雅礼教育集团2024届高三月考试卷（六）
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，若为纯虚数，则（ ）
A.1 B. C.2 D.
3.已知等比数列的前3项和为，则等于（ ）
A.14 B.12 C.6 D.3
4.色差和色度是衡量毛线玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为（ ）
色差 21 23 25 27
色度 15 18 19 20
A.0.96 B.0.8 C.-0.8 D.-0.96
5.的展开式中的系数为（ ）
A.-28 B.28 C.-84 D.84
6.“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）
A. B. C. D.
7.学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4人，承担本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的4人中已知至少有2名男老师的条件下，有2名女老师的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知对任意实数都有，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.若，则
10.抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在轴的下方），则下列结论正确的是（ ）
A.若，则中点到轴的距离为4
B.弦的中点的轨迹为抛物线
C.若，则直线的斜率
D.的最小值等于9
11.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则四面体的体积为定值
B.若的外心为，则为定值2
C.若，则点的轨迹长度为
D.若且，则存在点，使得的最小值为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12.已知向量.若，则实数的值为__________.
13.若，则等于__________.
14.已知是双曲线的右焦点，过点作轴交双曲线于第一象限内的点，点与点关于原点对称，连接，当取得最大值时，双曲线的离心率为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在中，角的对边分别为.已知.
（1）求角；
（2）过作，交线段于，且，求角.
16.（本小题满分15分）
在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面分别为的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值的大小.
17.（本小题满分15分）
为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，3个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3：2取胜的队员积2分，失败的队员积1分
（1）若每名队员获得冠 亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠 亚军恰好来自不同校区的概率是多少？
（2）已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为.
①记小李以3：1取胜的概率为.若当时，取最大值.求的值；
②若以①中的值作为的值，这轮比赛小李所得积分为，求分布列及均值，
18.（本小题满分17分）
已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过作不平行于坐标轴的直线交于两点，若轴于垂足轴于垂足，直线与交于点.
①求证：点在一条定直线上，并求此定直线；
②求面积的最大值.
19.（本小题满分17分）
给出下列两个定义：
I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
（1）判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
（2）已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
（3）已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.{#{QQABJQ6QggCgQgAAAAgCUwG4CgMQkAECAAoOgAAAMAIAiRFABAA=}#}
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