第11讲 一元一次方程的解法（二）讲义 北师大版数学七年级上册

教材版本： 北师版 . 学 校： .
教 师 年 级 七年级 授课时间 年 月 日
课 时 2课时 课 题 第11讲—一元一次方程的解法(二)
教材分析 本讲内容主要讲解系数是分母的一元一次方程和分母是小数的一元一次方程的解法。其中，以解一元一次方程的基本步骤作为核心，结合等式的性质和去括号的法则对复杂的一元一次方程进行化简. 同时对含有参数的方程的解法和它的解的形式做了初步的研究. 本讲内容相对难度不大，教师讲解时要注意一元一次方程解题步骤的强化，以学生为主体进行授课.
教学目标 知识 技能 1.熟练应用等式的性质，并能利用等式的性质进行变形. 2.熟练应用“移项、合并、去括号、去分母”等知识解方程. 3.用一元一次方程解决生活中较复杂的实际问题.
数学 思考 通过解一元一次方程，体会等式变换的数学思想，建立用方程解决问题的意识.
问题 解决 通过具体的实例，初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.
情感 态度 通过一元一次方程的解法的学习，使学生能了解不同形式的方程，并掌握不同形式的方程的解法以及在解决过程中常用的技巧，使学生的解方程和计算能力都得到提高.
教学重点、 难点 教学重点： 解复杂一元一次方程. 教学难点： 解分母是含有小数的一元一次方程的技巧.
教学准备 动画多媒体语言课件
第一课时
复备内容及讨论记录 教学过程
一、导入 师：上节课我们学习了解一元一次方程，你还记得什么样的方程是一元一次方程吗？它都满足什么样的条件？ 师生共同复习上节课学习的内容. 师：上节课我们学习的一元一次方程大多是系数为整数的一元一次方程，这样的方程解起来比较简单，今天我们继续一起来学习解一元一次方程，但是系数发生了一些变化，不再是整数，变成了分数，甚至还有分母存在小数的分数，现在一起来看看吧！ 课件播放导入 师生一起回顾解一元一次方程的步骤. 解一元一次方程的一般步骤和依据： 步骤 依据 去分母------------等式性质2； 去括号------------去括号法则； 移项--------------等式性质1； 合并同类项--------合并同类项法则； 系数化为1--------等式性质2. 师：下面我们就来开始今天的课程吧！ 二、新授 例1 探究类型之一 含括号的一元一次方程 例1 解方程：2x-3（x-3）=12+（x-4）. 师：这个方程是一元一次方程吗？ 生：是. 师：你是怎么知道的？判断的依据是什么？ 生：先去括号，移向，合并同类项…得到次数是1，且只有一个未知数. 师：非常好，请坐，那么聪明的同学们，那你们知道题该怎么做了吗？ 生：讨论，计算，回答. 师：非常好. 答案： 解：去括号，得 2x-3x+9=12+x-4 移项，得2x-3x-x=12-4-9 合并同类项，得-2x=-1 系数化为1，得x=. 教师小结：去括号时，如果括号外的因数是负数，去括号后，括号内各项的符号与原来的符号相反. 师;带括号的方程我们知道了要先去括号，含有分数的方程怎么办呢？ 探究类型之二 含有分母的一元一次方程 例2 解方程：. 师：这道题特殊在什么地方呢？ 生：有分母. 师：我们该怎么处理呢？我找一位同学来说一下. 生：先去分母，找3,5,10的最小公倍数，而它们的最小公倍数是30，所以每一项都要乘30. 师：非常好，下面我们自己来动手操作一下. 生积极动手回答 答案： 解：去分母，得 6（x-2）-3（x+3）-10（2x-5）+90=0 去括号，得6x-12-3x-9-20x+50+90=0 移项，得6x-3x-20x=12+9-50-90 合并同类项，得-17x=-119 得 x=7 小贴士：去分母时，将方程两边同时乘几个分母的最小公倍数.将分数方程化为整数方程. 师:分子分母都含有小数的方程你会算吗？ 例3 解方程： . 师：我们来看一下，这个方程也是有分母的，我们准备怎么做？ 生：有分母，用找最小公倍数的方法，每项乘0.45. 师：好的，同学们可以试一下. 生：都是小数，运算起来比较困难. 师：那我们思考一下如何才能使运算变得比较简单那？ 生：因为都是小数，可以利用分数的基本性质先不小数化为整数，然后再去分母. 师:非常好，我们来尝试一下. 答案： 解：原方程可化为 去分母，得6（3x+8）-（2x+30）-30=8x-4 去括号，得18x+48-2x-30-30=8x-4 移项，合并同类项，得8x=8 得 x=1 小贴士：当分子或分母中含有小数时，可运用分数的基本性质或等式的性质将其转化为整数 师；解方程的关键是什么？讲=将复杂问题简单化，不管是带括号、分数还是小数，都是想方设法将它们化为ax=b的形式，最后得出答案. 师：下面我们来学习一道比较复杂的方程的解法 课件出示： 探究类型之三 含有多重括号的一元一次方程 例4 解方程：. 师：怎么样，够复杂吧？这个方程中一共有几种括号啊？ 生：3种. 师：对于这些括号，我们该怎么处理，是先拆小括号，还是中括号，还是大括号？除了括号还有分母，我们是先去括号，再去分母啊，还是先去分母，再去括号？还是怎么办？ 生：讨论，尝试解答.无论是先去括号还是先去分母都比较麻烦，可以一边去括号，一边去分母. 师：非常好！ 答案： 解：两边同时乘2，得= 整理得=x+3 两边同时乘-3，得=-3x-9 整理，得 =-4x-9 两边同时乘-4，得 =16x+36 移项，合并同类项，得15x= 得 x= 小贴士：解形式比较复杂或结构较特殊的方程时，不必拘泥于一般的解题步骤，应灵活的运用解题技巧. 三、总结反思，拓展升华 ［总结］本节课我们学习了哪些数学知识与数学的方法？ 利用一元一次方程的概念来解题，遇到有分母的要去分母，分母是小数的时候要先把小数转化成整数.
第二课时
复备内容及讨论记录 教学过程
一、创设情景，导入新课. 师：上节课的学习大家表现的都不错，这节课咱们接着学习一元一次方程的解法. 二、自主探究，合作交流 课件出示: 探究类型之四 整体处理法解一元一次方程 例5 解方程： +++…+=2013. 师：这个方程也够复杂吧，有好多项那，可是我们是不是也觉得似曾相识啊！ 生：是的，在计算分数求和的时候，用裂项法来求分数的和. 师:那同学们找一下它们之间有什么联系和区别吗？ 生：讨论，尝试解答.裂项法的时候是分子都是1，这个都是x. 师：我们能不能把x化为1啊？ 生：讨论，回答，利用乘法分配律，提取x. 师：非常好.同学们来试着做一下. 答案： 解：原方程可化为 (+++…+)x=2013. （+++…+）x=2013. ()x=2013. x=2013. 解得x=2014. 师：同学们非常棒，又解决了这样一类复杂的方程 小贴士：把方程中相同的部分看成一个整体，在化简整体过程中，先不急于将这部分拆散，这种方法叫整体处理法. 师：学习了那么多解一元一次方程的方法，你能用一元一次方程解决一些实际问题了吗？ 探究类型之五 工件配套问题 例6 某车间40名工人生产一种螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓18个或螺母24个，一个螺栓要配两个螺母.应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天的产品刚好配套？ 师：这个看似复杂的数学问题，如何才能理清思路呢！ 生：先设. 师:设什么为未知？ 生：讨论，尝试解答.设分配x名工人生产螺栓； 生：设分配x名工人生产螺母. 师；两种设法不同，等量关系式一样吗？ 师让学生找等量关系式 师：这两种设法得到的答案一样吗？动手算一算吧 生：讨论，回答，利用乘法分配律，提取x. 师：非常好.同学们来试着做一下. 答案： 解：设应该分配x名工人生产螺栓，（40-x）名工人生产螺母. 由题意得18x=， 解得x=16，40-x=24． 答：应该分配16名工人生产螺栓，24名工人生产螺母，才能使每天的产品刚好配套． 师带领验证另一种设法的解法. 师：两种算法的答案一样吗？请说明理由，找学生说. 生思考 三、总结反思，拓展升华 ［总结］这两节课我们学习了哪些数学知识与数学方法. 主要学习的内容是不同类型的一元一次方程的解法，要求熟练应用“移项、合并、去括号、去分母”等知识解方程. 掌握结构比较复杂或结构比较特殊的方程的解法. 类似性问题1 1.研究下面解方程 的过程： 去分母，得1+4（2x-3）=5x-1-3x，① 去括号，得1+8x-12=2x-1，② 移项，得8x-2x=-1-1+12，③ 合并同类项，得6x=10，④ 系数化为1，得 x=5/3.⑤ 对于上面的解法，你认为（ ）. A. 完全正确 B. 变形错误的是① C. 变形错误的是② D. 变形错误的是③ 答案：B 学生独立完成，然后找学生说说自己的答案. 类似性问题2 2.一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成.现由甲独做4小时，剩下的甲、乙合做，还需几小时完成？设剩下部分要x小时完成，下列方程正确的是（）. A. B. C. D. 答案：C 学生独立完成，然后找学生说说自己的答案. 类似性问题3 3.解方程： 师指定学生到黑板上板演，然后其他同学只能给出错误，并更正. 答案：整理，得-（20+3x）=， 去分母，得2(30+2x)-4(20+3x)=3， 去括号，得60+4x-80-12x=3， 移项，合并同类项，得-8x=23， 系数化为1，得x=-. 类似性问题4 4.解方程：. 师指定学生到黑板上板演，然后其他同学只能给出错误，并更正. 答案：两边同乘，得=12-4, 两边同乘，得=10+2, 两边同乘，得x-4=18，解得x=44. 类似性问题5 5.某地为了打造风光带，将一段长为360 m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m，乙工程队每天整治16 m．求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道. 学生独立完成，然后找学生说说自己的解题思路. 答案： 解：设甲队整治了x天，则乙队整治了（20-x）天，由题意，得24x+16（20-x）=360，解得x=5. ∴乙队整治了20-5=15（天）, ∴甲队整治的河道长为24×5=120（米）; 乙队整治的河道长为16×15=240（米）. 答：甲、乙两个工程队分别整治了120米，240米长的河道. 拓展延伸 例1 解关于x的方程：m(3x-4)=2x+1. 答案： 解：m(3x-4)=2x+1. 去括号，得 3mx-4m=2x+1. 移项，,得 3mx-2x=4m+1. 合并同类项，得 (3m-2)x=4m+1. 当3m-2≠0，即m≠时，方程有唯一解，x=. 当3m-2=0，即m=时，(3m-2)x=0，4m+1=，左边≠右边，方程无解. 例题分析 学生读题，先观察题目中的特点，说一说你对题目的理解，这里出现的字母m你是怎么想的？ 学生小组交流，汇报： 题目说是关于x的方程那么m就只是一个字母系数，在解方程时可以把m看作是一个已知数.先对方程进行化简. 师表扬小结： 对于含字母系数的方程，我们要抓住谁是未知数，谁是字母系数，那么我们最后将方程化简称什么形式呢？ 生：ax=b的形式. 师：然后呢？直接解方程吗？ 生：不行，要讨论a、b的取值. 师：为什么这么想？ 生：因为a不能等于0. 学生先尝试进行化简方程的形式. 学生汇报，说说x前面的系数要保证什么要求. 分类进行讨论，汇报结果，教师做出评价和总结. 探究类型之五 含绝对值的方程 例2 先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）． 解方程：|3x|=1．
解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程为3x=1，它的解是x=；
②当3x＜0时，原方程可化为一元一次方程为3x=-1，它的解是x=．
（1）请你模仿上面例题的解法，解方程：|x-1|=2． （2）探究：求方程2|x-3|-6=0的解． 答案： 解：（1）当x-1≥0时，原方程可化为x-1=2，解得x=3； 当x-1＜0时，原方程可化为x-1=-2，解得x=-1； 所以原方程的解为x=3或x=-1. （2）原方程可化为|x-3|=3. 当x-3≥0时，原方程可化为x-3=3，解得x=6； 当x-3＜0时，原方程可化为x-3=-3，解得x=0； 所以原方程的解为x=6或x=0. 例题分析 生先阅读材料，说一说你从中得到了什么？ 师：你还记得如何去绝对值符号吗？ 生：如果绝对值里面是个正数，那么直接去掉绝对值符号，如果里面是负数，那么去掉绝对值符号要变号. 师：材料中3x的正负性是不确定的. 对于这种情况他是如何操作的？ 生思考，交流. 师：说一说你们交流的结果. 生：根据绝对值的性质分类讨论. 师表扬，学生尝试去解决两个小题. 学生解决完之后进行讲解.教师评价. 例3. . 观察这个方程的特点，你有什么发现？ 生进行思考，汇报： 可以将看作一个整体.对方程进行改写，设y=，这样就能解出关于y的方程的解，在去绝对值符号就能解出x的值. 生：在去绝对值符号的时候，要对绝对值内部的符号进行讨论. 学生尝试解答，同桌之间相互讲一讲，并作出评价. 教师最后详细讲解一下本题. 教师总结. 例4 已知关于x的方程|x-2|+|x-3|=m，研究m存在的条件，对这个方程的解进行讨论. 解析：结合绝对值的几何意义分析 答案： 解：当m=1时，原方程去绝对值符号有x-2+3-x=1，左边=1，右边=1，所以原方程的解为2≤x≤3； 当m＜1时，原方程无解； 当m＞1时，原方程去绝对值符号有x-2+x-3=±m，解得x=. 全堂总结 1、解一元一次方程要注意： ①去分母——依据等式的基本性质，要把每一项都乘几个分母的最小公倍数. ②分母是小数进行化整依据分数的基本性质. 2、形如| x – a | = b（b≥0）的方程的解法： 解： x– a = b 或 x– a = – b ； x = a + b 或x = a – b . 解形如| x | = a（a≥0）的方程的解法： 解：a > 0时，x = ±a ； a = 0时，x = 0 ； a < 0时，方程无解.
教材答案见教案：
练习册：
C
B
-17
略
71
x=2
x=
9、解:设方框中左上角的数为k(k为非零自然数),则方框中数阵可表示为:
k k+1 k+2 k+3
k+7 k+8 k+9 k+10
k+14 k+15 k+16 k+17
k+21 k+22 k+23 k+24
设其和为S,则S=16k+1+2+3+7+…+24=16k+192.
(1)当S=2009时,16k+192=2009,无整数解,所以其和不可能为2009.
(2)当S=2011时,16k+192=2011,无整数解,所以其和不可能为2011.
(3)当S=2016时,16k+192=2016,解得k=114,此时方框中最小数为114,最大数为138.
(4)当S=2080时,16k+192=2080,解得k=118，此时第一个数在横向第17行,纵向第6列,不可能有满足数阵要求的16个数被框在长方形框中,故此时其和也不可能为2080.