北师大版七年级数学下册第四章《三角形》单元达标检测试卷（含解析）

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北师大版七年级数学下册第四章《三角形》单元达标检测试卷（含解析）
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（　 　）
A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm
C．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，6cm
如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，
现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去（　 　）
A． B． C． D．和
3 . 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（　 　）
A．45° B．60° C．75° D．90°
4 . 下列图形中，正确画出AC边上的高的是（　 　）
A. B.C. D.
5. 如图，点A，D，C，E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，
则CD的长为（　 　）
A．5.5 B．4 C．4.5 D．3
等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是（　 　）
A．x＜6 B．6＜x＜12 C．0＜x＜12 D．x＞12
7 . 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，
现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（　 　）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
8 . 如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠OAC等于（　 　）
A．65° B．95° C．45° D．100°
如图所示，，，，则下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的有（　 　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10 . 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，
再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，
则下列说法中正确的个数是（　 　）
①作出AD的依据是SAS；
②∠ADC=60°
③点D在AB的中垂线上；
④S△DAC：S△ABD=1：2．
A．1 B．2 C．3 D．4
填空题（本大题共有8个小题，每小题4分，共32分）
11．如图，的度数为 °．
工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，
在边和上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合．
过角尺顶点C的射线便是的平分线，
这里构造全等三角形的依据是 ．（填简写）

13 . 如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=25°，则∠EAC的度数= ．
14 ．如图，要测量池塘两岸相对两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，
使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，
其中可直接根据 判定△ABC≌△EDC.
15．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DAE＝ °．
16 . 如图，，，则 °．

△ABC中，AB＝5，BC＝3，则中线BD的取值范围是 ．
18 . 如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为，
若，，，那么下列式子中正确的是______

解答题（本大题共有7个小题，共38分）
19． 如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB.试说明：∠F＝∠C.
如图，已知，，求证：．
21.在△ABC中，已知∠B=50°，∠C=60°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC；求：∠DAE的度数．
22．如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠B＝∠E，CB＝DE．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）求证：CB⊥DE．
24．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF相交于点P．
（1）若∠ABC=70°，∠ACB=50°，则∠BPC=________°；
（2）求证：∠BPC=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）；
（3）若∠A=α，求∠BPC的度数．
25．在中，，直线经过点C，且于D，于E．
当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？
请写出这个等量关系，并加以证明．
北师大版七年级数学下册第四章《三角形》单元达标检测试卷（解析版）
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（　 　）
A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm
C．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，6cm
【答案】B
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断.
【详解】解：A、1+2<4，不能组成三角形；
B、４+6>8，能组成三角形；
C、5+6<11，不能够组成三角形；
D、2+3＜5，不能组成三角形.
故选B.
2 . 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，
现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去（　 　）
A． B． C． D．和
【答案】C
【分析】观察每块玻璃形状特征，利用ASA判定三角形全等即可得出答案．
【详解】解：第块和第块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一快均不能配一块与原来完全一样的，第块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，应带去，
故选：C．
3 . 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（　 　）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】C
【详解】如图，
∵∠1=90°-60°=30°，
∴∠α=45°+30°=75°．故选C．
4 . 下列图形中，正确画出AC边上的高的是（　 　）
A. B.C. D.
【答案】D
【分析】根据高的定义即可求解．
【详解】解：根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，可得D选项中，BE是△ABC中AC边长的高，
故选：D．
5. 如图，点A，D，C，E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，
则CD的长为（　 　）
A．5.5 B．4 C．4.5 D．3
【答案】B
【详解】解：因为AB∥EF，所以∠A=∠E，
又AB=EF，∠B=∠F，
所以△ABC≌△EFD，
所以AC= ED =7，
又AE=10，
所以CE=3，
所以CD=ED-CE=7-3=4，
故选B．
6．等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是（　 　）
A．x＜6 B．6＜x＜12 C．0＜x＜12 D．x＞12
【答案】B
【详解】等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则底边长为24-2x，
根据三边关系，x+x＞24-2x，解得，x＞6；
x-x＜24-2x，解得，x＜12，
所x的取值范围是6＜x＜12．
故选B．
7 . 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，
现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（　 　）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
【答案】D
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【详解】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意．
故选：D．
8 . 如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠OAC等于（　 　）
A．65° B．95° C．45° D．100°
【答案】B
【分析】首先由已知可求得∠OBD的度数，然后证明△AOD≌△BOC，利用全等三角形的对应角相等即可求得答案.
【详解】∵在△OBD中，∠O=50°，∠D=35°，
∴∠OBD=180°-50°-35°=95°，
∵在△AOC与△BOD中
，
∴△AOC≌△BOD，
∴∠OAC=∠OBD=95°，
故选B.
9 .如图所示，，，，则下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的有（　 　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，是解题的关键．
【详解】，，，
，
，，
，
即，故①正确．
，，，
，
.
又，
，即，故②正确.
，，，
，故④正确.
，，，
，
.
根据题目条件，不能判断出与的大小关系，
因此不能判断与是否相等，故③错误.
答案：B．
10 . 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，
再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，
则下列说法中正确的个数是（　 　）
①作出AD的依据是SAS；
②∠ADC=60°
③点D在AB的中垂线上；
④S△DAC：S△ABD=1：2．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①根据作图的过程可以判定作出AD的依据；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，
由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【详解】解：①根据作图的过程可知，AM=AN，MP=NP，AP=AP，
∴作出AD的依据是SSS；故①错误；
如图，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；
∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上．故③正确；
∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴AD=2CD，
∴BD=2CD，
∵S△DAC=AC CD，S△ABD=AC BD，
∴S△DAC：S△ABD=AC CD：AC BD =CD：BD=1：2，
即S△DAC：S△ABD=1：2．故④正确．
综上所述，正确的结论是：②③④，共有3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共有8个小题，每小题4分，共32分）
11．如图，的度数为 °．
【答案】70
【分析】本题主要考查了三角形的外角，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
【详解】解：的度数为：．
故答案为：70．
12 .工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，
在边和上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合．
过角尺顶点C的射线便是的平分线，
这里构造全等三角形的依据是 ．（填简写）

【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意可知和的三边都相等，则可利用证明得到，据此可得答案．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
13 . 如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=25°，则∠EAC的度数= ．
【答案】45
【分析】根据三角形的内角和定理列式求出,再根据全等三角形对应角相等可得然后根据代入数据进行计算.
【详解】解：
故答案是：.
14 ．如图，要测量池塘两岸相对两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，
使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，
其中可直接根据 判定△ABC≌△EDC.
【答案】ASA
【分析】根据已知即可用ASA的方法证明三角形全等.
【详解】解：在△ABC和△EDC中
∴△ABC≌△EDC（ASA）
15．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DAE＝ °．
【答案】10
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后求解即可．
【详解】解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°，
∵AE是高，
∴∠BAE=90°-∠B=90°-50°=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
故答案为：10．
16 . 如图，，，则 °．

【答案】
【分析】此题考查了三角形的外角性质．延长交于，然后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”列式进行计算即可得解．
【详解】解：如图，延长交于点，

由三角形的外角性质可知：，
∵，
∴，
同理：，
∴，
∴，
故答案为：．
17．△ABC中，AB＝5，BC＝3，则中线BD的取值范围是 ．
【答案】1＜BD＜4
【详解】延长BD到E，使BD=DE，连接AE，如图：
∵BD是△ABC中线，
∴AD=DC，
在△BDC和△EDA中，
∵，
∴△BDC≌△EDA.
∴BC=AE=3，
∵在△ABE中，根据三角形的三边关系定理得：5+3＞BE＞5-3，
∴2＜2BD＜8，
即1＜BD＜4.
故答案为1＜BD＜4.
18 . 如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为，
若，，，那么下列式子中正确的是______

【答案】
【分析】本题考查三角形外角等于与之不相邻的两个内角和，结合图形灵活运用该性质，即可解题．
【详解】解：记交于点，如图所示：
由折叠性质可知，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为
三、解答题（本大题共有7个小题，共38分）
19． 如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB.试说明：∠F＝∠C.
【答案】见解析
【分析】根据SSS的方法证明△DEF≌△ABC,即可得到结论.
【详解】因为DA＝EB，
所以DE＝AB.
在△DEF和△ABC中，
因为DE＝AB，DF＝AC，EF＝BC，
所以△DEF≌△ABC(SSS)，
所以∠F＝∠C.
20 .如图，已知，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等．连接，即可根据得出，即可求证．
【详解】证明：连接，
在和中，
，
∴，
∴．
21.在△ABC中，已知∠B=50°，∠C=60°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC；求：∠DAE的度数．
【答案】∠DAE=5°．
【详解】试题分析：根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠CAD的度数；在△AEC中，求出∠CAE的度数，从而可得∠DAE的度数．
试题解析：
∵在△ABC中，∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAC=35°．
∵AE⊥BC于E，
∴∠CAE=90°﹣60°=30°，
∴∠DAE=∠CAD﹣∠CAE=35°﹣30°=5°．
22．如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，
（1）由，，，根据即可证明；
（2）由，推出，推出，由，，推出，可得，由此即可解决问题；
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
23．已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠B＝∠E，CB＝DE．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）求证：CB⊥DE．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理AAS可以判定△ACB≌△ADE；
（2）找到两个有对顶角的三角形，然后根据内角和定理证明.
【详解】（1）AB⊥AE，AD⊥AC
在△ABC与△AED中
△ABC≌△AED(AAS)
（2）设DE与AB、CB分别交于点E、F.
在△AEF与△BGF中
24．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF相交于点P．
（1）若∠ABC=70°，∠ACB=50°，则∠BPC=________°；
（2）求证：∠BPC=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）；
（3）若∠A=α，求∠BPC的度数．
【答案】（1）120°；（2）证明见解析；（3）∠BPC=90°+ .
【详解】试题分析：（1）根据已知条件求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；（2）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论；（3）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论．
试题解析：（1）PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)=×120°=60°，
在△PBC中,∠BPC=180° (∠PBC+∠PCB)=180° 60°=120°
故答案为120；
（2）证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF相交于点P，
∴∠PBC=∠ABC, ∠PCB=∠ACB,
∵∠BPC +∠PBC+∠PCB=180°,
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)= 180°-(∠ABC +∠ACB) =180°-(∠ABC+∠ACB),
∴∠BPC=180°-(∠ABC+∠ACB)；
（3）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵由（2）可知：∠BPC=180°-(∠ABC+∠ACB)，
∴∠BPC=180°-(180°-∠A)，
∵∠A=，
∴∠BPC=180°-(180°-)=90°+ .
25．在中，，直线经过点C，且于D，于E．
当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？
请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）①由垂直关系可得，则由即可证明；②由的性质及线段和的关系即可证得结论；
（2）由垂直可得，则由可证明，由全等三角形的性质及线段差的关系即可证得结论；
（3）由垂直可得，则由可证得，由全等三角形的性质及线段的和差关系即可得到三线段间的关系．
【详解】（1）如图
①∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
②∵，
∴，，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）当旋转到图3的位置时，所满足的等量关系是（或等）．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
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