2023-2024学年北师大版九年级下册同步练习【提升卷】3.5确定圆的条件 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年北师大版九年级下册同步练习【提升卷】3.5确定圆的条件 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 504.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-19 16:58:28 | ||
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文档简介
2023-2024学年北师大版九年级下册同步练习【提升卷】
3.5确定圆的条件 同步练习
姓名: 班级:
一、选择题
1．若三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是（ ）.
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
2．下列给定的三点能确定一个圆的是（ ）
A．线段AB的中点C及两个端点 B．角的顶点及角的边上的两点
C．三角形的三个顶点 D．矩形的对角线交点及两个顶点
3．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则（ ）
A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上
B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内
C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外
D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内
4．下列说法正确的是（ ）
A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点
B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上
C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点
D．过四点A、B、C、D的圆不存在
5．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出（ ）
A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆
6．正三角形的外接圆的半径和高的比为（ ）
A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶3
7．已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25
8．下列语句中，不正确的个数（ ）
①三点确定一个圆
②平分弦的直径垂直于弦
③相等的圆心角所对的弧相等
④相等弧所对的弦相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连结OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
10．直角三角形两直角边长分别为 和1，那么它的外接圆的直径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
12．如图的矩形ABCD中，E为 的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与 、 相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
（甲） 作∠DEC的角平分线L，作 的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
（乙） 连接 、 ，两线段交于一点O，则O即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
二、填空题
13．要确定一个圆，需要知道 和 ．
14．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有 个．
15．过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多为 个．
16．如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ ABC的外接圆半径是 ．
17．我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°，点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3，那么△ABC和△ACD的外心距是 ．
三、解答题
18．如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A（2，3），B（﹣3，﹣7），C（5，11）是否可以确定一个圆．
20．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，试说明点B，C，D在以O为圆心、AO的长为半径的⊙O上．
21．如图，O，H分别是锐角△ABC的外心和垂心，D是BC边上的中点．由H向∠A及其外角平分线作垂线，垂足分别是E，F．求证：D，E，F三点共线．
22．如图，O是等边△ABC的外心，BO的延长线和⊙O相交于点D，连接DC，DA，OA，OC．
（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若AB=，求阴影部分的面积．
答案解析部分
1．答案：B
解析：解：∵根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，
∴该三角形是直角三角形．
故答案为：B.
分析：根据直径所对的圆周角是直角，则该三角形是直角三角形．
2．答案：A
解析：解：由圆的定义可知线段AB的中点C为圆心，CA或CB长为半径即可画出一个圆.
故答案为：A.
分析：圆的定义：.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.由此即可得出答案.
3．答案：D
解析：解：∵AB＝2，BC＝3，AC＝5，
∴AB+BC=AC，
∴可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内，
故答案为：D.
分析：由已知可知AB+BC=AC，从而可知可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内.
4．答案：B
解析：解：A、过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点（A点外），故本选项错误，
B、过两点A、B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线是，故正确，
C、错误，A、B、C三点共线时，不符合题意．
D、过四点A、B、C、D的圆可以存在，故本选项错误，
故选：B．
分析：利用圆的知识判定即可．
5．答案：C
解析：解：根据题意知，A，B，C，D，E五个点的组合有：
A，B，C； A，C，D； A，C，E； A，B，E； A，B，D；
A，D，E； B，C，E；B，D，E；B，C，D； C，D，E；
故最多能作出10个圆．
故选：C．
分析：根据题意判断出5点构成的三角形个数，即可得出过三点作圆的个数．
6．答案：B
解析：解：连结OA，OB，延长AO交BC于D，
∵⊙O是正三角形△ABC的外接圆，
∴OA=OB，AD⊥AB，∠OBD=30°，
∴OD=OB，
∴AD=AO+OD=OB+OB=OB，
∴正三角形的外接圆的半径和高的比为：OB：OB=2：3.
故答案为：B.
分析：连结OA，OB，延长AO交BC于D，根据三角形外接圆和正三角形的性质可知OD=OB，即高AD=OB，从而可得正三角形外接圆的半径和高的比.
7．答案：C
解析：解：取BC中点D，连结AD，OB，
设BO=AO=r，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴AD⊥BC，BD=3，
∴AD=4，
在Rt△BOD中，
∴BO2=OD2+BD2，
即r2=32+（4-r）2，
∴r=3.125.
故答案为：C.
分析：取BC中点D，连结AD，OB，设BO=AO=r，根据等腰三角形性质可知AD=4，AD⊥BC，在Rt△BOD中，根据勾股定理即可求出半径.
8．答案：C
解析：解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①三点确定一个圆错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②平分弦的直径垂直于弦错误；
同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故③相等的圆心角所对的弧相等错误；
相等弧一定在同圆或等圆中，故④相等弧所对的弦相等正确．
故选C．
分析：利用确定圆的条件、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．
9．答案：B
解析：解∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
∵∠BAC= ∠BOC，
∴∠BOC=120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴OB平分∠BOC，
∴∠DOC= ∠BOC=60°，
∴∠OCD=90°﹣60°=30°，
在Rt△DOC中，OC=2，
∴OD=1，
∴DC= ，
∴BC=2DC=2 ，
故选B．
分析：作弦心距OD，先根据已知求出∠BOC=120°，由等腰三角形三线合一的性质得：∠DOC= ∠BOC=60°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可求得OD的长，根据勾股定理得DC的长，最后利用垂径定理得出结论．
10．答案：B
解析：解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长= =2，
∴它的外接圆的直径是2，
故选：B．
分析：根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，根据直角三角形的外心的性质解答即可．
11．答案：B
解析：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．
故选：B．
分析：要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．
12．答案：A
解析：解：甲，∵ = ，
∴△DEC为等腰三角形，
∴L为 之中垂线，
∴O为两中垂线之交点，
即O为△CDE的外心，
∴O为此圆圆心．
乙，∵∠ADC=90°，∠DCB=90°，
∴ 、为此圆直径，
∴ 与 的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．
故选：A．
分析：根据线段垂直平分线的性质判断甲，根据90°的圆周角所对的弦是直径判断乙．
13．答案：圆心；半径
解析：解：确定一个圆的条件是圆心和半径．
分析：已知圆心和半径所作的圆就是唯一的．
14．答案：两
解析：解：这样的圆能画2个．如图，作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆，
则⊙O1和⊙O2为所求圆．
故答案为：两．
分析：先作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆即可．
15．答案：4
解析：解：过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多4个．
故答案为4．
分析：根据确定圆的条件，四边形的任意三个顶点都不共圆，则过四边形的任意三个顶点最多可画4个圆．
16．答案：
解析：解：如图：分别作边AB，BC的垂直平分线交于点O，点O即为△ABC外接圆的圆心，OA即为半径，
∴OA=.
故答案为：.
分析：三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，画图确定外心的位置，根据勾股定理求得圆的半径.
17．答案：3
解析：解：∵∠ACB=∠ACD=90°，
∴Rt△ABC和Rt△ACD分别是AB，AD的中点，
∴两三角形的外心距为△ABD的中位线，即为BD=3．
故答案为：3．
分析：利用直角三角形的性质得出两三角形的外心距为△ABD的中位线，即可得出答案．
18．答案：证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
解析：求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明E到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．
19．答案：解：设经过A，B两点的直线解析式为y=kx+b，
由A（2，3），B（﹣3，﹣7），
得 ，
解得 ．
∴经过A，B两点的直线解析式为y=2x﹣1；
当x=5时y=2x﹣1=2×5﹣1=9≠11，
所以点C（5，11）不在直线AB上，
即A，B，C三点不在同一直线上，
因为“两点确定一条直线”，
所以A，B，C三点可以确定一个圆
解析：先设出过A，B两点函数的解析式，把A（2，3），B（﹣3，﹣7）代入即可求出其解析式，再把C（5，11）代入解析式看是否与A，B两点在同一条直线上即可．
20．答案：解：由矩形的性质得OB=OC=0D=OA，
故点B、C、D都在以O为圆心，OA为半径的圆上
解析：根据矩形的性质可知，矩形的对角线相等且平分，再根据确定圆的条件即可证明．
21．答案：证明：如图，连接OA、OD，并延长OD交⊙O于M，
则OD⊥BC， ，
∴A、E、M三点共线，
又AE、AF是∠A及其外角平分线，
∴AE⊥AF，
∵HE⊥AE，HF⊥AF，
∴四边形AEHF为平行四边形，
∴AH与EF互相平分，设其交点为G，
于是，AG= AH= EF=EG，
∵OA=OM，OD∥AH，
∴∠OAM=∠OMA=∠MAG=∠GAE，
∴EG∥OA ①
又O、H分别是△ABC的外心和垂心，且OD⊥BC，
∴OD= AH=AG，
∴四边形AODG为平行四边形，
∴DG∥OA，②
由①②可知，D、E、G三点共线，
而F在EG上，
∴D、E、F三点共线．
解析：根据AE平分∠BAC，M为 的中点，可证A、E、M三点共线，根据已知证明EG∥OA，DG∥OA，可证D、E、G三点共线，而F在EG上，故可证D、E、F三点共线．
22．答案：解：（1）证明：如图1所示：∵O是等边△ABC的外心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴AD=CD，∵四边形OADC为平行四边形，∴四边形OADC为菱形，∴BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，而∠1=∠5，∴OA=OC，∠2=∠3，∴OB=OC，∴点O为△ABC的外心，∴△ABC为等边三角形，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，∵四边形OADC为平行四边形，∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA，∴AD=OB，在△BOC和△CDA中，，∴△BOC≌△CDA（SAS）；（2）解：作OH⊥AB于H，如图2所示，∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠BOH=（180°﹣120°）=30°，∵OH⊥AB，∴BH=AH=AB=，OH=BH=1，OB=2OH=2，∴S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣××1=π﹣．
解析：（1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O为△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；
（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=AB=，得出OH= BH=1，OB=2OH=2，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB进行计算即可．
将来的某一天，你会感谢曾经努力的自己！
3.5确定圆的条件 同步练习
姓名: 班级:
一、选择题
1．若三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是（ ）.
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
2．下列给定的三点能确定一个圆的是（ ）
A．线段AB的中点C及两个端点 B．角的顶点及角的边上的两点
C．三角形的三个顶点 D．矩形的对角线交点及两个顶点
3．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则（ ）
A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上
B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内
C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外
D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内
4．下列说法正确的是（ ）
A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点
B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上
C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点
D．过四点A、B、C、D的圆不存在
5．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出（ ）
A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆
6．正三角形的外接圆的半径和高的比为（ ）
A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶3
7．已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25
8．下列语句中，不正确的个数（ ）
①三点确定一个圆
②平分弦的直径垂直于弦
③相等的圆心角所对的弧相等
④相等弧所对的弦相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连结OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
10．直角三角形两直角边长分别为 和1，那么它的外接圆的直径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
12．如图的矩形ABCD中，E为 的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与 、 相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
（甲） 作∠DEC的角平分线L，作 的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
（乙） 连接 、 ，两线段交于一点O，则O即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
二、填空题
13．要确定一个圆，需要知道 和 ．
14．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有 个．
15．过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多为 个．
16．如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ ABC的外接圆半径是 ．
17．我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°，点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3，那么△ABC和△ACD的外心距是 ．
三、解答题
18．如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A（2，3），B（﹣3，﹣7），C（5，11）是否可以确定一个圆．
20．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，试说明点B，C，D在以O为圆心、AO的长为半径的⊙O上．
21．如图，O，H分别是锐角△ABC的外心和垂心，D是BC边上的中点．由H向∠A及其外角平分线作垂线，垂足分别是E，F．求证：D，E，F三点共线．
22．如图，O是等边△ABC的外心，BO的延长线和⊙O相交于点D，连接DC，DA，OA，OC．
（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若AB=，求阴影部分的面积．
答案解析部分
1．答案：B
解析：解：∵根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，
∴该三角形是直角三角形．
故答案为：B.
分析：根据直径所对的圆周角是直角，则该三角形是直角三角形．
2．答案：A
解析：解：由圆的定义可知线段AB的中点C为圆心，CA或CB长为半径即可画出一个圆.
故答案为：A.
分析：圆的定义：.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.由此即可得出答案.
3．答案：D
解析：解：∵AB＝2，BC＝3，AC＝5，
∴AB+BC=AC，
∴可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内，
故答案为：D.
分析：由已知可知AB+BC=AC，从而可知可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内.
4．答案：B
解析：解：A、过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点（A点外），故本选项错误，
B、过两点A、B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线是，故正确，
C、错误，A、B、C三点共线时，不符合题意．
D、过四点A、B、C、D的圆可以存在，故本选项错误，
故选：B．
分析：利用圆的知识判定即可．
5．答案：C
解析：解：根据题意知，A，B，C，D，E五个点的组合有：
A，B，C； A，C，D； A，C，E； A，B，E； A，B，D；
A，D，E； B，C，E；B，D，E；B，C，D； C，D，E；
故最多能作出10个圆．
故选：C．
分析：根据题意判断出5点构成的三角形个数，即可得出过三点作圆的个数．
6．答案：B
解析：解：连结OA，OB，延长AO交BC于D，
∵⊙O是正三角形△ABC的外接圆，
∴OA=OB，AD⊥AB，∠OBD=30°，
∴OD=OB，
∴AD=AO+OD=OB+OB=OB，
∴正三角形的外接圆的半径和高的比为：OB：OB=2：3.
故答案为：B.
分析：连结OA，OB，延长AO交BC于D，根据三角形外接圆和正三角形的性质可知OD=OB，即高AD=OB，从而可得正三角形外接圆的半径和高的比.
7．答案：C
解析：解：取BC中点D，连结AD，OB，
设BO=AO=r，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴AD⊥BC，BD=3，
∴AD=4，
在Rt△BOD中，
∴BO2=OD2+BD2，
即r2=32+（4-r）2，
∴r=3.125.
故答案为：C.
分析：取BC中点D，连结AD，OB，设BO=AO=r，根据等腰三角形性质可知AD=4，AD⊥BC，在Rt△BOD中，根据勾股定理即可求出半径.
8．答案：C
解析：解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①三点确定一个圆错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②平分弦的直径垂直于弦错误；
同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故③相等的圆心角所对的弧相等错误；
相等弧一定在同圆或等圆中，故④相等弧所对的弦相等正确．
故选C．
分析：利用确定圆的条件、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．
9．答案：B
解析：解∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
∵∠BAC= ∠BOC，
∴∠BOC=120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴OB平分∠BOC，
∴∠DOC= ∠BOC=60°，
∴∠OCD=90°﹣60°=30°，
在Rt△DOC中，OC=2，
∴OD=1，
∴DC= ，
∴BC=2DC=2 ，
故选B．
分析：作弦心距OD，先根据已知求出∠BOC=120°，由等腰三角形三线合一的性质得：∠DOC= ∠BOC=60°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可求得OD的长，根据勾股定理得DC的长，最后利用垂径定理得出结论．
10．答案：B
解析：解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长= =2，
∴它的外接圆的直径是2，
故选：B．
分析：根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，根据直角三角形的外心的性质解答即可．
11．答案：B
解析：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．
故选：B．
分析：要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．
12．答案：A
解析：解：甲，∵ = ，
∴△DEC为等腰三角形，
∴L为 之中垂线，
∴O为两中垂线之交点，
即O为△CDE的外心，
∴O为此圆圆心．
乙，∵∠ADC=90°，∠DCB=90°，
∴ 、为此圆直径，
∴ 与 的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．
故选：A．
分析：根据线段垂直平分线的性质判断甲，根据90°的圆周角所对的弦是直径判断乙．
13．答案：圆心；半径
解析：解：确定一个圆的条件是圆心和半径．
分析：已知圆心和半径所作的圆就是唯一的．
14．答案：两
解析：解：这样的圆能画2个．如图，作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆，
则⊙O1和⊙O2为所求圆．
故答案为：两．
分析：先作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆即可．
15．答案：4
解析：解：过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多4个．
故答案为4．
分析：根据确定圆的条件，四边形的任意三个顶点都不共圆，则过四边形的任意三个顶点最多可画4个圆．
16．答案：
解析：解：如图：分别作边AB，BC的垂直平分线交于点O，点O即为△ABC外接圆的圆心，OA即为半径，
∴OA=.
故答案为：.
分析：三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，画图确定外心的位置，根据勾股定理求得圆的半径.
17．答案：3
解析：解：∵∠ACB=∠ACD=90°，
∴Rt△ABC和Rt△ACD分别是AB，AD的中点，
∴两三角形的外心距为△ABD的中位线，即为BD=3．
故答案为：3．
分析：利用直角三角形的性质得出两三角形的外心距为△ABD的中位线，即可得出答案．
18．答案：证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
解析：求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明E到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．
19．答案：解：设经过A，B两点的直线解析式为y=kx+b，
由A（2，3），B（﹣3，﹣7），
得 ，
解得 ．
∴经过A，B两点的直线解析式为y=2x﹣1；
当x=5时y=2x﹣1=2×5﹣1=9≠11，
所以点C（5，11）不在直线AB上，
即A，B，C三点不在同一直线上，
因为“两点确定一条直线”，
所以A，B，C三点可以确定一个圆
解析：先设出过A，B两点函数的解析式，把A（2，3），B（﹣3，﹣7）代入即可求出其解析式，再把C（5，11）代入解析式看是否与A，B两点在同一条直线上即可．
20．答案：解：由矩形的性质得OB=OC=0D=OA，
故点B、C、D都在以O为圆心，OA为半径的圆上
解析：根据矩形的性质可知，矩形的对角线相等且平分，再根据确定圆的条件即可证明．
21．答案：证明：如图，连接OA、OD，并延长OD交⊙O于M，
则OD⊥BC， ，
∴A、E、M三点共线，
又AE、AF是∠A及其外角平分线，
∴AE⊥AF，
∵HE⊥AE，HF⊥AF，
∴四边形AEHF为平行四边形，
∴AH与EF互相平分，设其交点为G，
于是，AG= AH= EF=EG，
∵OA=OM，OD∥AH，
∴∠OAM=∠OMA=∠MAG=∠GAE，
∴EG∥OA ①
又O、H分别是△ABC的外心和垂心，且OD⊥BC，
∴OD= AH=AG，
∴四边形AODG为平行四边形，
∴DG∥OA，②
由①②可知，D、E、G三点共线，
而F在EG上，
∴D、E、F三点共线．
解析：根据AE平分∠BAC，M为 的中点，可证A、E、M三点共线，根据已知证明EG∥OA，DG∥OA，可证D、E、G三点共线，而F在EG上，故可证D、E、F三点共线．
22．答案：解：（1）证明：如图1所示：∵O是等边△ABC的外心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴AD=CD，∵四边形OADC为平行四边形，∴四边形OADC为菱形，∴BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，而∠1=∠5，∴OA=OC，∠2=∠3，∴OB=OC，∴点O为△ABC的外心，∴△ABC为等边三角形，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，∵四边形OADC为平行四边形，∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA，∴AD=OB，在△BOC和△CDA中，，∴△BOC≌△CDA（SAS）；（2）解：作OH⊥AB于H，如图2所示，∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠BOH=（180°﹣120°）=30°，∵OH⊥AB，∴BH=AH=AB=，OH=BH=1，OB=2OH=2，∴S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣××1=π﹣．
解析：（1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O为△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；
（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=AB=，得出OH= BH=1，OB=2OH=2，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB进行计算即可．
将来的某一天，你会感谢曾经努力的自己！