标，列出等式再进行验证即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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