2024年中考 数学专题提升12 反比例函数的图象与性质（含答案）

反比例函数的图象与性质
1. 已知反比例函数y＝(k≠0).
(1)当反比例函数图象在第二、四象限时，k的取值范围为________，在每一个象限内，y随x的增大而________；(填“增大”或“减小”)
(2)若点A(3，－4)，B(－2，m)在该反比例函数图象上，则m的值为________；
(3)若k＞0，在这个反比例函数的图象上有两点A(1，y1)，B(4，y2)，则y1，y2的大小关系为________________________________________________________________________；
(4)若点A(x，y1)，B(－x，y2)在该反比例函数图象上，则y1＋y2＝________；
(5)在同一直角坐标系中，函数y＝(k≠0)和y＝kx＋1(k≠0)的图象大致为________．
　
第1题图
2. 如图，A，B是反比例函数y＝图象上的两点，过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为E，F，作x轴的垂线，垂足分别为G，H，连接OA.
　第2题图
(1)△OAG的面积为________；
(2)矩形OEAG的面积为________，矩形OFBH的面积为________；
(3)若S矩形OFMG＝3，S矩形FEAM＋S矩形HBMG的值为________．
3. 根据下列实际问题，列函数关系式：
(1)某村有耕地200 km2，人口数量x逐年发生变化，该村人均耕地面积y km2与x之间的函数关系式为________；
(2)某市距省城248 km，汽车行驶全程所需的时间t h与平均速度v km/h之间的函数关系式为____________；
(3)古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为1 000 N和0.5 m．则动力F随动力臂L的变化的函数关系式为____________．
知识逐点过
考点1 　反比例函数的图象与性质
表达式 y＝(k为常数，k≠0)
k的符号 k①________0 k②________0
图象(草图)
所在象限 第③________象限(x，y同号) 第④________象限(x，y异号)
增减性 在每一个象限内，y随x的增大而⑤________ 在每一个象限内，y随x的增大而⑥________
对称性 关于原点成中心对称；关于直线y＝x，y＝－x成轴对称
考点2 　反比例函数中k的几何意义
k的几何意义 如图，过反比例函数y＝(k≠0)图象上任一点P(x，y)作x轴，y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N，则所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝⑦________．
基本图形面积 　 　　 　　 　　 　S△AOP＝⑧____　 S△ABP＝⑨____　 S△APP′＝2|k|　　 S△ABC＝⑩____　　S ABCD＝ ____
考点3 　反比例函数解析式的确定
待定系数法 1.设所求反比例函数解析式为y＝(k≠0)；2.找出图象上的一点P(a，b)；3．将点P的坐标代入y＝中，得k＝ ________；4.确定反比例函数解析式y＝
利用k的几何意义 若题中已知面积时，考虑用k的几何意义求解，由面积得|k|，再结合图象所在象限判断k的正负，从而得出k的值，代入解析式即可
考点4 　反比例函数的实际应用
特征 反比例函数应用主要是通过实例构建反比例函数模型，即通过题意或图象，列出关系式，根据图象和性质解决问题
解题方法 1.分析实际问题中变量之间的关系；2．建立反比例函数模型；3．用反比例函数的有关知识解答，注意利用反比例函数两变量之积是定值的性质，算出定值
常见应用 路程(s)一定，速度(v)和时间(t)成反比例，即v＝；矩形面积(S)一定，长(y)和宽(x)成反比例，即y＝；电压(U)一定，电流(I)和电阻(R)成反比例，即I＝；容积(V)一定，排水速度(Q)和排水时间(t)成反比例，即Q＝
【温馨提示】在反比例函数实际应用题中，要注意自变量的取值范围，有时候只是反比例函数图象的一支或一段
真题演练
命题点1 反比例函数的图象与性质
1. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝k1x(k1≠0)与双曲线y＝(k2≠0)相交于A，B两点，已知点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为(　　)
A. (－1，－2) B. (－2，－1) C. (－1，－1) D. (－2，－2)
第1题图　　　
2. 点(1，y1)，(2，y2)，(3，y3)，(4，y4)在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是(　　)
A. y1 B. y2 C. y3 D. y4
命题点2 反比例函数的实际应用
3. 某蓄电池的电压为48 V，使用此蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)的函数表达式为I＝.当R＝12 Ω时，I的值为________A.
拓展训练
4. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例，p关于 V的函数图象如图所示．若压强由 75 kPa加压到100 kPa，则气体体积压缩了________ mL.
第4题图
基础过关
1. 若点A(1，3)是反比例函数y＝(k≠0)图象上一点，则常数k的值为(　　)
A. 3 B. －3 C. D. －
2. 反比例函数y＝－的图象一定经过的点是(　　)
A. (1，4) B. (－1，－4) C. (－2，2) D. (2，2)
3. 关于反比例函数y＝，下列结论正确的是(　　)
A. 图象位于第二、四象限
B. 图象与坐标轴有公共点
C. 图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D. 图象经过点(a，a＋2)，则a＝1
4. 已知点M(2，a)在反比例函数y＝的图象上，其中a，k为常数，且k>0，则点M定在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.如图，一次函数y1＝k1x＋b(k1>0)的图象与反比例函数y2＝(k2>0)的图象相交于点A的横坐标为1，点B的横坐标为－2，当y1第5题图
A. x<－2或x>1
B. x<－2或0C. －21
D. －26. 若点A(－3，a)，B(－1，b)，C(2，c)都在反比例函数y＝(k<0)的图象上，则
a，b，c的大小关系用“<”连接的结果为(　　)
A. b7. 一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝(a，b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能是(　　)
ABCD
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y＝(k为常数，k>0，x>0)的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，连接OA.若△OAB的面积为，则k＝__________．
第8题图
9.已知点A(－2，3)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，点B(a，3)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则a的值为__________．
10. 某农场有一个储水量为8 m3的圆柱形储水罐，现计划对农场进行改造，需减少储水罐的占地面积．在储水量不变的前提下，储水罐的高度h(m)与底面积S(m2)成反比例函数关系，则当储水罐底面积由5 m2变为4 m2时，高增加了__________m.
11.科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度ρ(单位：g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1 g/cm3的水中时，h＝20 cm.
(1)求h关于ρ的函数解析式；
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25 cm，求该液体的密度ρ.
第11题图
12. 已知反比例函数y＝(k≠0)的图象的一支如图所示，它经过点(3，－2).
(1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支；
(2)求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．
第12题图
综合提升
13. 已知点A(3，3)，B(3，1)，反比例函数y＝(k≠0)图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值：__________．
第13题图
反比例函数的图象与性质（答案）
1. (1)k＜0，增大
(2)6　【解析】将点A(3，－4)代入y＝，解得k＝－12，将点B(－2，m)代入y＝－，解得m＝6.
(3)y1＞y2　【解析】当反比例函数图象在第一、三象限时，k＞0，∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，∵1＜4，∴y1＞y2.
(4)0　【解析】∵点A(x，y1)，B(－x，y2)在反比例函数图象上，∴xy1＝－xy2，∴y1＝－y2，∴y1＋y2＝0.
(5)③　【解析】∵一次函数解析式为y＝kx＋1，∴当k＞0时，一次函数图象经过第一、二、三象限，反比例函数图象经过第一、三象限；当k＜0时，一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象经过第二、四象限，∴③满足．
2. (1)　【解析】∵反比例函数解析式为y＝，点A在反比例函数的图象上，∴S△OAG＝＝.
(2)9，9　【解析】S矩形OEAG＝|k|＝9，S矩形OFBH＝|k|＝9.
(3)12　【解析】∵S矩形OGAE＝S矩形OFBH＝9，S矩形OFMG＝3，∴S矩形HBMG＝S矩形FEAM＝9－3＝6，∴S矩形HBMG＋S矩形FEAM＝12.
(1)y＝(x为正整数)；(2)t＝(v＞0)；(3)F＝(L＞0)
知识逐点过
①＞　②＜　③一、三　④二、四　⑤减小　⑥增大　⑦|k|　⑧|k|
⑨|k|　⑩|k|　 |k|　 ab
真题演练
1. A　【解析】∵点A与点B关于原点对称，∴点B的坐标为(－1，－2).
2. D　【解析】∵点(1，y1)，(2，y2)，(3，y3)，(4，y4)在反比例函数y＝的图象上，且反比例函数y＝的图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴y1＞y2＞y3＞y4，∴最小的是y4.
3. 4　【解析】当R＝12 Ω时，I＝＝4(A).
4. 20　【解析】设函数表达式是p＝，代入点(100，60)得出函数表达式是p＝，当p＝75 kPa时，V＝80 mL；当p＝100 kPa时，V＝60 mL.因此气体体积压缩了80－60＝20(mL).
基础过关
1. A　【解析】 把A(1，3)代入y＝中，得3＝，解得k＝3.
2. C
3. C　【解析】A.k＝3>0，则反比例函数图象两个分支分布在第一、三象限，故不符合题意；B.反比例函数图象与坐标轴没有公共点，故不符合题意；C.当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x的增大而减小，故符合题意；D.图象经过点(a，a＋2)，∴a(a＋2)＝3，解得a1＝1，a2＝－3，故不符合题意．
4. A　【解析】∵k>0，∴反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，故点M可能在第一象限或第三象限，∵M(2，a)的横坐标大于0，∴M(2，a)一定在第一象限．
5. B　【解析】∵一次函数与反比例函数图象的交点横坐标分别是－2与1，∴由题图可知，当x<－2时，y1＜y2；当0＜x<1时，y1＜y2，∴x的取值范围是x<－2或06. D 　【解析】∵反比例函数的表达式为y＝(k＜0)，∴函数的图象位于第二、四象限，∴在第二、四象限内，y随x的增大而增大．∵A(－3，a)，B(－1，b)，－3＜－1＜0，A，B两点都在第二象限，∴a＜b，又∵C(2，c)，2＞0，C点在第四象限，∴c＜0，∴c＜a＜b.
7. D　【解析】 A．一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、三象限，则a＞0，b＞0，所以ab＞0，则反比例函数y＝的图象应该位于第一、三象限，故A选项不可能；B.一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例函数y＝的图象应该位于第二、四象限，故B选项不可能；C.一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、三、四象限，则a＞0，b＜0，所以ab＜0，则反比例函数y＝的图象应该位于第二、四象限，故C选项不可能；D.一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例函数y＝的图象应该位于第二、四象限，故D选项有可能.
8. 　【解析】设点A(x，y)，∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴k＝xy.∵点A在第一象限，且AB⊥x轴于点B，∴OB＝x，AB＝y.∵S△OAB＝，∴xy＝，∴xy＝，∴k＝xy＝.
9. 2　【解析】 ∵点A(－2，3)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，∴k＝(－2)×3＝－6，∴反比例函数y＝＝.将点B(a, 3)代入y＝中，得3＝，解得a＝2.
【一题多解】 ∵反比例函数y＝(k≠0)的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象关于y轴对称，且点A的纵坐标与点B的纵坐标相等，∴点A的横坐标与点B的横坐标关于y轴对称，∴a＝－(－2)＝2.
10. 　【解析】根据圆柱体积＝底面积×高可知，h＝，当S＝5时，h＝，当S＝4时，h＝2，2－＝，∴当储水罐底面积由5 m2变为4 m2时，高增加了 m．
11. 解：(1)设h关于ρ的函数解析式为h＝(ρ＞0)，
把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，
∴h关于ρ的函数解析式为h＝(ρ＞0)；
(2)把h＝25代入h＝，
得25＝，解得ρ＝0.8.
答：该液体的密度ρ为0.8 g/cm3.
12. 解：(1)把点(3，－2)代入反比例函数y＝(k≠0)，
得－2＝，∴k＝－6，
∴反比例函数的表达式是y＝－.
反比例函数图象的另一支如解图；
第12题解图
(2)当y＝5时，5＝－，解得x＝－.
由图象可知，当y≤5，且y≠0时，
自变量x的取值范围是x≤－或x>0.
13. 4(答案不唯一，符合3≤k≤9即可)　【解析】当y＝(k≠0)的图象经过点A(3，3)时，则3＝，解得k＝9；当y＝(k≠0)的图象经过点B(3，1)时，则1＝，解得k＝3，∴反比例函数图象的一支与线段AB有交点时，k的取值范围为3≤k≤9，∴符合条件的k的整数值可以为3，4，5，6，7，8，9.