2024年中考 数学专题提升11　一次函数的实际应用（含答案）

　一次函数的实际应用
提分要点
1. 确定函数表达式的方法
(1)待定系数法：需根据题中所给信息(表格或图象)提取两个满足一次函数图象的点的坐标(两个x和其对应的y值)，利用待定系数法求解；
(2)列关系式法：此类问题常需抓住题干(文字或表格)中的关系列关系式，如：利润＝(售价－成本)×销量，总价＝单价×数量等．
2. 方案选取问题
方案选取型问题一般是费用最少问题，解题时一般先根据题目满足的关系列出不等式，若为两种方案的选取，将两种方案的函数关系式组成不等式，求解对应的自变量的取值范围；若为三种方案的选取，可画出函数图象，求出交点坐标，利用图象性质解答．
3. 方案设计问题
方案设计型问题一般是利润最大或费用最少问题，解题时一般先根据题意列出函数关系式，然后由图象、题干信息或列不等式求得自变量的取值范围，再利用一次函数的增减性确定利润最大或费用最少时自变量的值，从而设计出符合要求的方案．
例　
甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按八折出售，乙商场对一次性购物中超过200元后的价格部分打七折．
(1)以x(单位：元)表示商品原价，y(单位：元)表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；
(2)在同一直角坐标系中画出(1)中函数的图象；
例题图
(3)春节期间如何选择这两家商城去购物更省钱？
【分层分析】
①等量关系式：售价＝标价×折扣；
②列函数关系式：在甲商城购物的金额y1＝________，在乙商城购物不超过200元时，购物的金额y2＝________，超过200元时，购物金额y2＝________；
③描点：根据题意可知y1的函数图象是过原点与点(200，_______)
的一条射线；当0≤x≤200时，y2的函数图象是过原点与点(200，______)的一条线段，当x＞200时，y2的函数图象是过点(200，______)
与点(600，______)的一条射线；
连线：将①中所描点依次连接，即为y1与y2的函数图象；
④确定怎样选择更省钱：分别令y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2，即可得到不同自变量取值范围内的更省钱的选择．
【自主作答】
拓展设问
(4)若在同一商场购物，商品原价购物金额累计为800元，则在甲、乙两家商场中哪家商场实际购物花费较少？
【分层分析】
①求实际花费：根据甲所有商品按八折出售，可知原价购物金额累计为800元，实际购物花费________元，根据乙商场对一次性购物中超过200元后的价格部分打七折，可知原价购物金额累计为800元，实际购物花费________元；
②确定哪个实际购物花费最少：根据①可得________商场花费最少．
【自主作答】
(5)小林决定去甲商场购进A，B两款摆件共300件，且购进A款摆件的数量不超过B款摆件的一半，已知A款摆件每个的进价为11元(商场打折前)，B款摆件每个的进价为13元(商场打折前)；试问如何购进A，B两款摆件使得所需总费用最低，最低的费用是多少元？
【分层分析】
①等量关系式：总费用＝A款摆件数量×进价＋B款摆件数量×进价；
②设未知量：设购进A款摆件为a件，则购进B款摆件为_____________________件，
总费用为w元；
③列函数关系式：结合②中所设未知数和①中等量关系式可得w＝__________；
④根据购进A款摆件的数量不超过B款摆件的一半，可列关系式为__________，解得a的取值范围为________；
⑤确定函数增减性：∵一次函数的系数k________0，∴w随a的增大而________；
⑥求最低总费用并确定最省钱方案：当a＝________时，所需总费用最低，即购进A款摆件为________件，购进B款摆件为_______________________________________________件
时所需总费用最少，最少为________元．
【自主作答】
(6)在(5)的条件下，小林决定将购进的A，B两款摆件分别以A商品25元/件，B摆件30元/件的价格售出，已知某月售出A，B两种商品共160件，在两款摆件成本不超过1 900元的情况下怎样售出才能获得最大利润？最大利润是多少元？
【分层分析】
①等量关系式：单价×数量＝总价，售价－成本＝利润；
②设售出A摆件m件，则售出B商品________件，总利润为w元；
③列函数关系式：总利润w＝________；
④求m的取值范围：由成本不超过1 900元可列不等式为________________，
解得m的取值范围为________；
⑤确定函数增减性：∵一次函数的系数k________0，∴w随m的增大而________；
⑥求最大利润：当m＝________时，总利润最大，即出售A摆件________件，B摆件________件时，总利润为________元．
【自主作答】
真题演练
命题点 　一次函数的实际应用
1. 物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)满足函数关系y＝kx＋15.下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x/kg 0 2 5
y/cm 15 19 25
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当弹簧长度为20 cm时，求所挂物体的质量．
2. 某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的.
(1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
(2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
基础过关
1. 经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径(树的主干在地面以上1.3 m处的直径)越大，树就越高，通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y(m)是其胸径x(m)的一次函数．已知这种树的胸径为0.2 m时，树高为20 m；这种树的胸径为0.28 m时，树高为22 m.
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当这种树的胸径为0.3 m时，其树高是多少？
2.“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售．若用1 200元购买A型玩具的数量比用1 500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
(1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
(2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个．张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
3. 我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
(1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
(2)求方案二y关于x的函数表达式；
(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
第3题图
综合提升
4. 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x(天)之间的关系如图所示．
(1)甲组比乙组多挖掘了__________天；
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．
第4题图
5. (跨学科整合)某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度，小聪想用刻度不超过100 ℃的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10 s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
(1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y(单位：℃)与加热的时间t(单位：s)符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是__________函数关系(请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”)；
(2)根据以上判断，求y关于t的函数解析式；
(3)当加热110 s时，油沸腾了，请推算沸点的温度．
第5题图
一次函数的实际应用（答案）
例　解：(1)甲商场：y＝0.8x(x≥0)，
乙商场：y＝x(0≤x≤200)，y＝0.7×(x－200)＋200＝0.7x＋60，即y＝0.7x＋60(x＞200).
答：甲商场：y＝0.8x(x≥0)，乙商场：y＝；
(2)画出函数图象如解图；
例题解图
(3)【分层分析】0.8x，x，0.7x＋60；160，200，200，480.
当0.8x＜0.7x＋60，解得x＜600，
∴当购物金额按原价小于600元时，在甲商场购物省钱；
当0.8x＝0.7x＋60，解得x＝600，
∴当购物金额按原价等于600元时，在两商场购物花钱一样多；
当0.8x＞0.7x＋60，解得x＞600，
∴当购物金额按原价大于600元时，在乙商场购物省钱；
(4)【分层分析】640，620；乙．
在甲商场实际购物花费：800×0.8＝640(元)，
在乙商场实际购物花费：200＋0.7×(800－200)＝620(元)，
∵640＞620，
∴若在同一商场购物，商品原价购物金额累计为800元，则在甲、乙两家商场中的乙商场实际购物花费较少；
(5)【分层分析】(300－a)；11a＋13(300－a)；a≤，a≤100；＜，减小；100，100，200，2 960.
设购进A款摆件a件，则购进B款摆件(300－a)件，
∵购进A款摆件的数量不超过B款摆件的一半，
∴a≤，
解得a≤100，
根据题意得总花费w＝11a＋13×(300－a)＝－2a＋3 900，
∵－2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当a＝100时，w取最小值，最小值为－2×100＋3 900＝3 700，
∴实际花费为3 700×0.8＝2 960元．
此时300－a＝300－100＝200，
答：购进A款摆件100件，B款摆件200件时，所需总费用最少，最少的费用是2 960元；
(6)【分层分析】(160－m)；2 720－3m；11m＋13(160－m)≤1 900，m≥90；＜，减小；90，90，70，2 450.
设小林售出A摆件m件，则售出B摆件(160－m)件，
根据题意，得11m＋13(160－m)≤1 900，
解得m≥90，
∴w＝(25－11)m＋(30－13)(160－m)＝2 720－3m，
∵－3＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝90时，w有最大值，最大值为2 450，
此时160－m＝70，
答：售出A摆件90件，B摆件70件时，才能获得最大利润，最大利润为2 450元．
真题演练
1. 解：(1)将x＝5，y＝25代入y＝kx＋15中，
得25＝5k＋15，
解得k＝2，
∴y与x的函数关系式为y＝2x＋15；(4分)
(2)当y＝20时，20＝2x＋15，解得x＝2.5，
∴当弹簧的长度为20 cm时，所挂物体的质量为2.5 kg.(9分)
2. 解：(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为(x＋2)平方米．
由题意得＝×，(2分)
解得x＝3，
经检验，x＝3是原分式方程的解且符合实际，(3分)
∴x＋2＝5.
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位占地面积为3平方米；(4分)
(2)设建造A类摊位a个，则建造B类摊位(90－a)个．
由题意得90－a≥3a，解得a≤22.5.(5分)
设建造这90个摊位的费用为y元，
则y＝40a×5＋30×(90－a)×3＝110a＋8 100.(6分)
∵110＞0，
∴y随a的增大而增大，
∵a取整数，
∴a的最大值为22，
∴当a＝22时，y的最大值为110×22＋8 100＝10 520.
答：建造这90个摊位的最大费用为10 520元．(8分)
基础过关
1. 解：(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
根据题意，得，
解得，
∴y与x之间的函数表达式为y＝25x＋15；
(2)当x＝0.3时，y＝25×0.3＋15＝22.5，
∴当这种树的胸径为0.3 m时，其树高为22.5 m.
2. 解：(1)设A型玩具的进价为x元/个，则B型玩具的进价为1.5x元/个，
由题意可列方程－20＝，
解得x＝10，经检验，x＝10是分式方程的解且符合实际，
∴1.5x＝15.
答：A型玩具的进价为10元/个，B型玩具的进价为15元/个；
(2)设购进A型玩具m个，则购进B型玩具(75－m)个，总利润为w元，
则w＝(12－10)m＋(20－15)(75－m)＝－3m＋375，
根据题意得，－3m＋375≥300，解得m≤25，
∴m最大取25.
答：A型玩具最多购进25个．
3. 解：(1)30件；
(2)设方案二的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
把(0，600)，(30，1 200)代入上式，得，
解得，
∴方案二的函数表达式为y＝20x＋600；
(3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；
若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；
若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一．
4. 解：(1)30；
【解法提示】由图象可知，前30天，甲、乙合作挖掘隧道，30天后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成剩下的任务用了30天，∴60－30＝30(天)，∴甲组比乙组多挖掘了30天．
(2)设乙组停工后y关于x的函数解析式为y＝kx＋b，
将点(30，210)，(60，300)代入y＝kx＋b中(k≠0)，
得，解得，
∴y关于x的函数解析式为y＝3x＋120(30≤x≤60)；
(3)10天．【解法提示】设甲、乙每天各挖掘隧道a m，b m，根据题意，得，解得.乙组30天挖掘了30×4＝120(m)，设乙组已停工t天，则3×(30＋t)＝120，解得t＝10，故乙组已停工的天数为10天．
5. 解：(1)一次；
(2)设这个一次函数的解析式为y＝kt＋b(k≠0)，
将(0，10)和(10，30)代入y＝kt＋b中，得，
解得，
∴y关于t的函数解析式为y＝2t＋10；
(3)当t＝110时，y＝2×110＋10＝230，
∴沸点的温度为230 ℃.