2023-2024学年江西省萍乡市高二上学期期末考试数学试题(含解析）

2023-2024学年江西省萍乡市高二上学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.根据下表数据，通过最小二乘法求得关于的线性回归方程为：，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则( )
A. B. C. D.
3.焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为( )
A. B. C. D.
4.某一地区患有癌症的人占，患者对一种试验反应是阳性的概率为，正常人对这种试验反应是阳性的概率为现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为( )
A. B. C. D.
5.有种不同的颜色给下图中的个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用种颜色，则不同的涂色方法种数为( )
A. B. C. D.
6.加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”如图已知椭圆，是直线上一点，过作的两条切线，切点分别为、，连接是坐标原点，当为直角时，直线的斜率( )
A. B. C. D.
7.以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成的二面角若，，其中，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.抛物线的焦点为，准线为，过的直线与相交于，两点，且满足，在上的射影为，若的面积为，则的长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 已知随机变量，则
B. 若随机事件，满足：，，，则事件与相互独立
C. 若事件与相互独立，且，则
D. 若残差平方和越大，则回归模型对一组数据，，，的拟合效果越好
10.曲线，直线与，下列结论错误的是( )
A. 曲线的图象一定关于对称
B. 当时，与间的距离为
C. 当时，
D. 若与曲线有个交点，则的取值范围是
11.如图，正方体边长为，是线段的中点，是线段上的动点，下列结论正确的是( )
A.
B. 三棱锥的体积为定值
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 直线与直线所成角的余弦值的取值范围为
12.双曲线的左右焦点分别为，，两条渐近线分别为，，过坐标原点的直线与的左右两支分别交于，两点，为上异于，的动点，下列结论正确的是( )
A. 若以为直径的圆经过，则
B. 若，则或
C. 过点作的垂线，垂足为，若，则
D. 设，的斜率分别为，，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的倍，则满足条件的一条直线的方程为 ．
14.将名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有 种用数字作答
15.若随机变量，且，则展开式中项的系数是 ．
16.盒中装有个大小、质地相同的小球，其中个白球和个黑球两位同学先后轮流不放回摸球，每次摸一球，当摸出第二个黑球时结束游戏，或能判断出第二个黑球被哪位同学摸到时游戏也结束设游戏结束时两位同学摸球的总次数为，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆是的外接圆，圆心为，顶点，，且 ．
在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答．
顶点．
求圆的标准方程
若点为直线上一动点，过点作圆的切线，切点为，求的最小值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，．
证明：
若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
甲、乙两所学校高三年级学生分别有人和人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了名学生的数学成绩，并做出了频数分布统计表如下：
甲校 分组
频数

乙校 分组
频数
计算，的值
若规定考试成绩在内为尖子，现从两校的尖子生中随机抽取人，求恰有人来自乙校的概率
若规定考试成绩在内为优秀，根据以上统计数据完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为两所学校的数学成绩有差异．
甲校 乙校 总计
优秀
非优秀
总计
参考公式：，．
临界值表：
20.本小题分
在一次智力游戏中，甲、乙两人轮流答题，每人每次答一题，游戏开始时由甲先答题，约定：先答对题者为游戏获胜方当游戏分出胜负或两人各答错次时游戏均结束，两人各答错次视为平局已知甲每次答对题的概率均为，乙每次答对题的概率均为，且每次答题互不影响．
求两人共答题不超过次时，甲获胜的概率
求游戏结束时乙答题次数的分布列与数学期望．
21.本小题分
如图，是边长为的正方形，平面，，且．
证明：平面
线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为若存在，求线段的长若不存在，请说明理由．
22.本小题分
如图，椭圆的上顶点为，右顶点为，离心率，、是椭圆上的两个动点，且满足．
求椭圆的标准方程
试判断直线与的斜率之积是否为定值若是，求出该定值若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查回归直线方程，属于基础题．
利用回归直线过样本中心点即可求解．
【解答】
解：由题意，得，
因为回归直线过，
则，解得
2.【答案】
【解析】【分析】
本题空间向量数量积和模，属于基础题．
把所求向量的模平方，代入已知条件即可得到答案．
【解答】
解：因为，，是空间中两两垂直的单位向量，
所以 ，且 ，
所以
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的性质，属于基础题．
根据双曲线的性质求出，根据离心率列出等式求解即可．
【解答】
解：焦点在轴上的双曲线中，，，，
所以，
解得：，则．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查条件概率计算，贝叶斯公式，属于中档题．
可设抽查的人患有癌症，试验结果是阳性，再根据已知得到，，，，最后根据贝叶斯公式计算即可．
【解答】
解：设抽查的人患有癌症，试验结果是阳性，
则表示“抽查的人不患癌症”．
已知，，，，
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查组合的应用与计数原理的运用，属于中档题．
由题意分为两类：第一类是只用两种颜色，第二类是用三种颜色即可解答．
【解答】
解：根据题意，分为两类：
第一类是只用两种颜色则为：种，
第二类是用三种颜色则为：种，
由分类计数原理，共计为种．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查新定义，属于中档题．
根据题意求出蒙日圆方程，根据题意可知点在圆上，联立直线与圆的方程即可求解．
【解答】
解：显然直线为椭圆的两条相互垂直的切线，故点为椭圆对应的蒙日圆上一点
从而易得蒙日圆的方程为，
由题：当为直角时，点在圆上，
联立，解得
所以点的坐标为，
所以．
故选D．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二面角和等体积法的求点面的距离，空间向量共面定理，线面垂直的判定，属于中档题．
根据二面角的平面角的定义得是和折成的二面角的平面角，解三角形求得，由已知得点在平面内，则的最小值为点到平面的距离，运用等体积法可求得答案．
【解答】
解：由已知得，，
所以是和折成的二面角的平面角，
所以，
又，所以，
由余弦定理可得，所以，
因为，其中，，
所以点在平面内，
则的最小值为点到平面的距离，
设点到平面的距离为，
因为，，，，
所以平面，
所以是点到平面的距离，
所以，
又中，，
所以，
所以，
则，
所以，解得，
所以的最小值为．
故选 D
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的方程及性质，直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．
设直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得，根据抛物线的定义结合即可求得的值，根据弦长公式即可得解．
【解答】
解：抛物线的焦点，
由题意设直线的方程为：，
联立，整理得： ，
设，
则，，
由，得，
从而解得：，
则，
又，解得，
所以．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二项分布，相互独立事件的概率乘法公式，残差的概念，条件概率公式，属于中档题．
由已知结合二项分布的方差公式判断；由相互独立事件的概率乘法公式判断；根据相互独立事件的概率及条件概率公式可判断；根据残差的概念判断．
【解答】
解：对于，若，则，
则，故A正确；
对于，由，则，
所以，则事件与相互独立，故B正确；
对于，由事件与相互独立，所以，
所以，故C正确；
对于，由残差的概念知，残差平方和越大，则模型的拟合效果越差，故 D错误；
故选ABC．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系的判断及求参、两条直线平行的判定及应用、两条直线垂直的判定及应用，属于中档题．
根据题意，对各选项逐项验证，即可求出结果．
【解答】
解：对于，由于直线恒过定点，
且曲线是以为圆心，为半径的上半圆，
所以曲线的图象不关于对称，故A错误
对于，当时，，解得，
则，，
则与间的距离为，故B错误
对于，当，得，解得或，故C错误
对于，曲线是以为圆心，为半径的上半圆，
直线恒过定点，
当直线与曲线相切时，，解得，
所以与曲线有个交点，得，故D正确．
故选ABC．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的线性运算，棱锥的体积，直线与平面所成角的向量求法，直线与直线所成角的向量求法，属于中档题．
利用空间向量的线性运算，可判断；，可判断；以直线，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量求法，可判断；利用直线与直线所成角的向量求法，可判断．
【解答】
解：正方体边长为，是线段的中点，是线段上的动点，
，故A正确；
，故B错误；
以直线，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
，
设平面的法向量为，
则，取得，，
直线与平面所成角的正弦值为
，故C正确；
，
，
则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与双曲线位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于较难题．
设出直线的方程，与双曲线联立求出，坐标，由题意求得，即可求得判断选项A，由双曲线的定义判断选项；由向量的线性运算判断选项；求得，即可利用基本不等式求的最小值判断．
【解答】
解：由题可得，，，
所以 ， ，
对于选项A，由题意可知：的斜率存在，设直线的方程为
则，解得：或
则．
若以为直径的圆经过，
则 ，
所以．
则，
所以，故A正确；
对于选项B，因为，且，
故，故B错误；
对于选项C，过且与渐近线垂直的直线方程为，
，解得：，则，
因为，所以三点共线，假设，则为的中点，
此时，
因为，则点不在双曲线上，与题设矛盾，故C错误；
对于选项D，不妨设，，，
由 可得 ，
即 ，
则，故 当且仅当时取等号，
即 的最小值为，故D正确，
故选：．
13.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查求直线方程，属于基础题．
对直线是否过原点进行分类讨论，利用直线的截距式方程即可求解．
【解答】
解：当直线过原点时，直线方程为
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为直线过点，
则，解得，
故直线方程为，即，
综上，直线方程为或
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查排列、组合的应用，分组分配问题，属于中档题．
分析得到可能的分组情况，第一种是：一组人，另一组人，第二种是：一组人，另一组人，第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，第一种有种分配方法，第二种是平均分组只有一种，得答案．
【解答】
解：分两步去做：第一步，先把学生分成两组，有两种分组方法，
第一种是：一组人，另一组人，有种分法；
第二种是：一组人，另一组人，有种分法；
第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，第一种有种分配方法，第二种是平均分组只有一种；
最后，把两步方法数相乘，共有种方法，
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正态曲线的性质以及二项式定理中二项展开式的系数问题，属于中档题型．
首先根据正态分布可知正态曲线的对称轴为，从而可求，然后根据二项式定理求展开式中项的系数，与中项相乘得答案．
【解答】
解：因为随机变量，所以正态曲线的对称轴为，
因为，
所以，
，
又展开式的通项公式为，
令，解得，不合题意，舍去；
令，解得，对应项为，
令，解得，不合题意，舍去；
所以展开式只有中含的项与中含的项的积符合题意，
即展开式中项的系数是．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了概率公式，排列，组合数的综合应用，属于中档题．
由题意若游戏结束时两位同学摸球的总次数为，则第次为黑球，前两次中的一次为黑球或者前次都是白球，即可解答．
【解答】
解：由题意若游戏结束时两位同学摸球的总次数为，则第次为黑球，前两次中的一次为黑球或者前次都是白球，所以．
17.【答案】解：若选设圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆过点，，圆心在直线上，即
圆过点，，圆心在直线上，即，
圆的圆心为，
半径，
圆的标准方程为
若选，是直角三角形，的外接圆圆心为斜边的中点，
设圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由题知，圆心为，半径，
圆的标准方程为
若选，圆心为边的中点，为圆的直径，
设圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由题知，圆心为，半径，
圆的标准方程为
依题意：，
，
又，
，即，
的最小值为．


【解析】本题考查了求圆的标准方程、直线与圆的位置关系和直线与圆的位置关系中的最值问题，是中档题．
若选，易得圆心在直线上和上，可得圆的圆心坐标，再得出半径，可得圆的标准方程；
若选，易得的外接圆圆心为斜边的中点，可得圆心和半径，可得圆的标准方程；
若选，易得为圆的直径，可得圆心和半径，可得圆的标准方程；
依题意：，先得出，可得的最小值．
18.【答案】证明：取中点，连接、，
因为，所以，
因为底面是菱形，，所以为正三角形，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以；
解：，
为异面直线和所成角或其补角，则，
又，
由余弦定理，，得，
在中，，
，
由可知，，，故，，两两垂直，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
，，，，，，，
设平面的法向量，
则，即，令，得，
因为平面，故平面的法向量，
设平面和平面所成角为，则，
则，
故平面和平面所成角的正弦值为．
【解析】本题考查了直线与平面垂直的判断，考查了利用空间向量求平面与平面成角的计算问题，属于中档题．
证明垂直于所在平面即可；
先证明，以为坐标原点，分別以，，所在直线为轴轴轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量计算平面与平面成角的余弦值，由同角三角函数关系得正弦值即可．
19.【答案】解：从甲校抽取人，
从乙校抽取人，故，．
由表知甲校尖子生人，乙校尖子生人，共人，抽取人，恰有人来自乙校的概率
表格填写如图，
甲校 乙校 总计
优秀
非优秀
总计
，
故不能在犯错误的概率不超过的前提下认为两个学校的数学成绩有差异．
【解析】本题主要考查独立性检验的应用，考查古典概型的概率的计算，分层抽样，属于中档题．由频数与总数关系可得，的值，先求出从甲、乙校各抽取的人数，再减去已知人数即得；
由古典概型的概率求解；
按公式代入计算得，对照临界值表可知不能在犯错误的概率不超过的前提下认为两个学校的数学成绩有差异．
20.【答案】解：计，分别表示甲、乙在第次答题答对，
则，，，，，
记“甲获胜”为事件，则
的所有可能为：，，，，
，
，
，
，
综上所述，的分布列为：
数学期望次．
【解析】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式、离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，是中档题．
计，分别表示甲、乙在第次答题答对，记“甲获胜”为事件，则，计算即可；
的所有可能为：，，，，得出对应概率，可得的分布列与数学期望．
21.【答案】证明：设点是线段上靠近的三等分点，连接，．
，，
又，四边形是平行四边形，
，，
在正方形中，，所以，，
四边形是平行四边形，
则，平面，平面，
平面
解：平面，，平面，
，，又，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
则，，，
设，，，
故，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
点到平面的距离为，
，解得或舍
，，
当时，点到平面的距离为．
【解析】本题考查线面平行的判定，点面距离，属于中档题．
先证明，利用线面平行的判定定理解决；
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，先求平面的法向量为，再利用求解．
22.【答案】解：依题意：，解得，
故椭圆的标准方程为
直线与的斜率之积是定值．
理由如下：
依题意：，，
，
又，
，
设直线的方程为，、两点的坐标分别为，，
联立，得，
则，
，
，
直线与的斜率之积是定值，定值为．
【解析】本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定值问题，属于较难题．
根据椭圆的性质求出、的值，从而可得椭圆方程；
设直线的方程为，与椭圆的方程联立，由韦达定理，代入斜率公式计算可得是定值．
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