准考证号： 姓名：
（在此卷上答题无效）
2023~2024学年第二学期福建省部分学校教学联盟高一年级开学质量监测
数 学 试 卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
温馨提示：请将所有答案填写到答题卡的相应位置上！请不要错位、越界答题！
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．设集合，则
A． B． C． D．
2．
A． B． C． D．
3．已知，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
4．王昌龄是著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的
A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知命题.若为假命题，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
6．函数的图象大致为
A． B． C． D．
7．“学如逆水行舟，不进则退心似平原跑马，易放难收”，增广贤文是勉励人们专心学习的如果每天的“进步”率都是，那么一年后是如果每天的“落后”率都是，那么一年后是一年后“进步”的是“落后”的倍现假设每天的“进步”率和“落后”率都是，要使“进步”的是“落后”的倍，则大约需要经过
参考数据：，
A．天 B．天 C．天 D．天
中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．
用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．
同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为，太阳光线通过顶部投影到“圭”上的点为．
同一日内，甲地日影长是乙地日影长的，记甲地中直线与地面所成的角为，且．则甲、乙两地之间的距离约为
A．10千里 B．12千里 C．14千里 D．16千里
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．函数的部分图象如图，则
A．是函数的一条对称轴 B．是函数的一条对称轴
C． D．
10．已知函数，的定义域均为R，且，．若是的对称轴，且，则下列结论正确的是
A．是奇函数 B．是的对称中心
C．2是的周期 D．
11．波恩哈德·黎曼（1866.07.20～1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是
A． B．
C． D．关于的不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知全集，，，指出Venn图中阴影部分表示的集合是 .
13．已知，则 .
14．已知函数，若，则关于的不等式的解集为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
已知函数的图象经过点．
(1)求的值，判断的单调性并说明理由；
(2)若存在，不等式成立，求实数的取值范围．
16．（本题满分15分）
杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买台“机器狗”的总成本为 .
(1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台
(2)现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为，，. “汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） 奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且 则哪台机器狗用的时间最少 请说明理由.
17．（本题满分15分）
筒车（chinese noria）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为，筒车直径为，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要，如图，盛水筒A（视为质点）的初始位置距水面的距离为．
(1)盛水筒A经过后距离水面的高度为h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数的解析式；
(2)盛水筒B（视为质点）与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值（结果用含的代数式表示），及此时对应的t．
（参考公式：，）
18．（本题满分17分）
某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间（单位：小时）的关系如下：当血药浓度不低于时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过．
(1)若注射药品，求药品的有效治疗时间；
(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml药品，12小时之后又注射aml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求的最小值．
19．（本题满分17分）
已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值；
(3)若函数在内恰有2023个零点，求与的值.2023~2024学年第二学期福建省部分学校教学联盟高一年级开学质量监测
数学试题参考答案
阅卷说明：参考答案是用来说明评分标准的。如果考生的答案、方法、步骤与本参考答案不同，但解答科学合理的同样给分。有错的，根据考生错误的性质参考评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C A B C B B
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
注意：全部选对的得6分，第9题选对其中一个选项得2分，第10、11题选对其中一个选项得3分。有错选的得0分。
题号 9 10 11
答案 ABD BD AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分，第一小题6分，第二小题7分）
解：（1）函数经过点，
所以，解得，即，
，
则是上的单调递增函数，理由如下：
任取、，且，则，
则，
所以，即，
所以是定义域上的单调递增函数．
（2）因为，
故是奇函数且在上单调递增，
则不等式等价于，
所以，即，
即存在,不等式有解，
即在,上有解，
由,，可得，
由对勾函数性质易知：在单调递减，在单调递增，
且，故在的最大值为，
所以，即
所以，
即实数的取值范围是,．
16．（本题满分15分，第一小题6分，第二小题9分）
解：（1）由题意，购买台“机器狗”的总成本为，
则每台机器狗的平均成本为，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，若使每台“机器狗”的平均成本最低，应买台.
（2）由题意，“汪1”满足，可得，
“汪2”满足，可得，
“汪3”满足，
，，
所以 ，
因为，，且，
所以可得，则，
所以，所以 “汪1”用的时间最少.
17．（本题满分15分，第一小题6分，第二小题9分）
解：（1）以简车转轮的中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，
设，，由题意知，，，
∴，，即，
当时，，解得，
结合图像初始位置可知，
又因为，所以，
综上．
（2）经过后A距离水面的高度，
由题意知，所以经过后B距离水面的高度，
则盛水筒B与盛水筒A的高度差为，
利用，
，
当，即时，H取最大值，
又因为，所以当或时，H取最大值，
综上，盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值约为，此时或．
18．（本题满分17分，第一小题6分，第二小题11分）
解：（1）注射该药品，其浓度为
当时，，解得；
当时，，解得．
所以一次注射该药品，则药物有效时间可达小时．
（2）设从第一次注射起，经小时后，
其浓度，则，
因为，
当时，即时，等号成立．
，当时，，
所以，因为，
解得，所以．
当时，，，所以不能保证持续有效，
综上，要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，的最小值为．
19．（本题满分17分，第一小题4分，第二小题5分，第三小题8分）
解：（1）
令，
得
∴函数的单调递增区间为
（2）
令，
则
可得，当即时，；
当即时，
∵存在，对任意，有恒成立，
∴为的最小值，为的最大值，
∴，，
∴，
∴.
（3）令，
方程可化为，
令，则，
当时，，，此时函数在上有个零点，
∴，适合题意；
当时，在内有一解，
在或内有一取值，则此时函数在上有个零点，不适合题意；
当时，，此时函数在上有个零点，
∴，适合题意；
当时，或，或，则此时函数在上有个零点，不适合题意；
当时，在和内各有一解，在和内各有一取值，
则此时函数在上有个零点，不适合题意；
当时，，，则此时函数在上有个零点，不适合题意.
综上所述，，，或，.
