2023-2024学年北师大版九年级下册3.6直线与圆的位置关系 同步练习（含解析）

2023-2024学年北师大版九年级下册同步练习【提升卷】
3.6直线与圆的位置关系 同步练习
姓名: 班级:
一、选择题
1．若直线l与☉O有公共点，则直线l与☉O的位置关系可能是（　　）
A．相交或相切 B．相交或相离 C．相切或相离 D．无法确定
2．已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（　　）
A．0 B．l C．2 D．无法确定
3．已知在平面直角坐标系中，圆P的圆心坐标为（4，5），半径为3个单位长度，把圆P沿水平方向向左平移d个单位长度后恰好与y轴相切，则d的值是（　　）
A．1 B．2 C．2或8 D．1或7
4．如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（　　）
A．3 B．3 C．6 D．9
5．在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45°，cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三者都有可能
6．已知⊙O的直径为12cm，圆心到直线l的距离为6cm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
7．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=2，那么∠AOB等于（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
8．如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：
①AD=DC；②AB=BD；③AB= BC；④BD=CD，
其中正确的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
10．已知△ABC中，AB=AC=6cm，BC=8cm，以点A为圆心，以4cm长为半径作圆，则⊙A与BC的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．外离
11．在平面直角坐标系中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆（　　）
A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相离 D．与x轴相切，与y轴相交
12．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y= 上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
二、填空题
13．若⊙O的半径为4cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是　 　．
14．⊙O直径为8cm，有M、N、P三点，OM=4cm，ON=8cm，OP=2cm，则M点在　 　，N点在圆　 　，P点在圆　 　。
15．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA=　 　°.
16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为　 　．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是　 　．
三、解答题
18．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切？
19．如图，⊙O的半径为3cm，弦AC=4 cm，AB=4cm，若以O为圆心，再作一个圆与AC相切，则这个圆的半径为多少？这个圆与AB的位置关系如何？
20．如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．
求证：AE平分∠CAB；
在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，若该风暴不改变速度与方向，问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间．
22．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．
发现：如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a的值即阴影部分的面积；
拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，直接写出sinα的值．
答案解析部分
1．答案：A
解析：解 ：①一个公共点，直线与圆相切，②两个公共点，直线与圆相交。
故答案为：相交或相切。
分析：分直线与圆公共点的个数来讨论：①一个公共点，直线与圆相切，②两个公共点，直线与圆相交。
2．答案：C
解析：∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，6cm＞5cm，
∴直线l与⊙O相交，
∴直线l与⊙O有两个交点.
故答案为：C.
分析：直线和圆的位置关系是：圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，直线与圆有两个公共点，所以由题意可得直线l与圆相交，于是可知；直线l与⊙O有两个交点。
3．答案：D
解析：当⊙p在原点右侧与y轴相切时，x-d=r，
∴d=x-r=1.
当⊙p在原点左侧与y轴相切时，
x+r=d，
∴d=7，
所以d的值是1或7.
故答案为：D.
分析：由题意可知：圆P平移前在y轴的右侧，所以有两种情况：
①当⊙p在原点右侧与y轴相切时，根据直线和圆的位置关系，当圆心P到直线的距离等于半径时，直线和圆相切，可求解；
②当⊙p在原点左侧与y轴相切时，同理可求解。综合两种情况可判断选项。
4．答案：A
解析：解：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，OB=3，
∴AO=3，则OP=6，
故BP=6﹣3=3．
故答案为：A．
分析：连接OA，根据切线垂直于经过切点的半径得出∠OAP=90°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出OP的长，最后根据BP=OP-OB即可算出答案。
5．答案：A
解析：解：设直线经过的点为A，
∵点A的坐标为（sin45°，cos30°），
∴OA= = ，
∵圆的半径为2，
∴OA＜2，
∴点A在圆内，
∴直线和圆一定相交，
故答案为：A．
分析：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，直线与圆的位置关系有三种；当dr，直线与圆相离；当dr，直线与圆相切；当dr，直线与圆相交。根据已知条件求出直线经过的点与圆心的距离d，再将距离d与半径r比较大小即可判断选项A符合题意。
6．答案：B
解析：解：圆的半径是 ×12=6（cm），
则圆心到直线l的距离等于半径，则直线l与⊙O相切．
故选B．
分析：比较圆的半径和圆心到直线的距离的大小即可判断．
7．答案：D
解析：解：∵△APO≌△BPO（HL），
∴∠AOP=∠BOP．
∵sin∠AOP=AP：OP=2：4=：2，
∴∠AOP=60°．
∴∠AOB=120°．
故选D．
分析：由切线长定理知△APO≌△BPO，得∠AOP=∠BOP．可求得sin∠AOP=：2，所以可知∠AOP=60°，从而求得∠AOB的值．
8．答案：B
解析：连接DO，
∵BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，
∴∠BDC=∠ADO=90°，
∵DO=CO，
∴∠C=∠CDO=30°，
∴∠A=30°，∠DBC=60°，
∠ADB=30°，
∴AD=DC，故①正确；
∵∠A=30°，∠DBC=60°，
∴∠ADB=30°，
∴AB=BD，故②正确；
∵∠C=30°，∠BDC=90°，
∴BD= BC，
∵AB=BD，
∴AB= BC，故③正确；
无法得到BD=CD，故④错误.
故答案为：B.
分析：连接DO，①由直径所对的圆周角是直角和圆的切线的性质可得∠BDC=∠ADO=90°，结合已知易求得∠A=∠C=30°，所以AD=DC；②由① 的计算可得∠A=30°，∠AOD=60°，由三角形外角的性质可求得∠ADB=∠A=30°，所以AB=BD；③在直角三角形BCD中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=BC，结合②的结论可得AB=BD=BC；④由前面的计算可得：∠C＜∠CBD，由大角对大边可得CD﹥BD。
9．答案：A
解析：当AB与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3，
∴AB=2 =8.
∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB≤10.
故答案为：A.
分析：由题意可求得大圆的直径是10，当AB是大圆的直径时，与圆由两个公共点，且AB最长是10；当AB与小圆相切时，AB与小圆只有一个公共点，用勾股定理可求得此时AB的长是8，；综合这两种情况可求得AB的范围是8≤AB≤10.
10．答案：A
解析：作AD⊥BC于D.
根据等腰三角形的三线合一，得BD=4cm；
再根据勾股定理得AD=2 cm，
∵2 ＞4cm
∴以4cm为半径的⊙A与BC所在直线的位置关系是相离.
故答案为：A.
分析：作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的三线合一可求得BD的值，再用勾股定理可求得AD的长；把圆心A到BC的距离AD与圆的半径4比较大小，根据直线和圆的位置关系：圆心到直线的距离大于半径时，直线和圆相离可求解。
11．答案：D
解析：解 ：∵圆心(-3，4)，∴圆心到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，又∵该圆的半径为34，∴该圆心到x轴的距离等于该圆的半径，到y轴的距离小于该圆的半径，∴此圆与x轴相切，与y轴相交。
故答案为：D
分析：由题可知圆心(-3，4)到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，而圆的半径为4，则此圆与x轴相切，与y轴相交。
12．答案：D
解析：解： 如图，
直线y= x+2 与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，
当x=0时，y= x+2 =2 ，则D（0，2 ），
当y=0时， x+2 =0，解得x=﹣2，则C（﹣2，0），
∴CD= =4，
∵ OH CD= OC OD，
∴OH= = ，
连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴PA= = ，
当OP的值最小时，PA的值最小，
而OP的最小值为OH的长，
∴PA的最小值为 = ．
故答案为：D．
分析：作OH⊥CD于H，先利用一次函数解析式得到D、C的坐标，再利用勾股定理可计算出CD=4，则利用面积法可计算出OH，连接OA，利用切线的性质得出用含OP的代数式表示PA，利用垂线段最短求PA的最小值.
13．答案：相离
解析：解：∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为5cm，
∴5＞4，
即d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故答案为：相离．
分析：设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，如果dr，那么直线与圆相离。根据题意知d＞r，所以直线l与⊙O的位置关系是相离。
14．答案：⊙O上；外；内
解析：因为直径是8cm，则半径是4cm。OM=4cm，所以M点在⊙O上；ON=8cm，所以N点在⊙O外；OP=2cm，所以P点在⊙O内。
分析：在点与圆的位置关系判定中，点与圆心的距离大于半径的，该点在圆外；点与圆心的距离等于半径的，该点在圆上；点与圆心的距离大小于半径的，该点在圆内。本题需要依据该普安段方法进行解题。
15．答案：125
解析：连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=70°；
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A= ∠COD=35°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=125°，
故答案为：125.
分析：连接OD，由圆的切线的性质可得∠ODC=90°，由三角形外角的性质可得∠BOD=∠A+∠ADO，而∠A=∠ADO，所以∠ADO的度数可求解，则∠CDA=∠ODC+∠ADO可求解。
16．答案： 或
解析：解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．
设PQ=PA′=r，
∵PQ∥CA′，
∴ = ，
∴ = ，
∴r= ．
如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，
∵△A′BT∽△ABC，
∴ = ，
∴ = ，
∴A′T= ，
∴r= A′T= ．
综上所述，⊙P的半径为 或 ．
分析：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．根据平行线分线段成比例定理得出=根据比例式建立方程即可算出该圆的半径；如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，首先证出△A′BT∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出=，根据比例式即可算出A′T的长，进而求出该圆的半径，综上所述即可得出答案。
17．答案：3＜r≤4或r=2.4
解析：解：如图，∵BC＞AC，
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
根据勾股定理求得AB=5．
分两种情况：
①圆与AB相切时，即r=CD=3×4÷5=2.4；
②点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．
∴3＜r≤4或r=2.4．
分析：根据勾股定理算出AB的长，利用三角形的面积法算出CD的长，然后分①圆与AB相切时，此时r=CD，②点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4，综上所述即可得出答案。
18．答案：解：过点C作CD⊥AB于点D
∵Rt△ABC中，CA=6，CB=8，
∴AB=
∵S△ABC=ABCD=ACBC
∴10CD=6×8
解之：CD=
∴当CD=r=时，⊙C与AB相切
故答案为：r=
解析：过点C作CD⊥AB于点D，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出CD的长，要使⊙C与AB相切，则CD=r，即可解答。
19．答案：解：如图，过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，
∵OM⊥AC，
∴AM=AC=，
在Rt△AMO中，OM=
∴与AC相切的圆的半径为1cm；
∵ON⊥AB，
∴AN=AB=×4=2
在Rt△ANO中，ON=
∵＞1，
∴这个圆与直线AB相离。
解析：过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，利用垂径定理分别求出AM、AN的长，再利用勾股定理分别求出OM、ON的长，根据直线与圆相切，则ON=r，根据d＞r，直线与圆相离，可得出答案。
20．答案：证明：连接OE
∵OE=OA
∴∠1=∠OEA
∵BC是圆O的切线
∴OE⊥BC
∵∠B=90°
∴AB⊥BC
∴OE∥AB
∴∠OEA=∠BAE
∴∠1=∠BAE
∴AE平分∠CAB。
解析：利用切线的性质可得出OE⊥BC，再由已知Rt△ABC，去证明OE∥AB，由平行线的性质及等腰三角形的性质，再证明∠OEA=∠BAE，∠1=∠OEA，就可证得结论。
21．答案：解：根据题意画出图形，
根据题意可知AB=60千米，∠BAF=30°
过B作BD⊥AF于点D，作BE=BF=50千米，分别交AF于点E、F
∵ BD⊥AF，AB=60千米，∠BAF=30°
∴ 风暴离B城市的最近距离为BD=AB×sin30°=30千米，
∵ BD＜50千米
∴ 沿海城市B会受到这次风暴的影响
∵ BE=BF=50千米
∴ 沿海城市B受影响时风暴所走的路程为线段EF
∵ BE=BF=50千米，BD=30千米，BD⊥AF
∴ DF=DE=
∴ EF=2DF=80千米
∵ 风暴速度为每小时20千米
∴ 受影响时间==4小时
∴沿海城市B会受到这次风暴的影响，受影响的时间为4小时。
解析：根据题意画出图形，则AB=60千米，∠BAF=30°，将实际问题转化为直角三角形的问题.过B作BD⊥AF交AF于点D，作BE=BF=50千米，分别交AF于点E、F，要判断B点是否受影响，就要求出点B到风暴路线的最短距离BD，若BD≤50千米，则受影响，否则不受影响，利用解直角三角形求出BD的长，由BD＜50千米可得沿海城市B会受到这次风暴的影响，然后利用勾股定理求出DF的长，就可得出EF的长，继而可求出沿海城市B会受到这次风暴的影响，受影响的时间。
22．答案：解：发现：如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，∴∠POH=30°，∴α=60°﹣30°=30°，∵AD∥BC，∴∠RPO=∠POH=30°，∴∠RKQ=2×30°=60°，∴S扇形KRQ= = ，在Rt△RKE中，RE=RK sin60°= ，∴S△PRK= RE= ，∴S阴影= + ；拓展：如图5， ∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，∴△AON∽△BMN，∴ ，即 ，∴BN= ，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF= ﹣AO=2 ﹣1，∴x的取值范围是0＜x≤2 ﹣1；探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，则∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，OS= =2，在Rt△OSO′中，SO′=OS tan60°=2 ，KO′=2 ﹣ ，在Rt△KGO′中，∠O′=30°，∴KG= KO′= ﹣ ，∴在Rt△OGK中，sinα= = = ，②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα= = = = ；③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，∴α=60°，∴sinα=sin60°= ；综上所述sinα的值为： 或 或
解析：首先设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，根据直角三角形的直角边与斜边的关系得出∠POH=30° ；进而求得α的度数，根据平行线的性质及圆周角定理得出∠RKQ的度数，然后利用S阴影=S扇形KRQ+S△PRK求得答案；
拓展：如图5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN，根据相似三角形对应边成比例即可求得BN，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，根据勾股定理求出BQ=AF的值，则可求出x的取值范围；
探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况：①半圆K与BC相切于点T，②当半圆K与AD相切于T，③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点；分别求解即可求得答案．
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