2023-2024学年北师大版九年级下册同步练习【提升卷】2.4二次函数的运用同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年北师大版九年级下册同步练习【提升卷】2.4二次函数的运用同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 500.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-19 16:55:23 | ||
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文档简介
2023-2024学年北师大版九年级下册同步练习【提升卷】
2.4二次函数的运用 同步练习
班级： 姓名：
一、选择题
1．用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系 B．二次函数关系
C．反比例函数关系 D．正比例函数关系
2．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
A．y= B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
3．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB以相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为（ ）
A．0.4米 B．0.16米 C．0.2米 D．0.24米
4．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣ x2 D．y= x2
5．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y=x2+a B．y=a（x﹣1）2
C．y=a（1﹣x）2 D．y=a（1+x）2
6．一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（ ）
A．3.6 元 B．5 元 C．10 元 D．12 元
7．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）
A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界 D．无法确定
8．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t= ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（ ）
A．10米 B．15米 C．20米 D．25米
10．二次函数y=x2﹣8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．为了备战世界杯，中国足球队在某次集训中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁．若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c（如图），则下列结论：①a＜-；②-＜a＜0； ③a-b+c＞0；④0＜b＜-12a．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
12．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BE＝5㎝ B．cos∠ABE＝
C．当0＜t≤5时，y=t2 D．当t=秒时，△ABE∽△QBP
二、填空题
13．（2021九下·广州开学考）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 与水平距离 之间的关系为 ，由此可知铅球推出的距离是 m．
14．某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= ．
15．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=﹣x2+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为 ．
16．已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是 ．
17．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为 件（用含x的代数式表示）．
三、解答题
18．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
某公园门票每张是80元，据统计每天进园人数为200人，经市场调查发现，如果门票每降低1元出售，则每天进园人数就增多6人，试写出门票价格为x（x≤80）元时，该公园每天的门票收入y（元），y是x的二次函数吗？
用总长为L米的篱笆围成长方形场地，已知长方形的面积为60m2，一边长度x米，求L与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围．
21．一家图文广告公司制作的宣传画板颇受商家欢迎，这种画板的厚度忽略不计，形状均为正方形，边长在10～30dm之间．每张画板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：dm2）成正比例，每张画板的出售价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与画板的大小无关，是固定不变的．浮动价与画板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．
画板的边长（dm） 10 20
出售价（元/张） 160 220
求一张画板的出售价与边长之间满足的函数关系式；
（2）已知出售一张边长为30dm的画板，获得的利润为130元（利润＝出售价－成本价），
①求一张画板的利润与边长之间满足的函数关系式；
②当边长为多少时，出售一张画板所获得的利润最大？最大利润是多少？
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．
（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标．
（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．
答案解析部分
1．答案：B
解析：解：∵矩形周长为10 m，一边长为x m，
∴另一边长为：（10-2x）÷2=5-x （m），
∴S=x（5-x）=-x2+5x.
故答案为：B.
分析：结合矩形对边相等，将另一边长表示出来，再根据面积=长×宽，建立出S与x的关系式，即可判断.
2．答案：C
解析：解：依题意设抛物线解析式y=ax2，
把B（5，﹣4）代入解析式，
得﹣4=a×52，
解得a=﹣ ，
所以y=﹣ x2．
故答案为：C．
分析：由题意可设抛物线解析式y=ax2，因为点B（5，﹣4），所以将点B（5，﹣4）代入解析式计算即可求解。
3．答案：C
解析：由于相同的间距0.2m用5根立柱加固，则AB=0.2×6=1.2，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，由此得到抛物线过（0.6，0.36)、（0，0)、（-0.6，0.36)，据此求出解析式．把x=-0.4代入后求出y，让0.36-y即可．
解：如图，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，
设抛物线解析式为y=ax2，
由题知，图象过B（0.6，0.36)，
代入得：0.36=0.36a
∴a=1，即y=x2．
∵F点横坐标为-0.4，
∴当x=-0.4时，y=0.16，
∴EF=0.36-0.16=0.2米
故选C．
点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题
4．答案：C
解析：解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣ ，
那么y=﹣ x2．
故答案为：C．
分析：观察函数图象可知：抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，图象经过（2，-2），因此设函数解析式为y=ax2，利用待定系数法就可求出结果。
5．答案：D
解析：解：依题意，
得y=a（1+x）2．
故答案为：D．
分析：由两年后的利润y=两年前的利润×（1+增长率）2，代入相关数据，就可得出y与x的函数解析式。
6．答案：B
解析：解：设每件降价x元，每天获得的利润记为W，
根据题意，W=（135﹣x﹣100）（100+4x）
=﹣4x2+40x+3500
=﹣4（x﹣5）2+3600，
∵﹣4＜0，
∴当x=5时，W取得最大值，最大值为3600，
即每件降价5元时，每天获得的利润最大，最大利润为3600元．
故答案为：B．
分析：根据降价后 ：利润w=月销售量每件的利润，建立函数解析式，再求出顶点坐标，根据二次函数的性质即可得出答案。
7．答案：C
解析：解：（1）∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，
∴抛物线为y=a（x﹣6）2+2.6过点，
∵抛物线y=a（x﹣6）2+2.6过点（0，2），
∴2=a（0﹣6）2+2.6，
解得：a=﹣ ，
故y与x的关系式为：y=﹣ （x﹣6）2+2.6，
当x=9时，y=﹣ （x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y=0时，﹣ （x﹣6）2+2.6=0，
解得：x1=6+2 ＞18，x2=6﹣2 （舍去）
故会出界．
故答案为：C．
分析：先根据题意列出y与x的函数解析式，再将x=9代入函数解析式求出y的值，可得出球能过球网，再根据y=0求出对应的自变量的值，再与18 比较大小，即可得出答案。
8．答案：B
解析：解：由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，
∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，y=0，
∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．
∴正确的有②③，
故答案为：B．
分析：根据题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入求出a的值，得出函数解析式，再将函数解析式化成顶点式，即可对各选项一一判断即可。
9．答案：A
解析：设矩形ABCD的边AB为x米，则宽为40-2x，
S=（40-2x）x= -2x2+40x．
要使矩形ABCD面积最大，
则
即x的长为10m．
故选A．
分析：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y= -x2-2x+5，y=3x2-6x+1等用配方法求解比较简单．
10．答案：D
解析：解：y=x2﹣8x+15的图象与x轴交点（3，0）和（5，0），
|MN|=2，
设p点（x，y），
y=x2﹣8x+15，
面积==|MN| |y|，
可得y1=，或者y2=﹣
当y=时，x=；
当y=﹣时，x=
所以共有四个点．
故选D．
分析：由题可求出MN的长，即△MNP的底边已知，要求面积为，那么根据面积即可求出高，只要把相应的y值代入即可解答．
11．答案：B
解析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断。
解：由抛物线的开口向下知a＜0
对称轴为，
∴a、b异号，即b＞0．
与y轴的交点坐标为（0，2.4)，
∴c=2.4．
把点（12，0)代入解析式得，144a+12b+2.4=0
∴144a=-2.4-12b，12b=-2.4-144a，
∴144a+12b=-2.12b+2.4＜144a，
∴144a＜-2.4，12b＜-144a
∴a＜，b＜-12a
∴①④正确，②错误，
∵此题是实际问题，
∴x≥0，
∴③a-b+c＞0错误．
故选B．
点评：解决此类题目要熟练掌握二次函数的图象和性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用。
12．答案：B
解析：根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．
解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故A正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD-ED=5-2=3，
在Rt△ABE中，
∴cos∠ABE==，故B错误；
如图（1）过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB==
∴PF=PBsin∠PBF=t，
∴当0＜t≤5时，y=BQ PF=t t=t2，故C正确；
当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD=-BE-ED=-5-2=，
PQ=CD-PD=4-=，
∵=，=，
∴=，
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故D正确．
由于该题选择错误的，故选：B．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口
13．答案：11
解析：解：根据题意可知 ，
则 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ ，
故铅球推出的距离是11米．
故答案为：11．
分析：根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
14．答案：100（1+x）2
解析：解：∵一月份新产品的研发资金为100元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为100（1+x），
∴三月份的研发资金为y=100（1+x）×（1+x）=100（1+x）2．
故答案为：100（1+x）2．
分析：根据三月份的研发资金为y=一月份的研发资金×（1+增长率）2，就可得出结果。
15．答案：l=﹣2m2+8m+12
解析：解： 把x=m代入抛物线y=﹣x 2+6x中，得AD=﹣m 2+6m
把y=﹣m2+6m代入抛物线y=﹣x2+6x中，得
﹣m2+6m=﹣x2+6x
解得x1=m，x2=6﹣m
∴C的横坐标是6﹣m，故AB=6﹣m﹣m=6﹣2m
∴矩形的周长是l=2（﹣m2+6m）+2（6﹣2m）
即l=﹣2m2+8m+12．
分析：因为矩形的周长l=2（AB+AD），要求周长，只需求得AB和AD的长即可。由矩形的性质和已知条件可知，点A、D的横坐标相同，点C、D的纵坐标相同，所以只需把x=m代入解析式可得点D的纵坐标，把点D的纵坐标代入解析式可求得点C的横坐标，于是线段AB和AD的长可求解，则 l与m的函数解析式 可求解。
16．答案：3
解析：解：如图，
∵抛物线y=x2﹣k的顶点为P，
∴P点的坐标为：（0，﹣k），
∴PO=k，
∵抛物线y=x2﹣k与x轴交于A、B两点，且△ABP是正三角形，
∴OA=OB，∠OPB=30°，
∴tan30°= = ，
∴OB= k，
∴点B的坐标为：（ k，0），点B在抛物线y=x2﹣k上，
∴将B点代入y=x2﹣k，得：
0=（ k）2﹣k，
整理得： ﹣k=0，
解得：k1=0（不合题意舍去），k2=3．
故答案为：3．
分析：先求出抛物线的顶点P的坐标，得出OP的长，再由 △ABP是正三角形，利用解直角三角形求出OB的值，就可得出点B的坐标，然后将点B的坐标代入函数解析式，就可求出k的值。
17．答案：（60+x）
解析：解：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，
∴ ，
解得： ，
∴w=﹣x2+3600，
设销售量为a，则a（60﹣x）=w，
即a（60﹣x）=﹣x2+3600，
解得：a=60+x ，
故答案为：60+x．
分析：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，可求出w与x的关系式，设销售量为a，则每件工艺品的利润 为（60﹣x）元，根据总利润=每件工艺品的利润×销售量，列式整理即可求出。
18．答案：解：由题意得：y=x× =﹣ x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．
解析：由长方形的性质可将AB表示成AB=
，则长方形的面积=长
× 宽=AB
× BC；易得
自变量x的取值范围是0＜x≤25．
19．答案：解：根据题意可得：
y=x[200+6（80﹣x）]
=﹣6x2+680x．
解析： 该公园每天的门票收入y=门票的单价×每天进园的人数，列出函数解析式即可。
20．答案：解：∵用总长为L米的篱笆围成长方形场地，一边长度x米，
∴另一边长为：（ ﹣x）m，
故x（ ﹣x）=60，
则L= +2x，（0＜x＜ ）．
解析：根据长方形的周长表示出长方形的另一边，再利用长方形的面积=长×宽，就可得出L与x的函数解析式，然后求出x的取值范围。
21．答案：（1）设正方形画板的边长为xdm，出售价为每张y元，且y＝kx＋b（k≠0） （1分）
由表格中的数据可得，，解得
从而一张画板的出售价y与边长x之间满足函数关系式y＝6x＋100
（2）设每张画板的成本价为ax2，利润W＝6x＋100－ax2
当x＝30时，W＝130，180＋100－900a＝130，得a＝
一张画板的利润W与边长x之间满足函数关系式W＝－x2＋6x＋100
由W＝－16(x－18)2＋154，知当x＝18时，W有最大值，W最大＝154
因此当正方形画板的边长为18dm时，可获最大利润154元.
解析：（1）每张画板的成本价与它的面积成正比例，可设其解析式为y成本价=ax2，每张画板的出售价由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与画板的大小无关，是固定不变的．浮动价与画板的边长成正比例．可设y出售价=kx+b.把表中数据代入即可求出结论；
（2）由y利润=y出售价-y成本价，可得出二次函数，求出其最大值即可.
22．答案：解：（1）将B、C点代入函数解析式，得
，
解得，
这个二次函数y=x2+bx+c的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）四边形POP′C为菱形，得
OC与PP′互相垂直平分，得
yP=，即x2﹣2x﹣3=﹣，
解得x1=，x2=（舍），P（，﹣）；
（3）∠PBC＜90°，
①如图1
当∠PCB=90°时，过P作PH⊥y轴于点H，
BC的解析式为y=x﹣3，CP的解析式为y=﹣x﹣3，
设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），
将点P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，
解得m1=0（舍），m2=1，即P（1，﹣4）；
AO=1，OC=3，CB==3，CP==，
此时=3，△AOC∽△PCB；
②如图2
，
当∠BPC=90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D，
BC的解析式为y=x﹣3，CP的解析式为y=x﹣3，
设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
由Kcp Kpb=﹣1，得m=或（舍去）
此时，==≠=3，
以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似；
综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）．
解析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）分类讨论：①当∠PCB=90°，根据互相垂直的两条直线的一次项系数互为负倒数，可得BP的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；根据勾股定理，可得BC，CP的长，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；
②当∠BPC=90°时，根据相似三角形的性质，可得P点的坐标，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．
将来的某一天，你会感谢曾经努力的自己！
2.4二次函数的运用 同步练习
班级： 姓名：
一、选择题
1．用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系 B．二次函数关系
C．反比例函数关系 D．正比例函数关系
2．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
A．y= B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
3．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB以相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为（ ）
A．0.4米 B．0.16米 C．0.2米 D．0.24米
4．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣ x2 D．y= x2
5．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y=x2+a B．y=a（x﹣1）2
C．y=a（1﹣x）2 D．y=a（1+x）2
6．一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（ ）
A．3.6 元 B．5 元 C．10 元 D．12 元
7．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）
A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界 D．无法确定
8．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t= ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（ ）
A．10米 B．15米 C．20米 D．25米
10．二次函数y=x2﹣8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．为了备战世界杯，中国足球队在某次集训中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁．若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c（如图），则下列结论：①a＜-；②-＜a＜0； ③a-b+c＞0；④0＜b＜-12a．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
12．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BE＝5㎝ B．cos∠ABE＝
C．当0＜t≤5时，y=t2 D．当t=秒时，△ABE∽△QBP
二、填空题
13．（2021九下·广州开学考）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 与水平距离 之间的关系为 ，由此可知铅球推出的距离是 m．
14．某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= ．
15．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=﹣x2+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为 ．
16．已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是 ．
17．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为 件（用含x的代数式表示）．
三、解答题
18．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
某公园门票每张是80元，据统计每天进园人数为200人，经市场调查发现，如果门票每降低1元出售，则每天进园人数就增多6人，试写出门票价格为x（x≤80）元时，该公园每天的门票收入y（元），y是x的二次函数吗？
用总长为L米的篱笆围成长方形场地，已知长方形的面积为60m2，一边长度x米，求L与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围．
21．一家图文广告公司制作的宣传画板颇受商家欢迎，这种画板的厚度忽略不计，形状均为正方形，边长在10～30dm之间．每张画板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：dm2）成正比例，每张画板的出售价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与画板的大小无关，是固定不变的．浮动价与画板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．
画板的边长（dm） 10 20
出售价（元/张） 160 220
求一张画板的出售价与边长之间满足的函数关系式；
（2）已知出售一张边长为30dm的画板，获得的利润为130元（利润＝出售价－成本价），
①求一张画板的利润与边长之间满足的函数关系式；
②当边长为多少时，出售一张画板所获得的利润最大？最大利润是多少？
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．
（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标．
（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．
答案解析部分
1．答案：B
解析：解：∵矩形周长为10 m，一边长为x m，
∴另一边长为：（10-2x）÷2=5-x （m），
∴S=x（5-x）=-x2+5x.
故答案为：B.
分析：结合矩形对边相等，将另一边长表示出来，再根据面积=长×宽，建立出S与x的关系式，即可判断.
2．答案：C
解析：解：依题意设抛物线解析式y=ax2，
把B（5，﹣4）代入解析式，
得﹣4=a×52，
解得a=﹣ ，
所以y=﹣ x2．
故答案为：C．
分析：由题意可设抛物线解析式y=ax2，因为点B（5，﹣4），所以将点B（5，﹣4）代入解析式计算即可求解。
3．答案：C
解析：由于相同的间距0.2m用5根立柱加固，则AB=0.2×6=1.2，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，由此得到抛物线过（0.6，0.36)、（0，0)、（-0.6，0.36)，据此求出解析式．把x=-0.4代入后求出y，让0.36-y即可．
解：如图，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，
设抛物线解析式为y=ax2，
由题知，图象过B（0.6，0.36)，
代入得：0.36=0.36a
∴a=1，即y=x2．
∵F点横坐标为-0.4，
∴当x=-0.4时，y=0.16，
∴EF=0.36-0.16=0.2米
故选C．
点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题
4．答案：C
解析：解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣ ，
那么y=﹣ x2．
故答案为：C．
分析：观察函数图象可知：抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，图象经过（2，-2），因此设函数解析式为y=ax2，利用待定系数法就可求出结果。
5．答案：D
解析：解：依题意，
得y=a（1+x）2．
故答案为：D．
分析：由两年后的利润y=两年前的利润×（1+增长率）2，代入相关数据，就可得出y与x的函数解析式。
6．答案：B
解析：解：设每件降价x元，每天获得的利润记为W，
根据题意，W=（135﹣x﹣100）（100+4x）
=﹣4x2+40x+3500
=﹣4（x﹣5）2+3600，
∵﹣4＜0，
∴当x=5时，W取得最大值，最大值为3600，
即每件降价5元时，每天获得的利润最大，最大利润为3600元．
故答案为：B．
分析：根据降价后 ：利润w=月销售量每件的利润，建立函数解析式，再求出顶点坐标，根据二次函数的性质即可得出答案。
7．答案：C
解析：解：（1）∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，
∴抛物线为y=a（x﹣6）2+2.6过点，
∵抛物线y=a（x﹣6）2+2.6过点（0，2），
∴2=a（0﹣6）2+2.6，
解得：a=﹣ ，
故y与x的关系式为：y=﹣ （x﹣6）2+2.6，
当x=9时，y=﹣ （x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y=0时，﹣ （x﹣6）2+2.6=0，
解得：x1=6+2 ＞18，x2=6﹣2 （舍去）
故会出界．
故答案为：C．
分析：先根据题意列出y与x的函数解析式，再将x=9代入函数解析式求出y的值，可得出球能过球网，再根据y=0求出对应的自变量的值，再与18 比较大小，即可得出答案。
8．答案：B
解析：解：由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，
∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，y=0，
∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．
∴正确的有②③，
故答案为：B．
分析：根据题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入求出a的值，得出函数解析式，再将函数解析式化成顶点式，即可对各选项一一判断即可。
9．答案：A
解析：设矩形ABCD的边AB为x米，则宽为40-2x，
S=（40-2x）x= -2x2+40x．
要使矩形ABCD面积最大，
则
即x的长为10m．
故选A．
分析：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y= -x2-2x+5，y=3x2-6x+1等用配方法求解比较简单．
10．答案：D
解析：解：y=x2﹣8x+15的图象与x轴交点（3，0）和（5，0），
|MN|=2，
设p点（x，y），
y=x2﹣8x+15，
面积==|MN| |y|，
可得y1=，或者y2=﹣
当y=时，x=；
当y=﹣时，x=
所以共有四个点．
故选D．
分析：由题可求出MN的长，即△MNP的底边已知，要求面积为，那么根据面积即可求出高，只要把相应的y值代入即可解答．
11．答案：B
解析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断。
解：由抛物线的开口向下知a＜0
对称轴为，
∴a、b异号，即b＞0．
与y轴的交点坐标为（0，2.4)，
∴c=2.4．
把点（12，0)代入解析式得，144a+12b+2.4=0
∴144a=-2.4-12b，12b=-2.4-144a，
∴144a+12b=-2.12b+2.4＜144a，
∴144a＜-2.4，12b＜-144a
∴a＜，b＜-12a
∴①④正确，②错误，
∵此题是实际问题，
∴x≥0，
∴③a-b+c＞0错误．
故选B．
点评：解决此类题目要熟练掌握二次函数的图象和性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用。
12．答案：B
解析：根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．
解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故A正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD-ED=5-2=3，
在Rt△ABE中，
∴cos∠ABE==，故B错误；
如图（1）过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB==
∴PF=PBsin∠PBF=t，
∴当0＜t≤5时，y=BQ PF=t t=t2，故C正确；
当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD=-BE-ED=-5-2=，
PQ=CD-PD=4-=，
∵=，=，
∴=，
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故D正确．
由于该题选择错误的，故选：B．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口
13．答案：11
解析：解：根据题意可知 ，
则 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ ，
故铅球推出的距离是11米．
故答案为：11．
分析：根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
14．答案：100（1+x）2
解析：解：∵一月份新产品的研发资金为100元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为100（1+x），
∴三月份的研发资金为y=100（1+x）×（1+x）=100（1+x）2．
故答案为：100（1+x）2．
分析：根据三月份的研发资金为y=一月份的研发资金×（1+增长率）2，就可得出结果。
15．答案：l=﹣2m2+8m+12
解析：解： 把x=m代入抛物线y=﹣x 2+6x中，得AD=﹣m 2+6m
把y=﹣m2+6m代入抛物线y=﹣x2+6x中，得
﹣m2+6m=﹣x2+6x
解得x1=m，x2=6﹣m
∴C的横坐标是6﹣m，故AB=6﹣m﹣m=6﹣2m
∴矩形的周长是l=2（﹣m2+6m）+2（6﹣2m）
即l=﹣2m2+8m+12．
分析：因为矩形的周长l=2（AB+AD），要求周长，只需求得AB和AD的长即可。由矩形的性质和已知条件可知，点A、D的横坐标相同，点C、D的纵坐标相同，所以只需把x=m代入解析式可得点D的纵坐标，把点D的纵坐标代入解析式可求得点C的横坐标，于是线段AB和AD的长可求解，则 l与m的函数解析式 可求解。
16．答案：3
解析：解：如图，
∵抛物线y=x2﹣k的顶点为P，
∴P点的坐标为：（0，﹣k），
∴PO=k，
∵抛物线y=x2﹣k与x轴交于A、B两点，且△ABP是正三角形，
∴OA=OB，∠OPB=30°，
∴tan30°= = ，
∴OB= k，
∴点B的坐标为：（ k，0），点B在抛物线y=x2﹣k上，
∴将B点代入y=x2﹣k，得：
0=（ k）2﹣k，
整理得： ﹣k=0，
解得：k1=0（不合题意舍去），k2=3．
故答案为：3．
分析：先求出抛物线的顶点P的坐标，得出OP的长，再由 △ABP是正三角形，利用解直角三角形求出OB的值，就可得出点B的坐标，然后将点B的坐标代入函数解析式，就可求出k的值。
17．答案：（60+x）
解析：解：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，
∴ ，
解得： ，
∴w=﹣x2+3600，
设销售量为a，则a（60﹣x）=w，
即a（60﹣x）=﹣x2+3600，
解得：a=60+x ，
故答案为：60+x．
分析：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，可求出w与x的关系式，设销售量为a，则每件工艺品的利润 为（60﹣x）元，根据总利润=每件工艺品的利润×销售量，列式整理即可求出。
18．答案：解：由题意得：y=x× =﹣ x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．
解析：由长方形的性质可将AB表示成AB=
，则长方形的面积=长
× 宽=AB
× BC；易得
自变量x的取值范围是0＜x≤25．
19．答案：解：根据题意可得：
y=x[200+6（80﹣x）]
=﹣6x2+680x．
解析： 该公园每天的门票收入y=门票的单价×每天进园的人数，列出函数解析式即可。
20．答案：解：∵用总长为L米的篱笆围成长方形场地，一边长度x米，
∴另一边长为：（ ﹣x）m，
故x（ ﹣x）=60，
则L= +2x，（0＜x＜ ）．
解析：根据长方形的周长表示出长方形的另一边，再利用长方形的面积=长×宽，就可得出L与x的函数解析式，然后求出x的取值范围。
21．答案：（1）设正方形画板的边长为xdm，出售价为每张y元，且y＝kx＋b（k≠0） （1分）
由表格中的数据可得，，解得
从而一张画板的出售价y与边长x之间满足函数关系式y＝6x＋100
（2）设每张画板的成本价为ax2，利润W＝6x＋100－ax2
当x＝30时，W＝130，180＋100－900a＝130，得a＝
一张画板的利润W与边长x之间满足函数关系式W＝－x2＋6x＋100
由W＝－16(x－18)2＋154，知当x＝18时，W有最大值，W最大＝154
因此当正方形画板的边长为18dm时，可获最大利润154元.
解析：（1）每张画板的成本价与它的面积成正比例，可设其解析式为y成本价=ax2，每张画板的出售价由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与画板的大小无关，是固定不变的．浮动价与画板的边长成正比例．可设y出售价=kx+b.把表中数据代入即可求出结论；
（2）由y利润=y出售价-y成本价，可得出二次函数，求出其最大值即可.
22．答案：解：（1）将B、C点代入函数解析式，得
，
解得，
这个二次函数y=x2+bx+c的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）四边形POP′C为菱形，得
OC与PP′互相垂直平分，得
yP=，即x2﹣2x﹣3=﹣，
解得x1=，x2=（舍），P（，﹣）；
（3）∠PBC＜90°，
①如图1
当∠PCB=90°时，过P作PH⊥y轴于点H，
BC的解析式为y=x﹣3，CP的解析式为y=﹣x﹣3，
设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），
将点P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，
解得m1=0（舍），m2=1，即P（1，﹣4）；
AO=1，OC=3，CB==3，CP==，
此时=3，△AOC∽△PCB；
②如图2
，
当∠BPC=90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D，
BC的解析式为y=x﹣3，CP的解析式为y=x﹣3，
设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
由Kcp Kpb=﹣1，得m=或（舍去）
此时，==≠=3，
以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似；
综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）．
解析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）分类讨论：①当∠PCB=90°，根据互相垂直的两条直线的一次项系数互为负倒数，可得BP的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；根据勾股定理，可得BC，CP的长，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；
②当∠BPC=90°时，根据相似三角形的性质，可得P点的坐标，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．
将来的某一天，你会感谢曾经努力的自己！