2023-2024学年安徽省阜阳市第三中学高一第一学期期末考试数学试卷(含解析）

2023-2024学年安徽省阜阳市第三中学高一第一学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合等于( )
A. B. C. D.
2.设是定义域为的函数，命题“，”，则命题的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.“角为第一象限角”是“且”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.，，，则( )
A. B. C. D.
5.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知幂函数的图象不经过第二象限，则( )
A. B. 或 C. 或 D.
7.若函数，，的值域为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.筒车是一种水利灌溉工具如图所示，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是
( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 的最小值是
D. 的最大值是
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的图象关于轴对称 B. 的单调递增区间为
C. 的最小值为 D.
11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
12.已知函数╔╔f(x)= \ begin{cases}|\log_{0.5}x|,0
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ．
14.已知，则 ．
15.如图，正六边形的边长为，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则，，围成的阴影部分的面积为 ．
16.已知函数，若存在，使得方程有两个不同的实数根，，且满足，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
若，求的值．
18.本小题分
设全集，集合．
当命题，为真命题时，实数的取值集合为，求
已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
设函数，已知函数的图象经过点
求函数的解析式
求函数在上的单调递增区间．
20.本小题分
为了丰富市民业余生活，推进美丽阜阳建设，市政府计划将一圆心角为，半径为米的扇形空地如图改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分组成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地，城建部门给出以下两种方案：
方案让矩形的一个端点位于上，其余端点位于，上．
方案让矩形的两个端点位于上，其余端点位于，上．
请你先选择一种方案，并根据此方案求出活动场地面积的最大值．
21.本小题分
函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为关于的奇函数，给定函数，关于中心对称．
求的值
已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
22.本小题分
对于函数．
若方程恰有一个实根，求实数的取值范围
设，若对任意，，时，满足，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合中的元素，属于简单题．
根据题意，逐一讨论即可．
【解答】
解：当，时，当，时，当，或，时，
所以故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】本题考查存在量词命题的否定，属于基础题．
直接根据存在量词命题的否定是全称量词命题得到答案．
【解答】解：命题“，”的否定为“，”，
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查任意角的三角函数符号及充分必要条件的判定，属于基础题．
根据任意角三角函数符号判定即可．
【解答】
解：若角在第一象限角，则，，
若，则在第一象限或第三象限．
若，则在第一象限或第二象限或轴正半轴上，所以角在第一象限
综上所述：角在第一象限是且的充要条件．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的单调性，指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
根据三角函数的单调性，对数函数和指数函数的单调性即可得出，，的大小关系．
【解答】
解：，
，，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】本题考查了函数的图象的识别，属于基础题．
先用奇偶性排除，再用，排除．
【解答】解：的定义域为，，
因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C，不满足
又，所以选项B不满足，符合题意．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查幂函数的概念与性质，属于基础题．
根据幂函数的概念求出，再由函数图象不经过第二象限得出即可．
【解答】
解：因为是幂函数，所以，解得或，当时，，显然其图象不经过第二象限，满足题意
当时，，显然其图象经过第二象限，不满足题意综上，．
故选D．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用三角函数的性质求最值的方法．属于基础题．
利用 可得 ，再由三角函数图像性质可得 ，解不等式即可求得 的取值范围．
【解答】
解：根据题意可知若 ，则可得 ；
显然当 时，可得 ，
由 的值域为 ，利用三角函数图像性质可得 ，
解得 ，即 的取值范围是 ．
故选D
8.【答案】
【解析】【分析】本题考查了三角函数的实际应用问题，解题的关键是正确理解题意，属于中档题．
首先做出辅助线，然后结合几何体的特征进行计算即可求得直线与水面的夹角．
【解答】解：如图，
过作直线与水面平行，
过 作 于过 作 于．
设 ．
则 ，
所以 ，
整理可得 ，
则 ．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的基本性质、利用函数的单调性求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用特殊取值进行排除，可得，的正误，根据不等式性质，可得的正误，利用常数分离法整理函数，整体还原后研究函数的单调性，可得的正误．
【解答】
解：对于，若，，时，，即不成立，故A错误
对于，若，对不等式两边同时平方则，故B正确
对于，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，显然取等条件不成立，故的最小值不可能是，故C错误
对于，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故D正确．
故选BD．
10.【答案】
【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性，单调性和最值，是一般题．
根据对勾函数性质及函数奇偶性及单调性即可得到答案．
【解答】解：对于，，所以是偶函数，图象关于轴对称；正确
对于，，当时，根据对勾函数是减函数，不正确
对于，因为，当时等号成立，故的最小值为，正确
对于，因为当时，，根据对勾函数是增函数
又因为，所以 ，正确．
故选ACD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的图象与性质，属于中档题．
由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，即可得出结论．
【解答】解：根据函数的部分图象，
可得，，所以，
利用五点法作图，可得，可得，
所以，可得函数的最小正周期为，故A正确；
令，求得，为最大值，故函数的图象关于直线对称，故B正确；
当，，函数没有单调性，故C错误；
把的图象向右平移个单位可得的图象，故D正确，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是分段函数的图象，对数式的化简运算，二次函数的性质，函数的值域，不等式的性质，图象的综合应用，余弦函数的性质，属于较难题．
作出函数的图象，由图象易判断出的取值范围判断，根据可得，由对数式的运算可得的值判断，由余弦函数的性质可得，关于直线对称，得到，即可，结合二次函数的性质可得的范围判断，由，可得，由不等式的性质可得的范围判断，
【解答】
解：作出函数╔╔f(x)= \ begin{cases}|\log_{0.5}x|,0
显然结合图象，要使有四个不等的实根，则，A正确；
由图可知，，，则
由，可得，即，
故，B错误；
由图可得，，
令，则，
则，关于直线对称，所以，故，
则，
又，则，
故，C正确；
当时，，令，则，
所以，又由图象可知，，同增同减，
所以，故D错误．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查奇函数的基本性质，属于基础题．
根据奇函数定义将化为，代入解析式即可．
【解答】
解：因为奇函数满足当时，，
所以．
14.【答案】
【解析】【分析】
由已知求得，再由二倍角公式求得．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及万能公式的应用，是基础题．
【解答】
解：由，解得，
所以．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查扇形面积，属于中档题．
连接、，则阴影面积分为两个一样的弓形面积和一个正三角形面积，分别求解然后相加即可．
【解答】
解：连接、，则，
故为等边三角形，则三角形面积．
一个弓形面积扇形面积
则阴影面积
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数及方程根的问题，属于中档题．
先通过对题目的分析，令，将题目简单化，并转化为等价形式再根据函数与的图象有两个交点，数形结合可判断最后结合图形分析得出与图象的交点纵坐标与之间的关系：，建立不等式求解即可得出答案．
【解答】
解：令，得，
则存在，使得方程的两个实数根之和为等价于存在，
使得方程的两个实数根之和为，
也等价于存在，使得函数与的图象的两个交点的横坐标之和为．
由函数与的图象有两个交点易知，．
作出函数与的图象如图所示．
设两个图象交点的横坐标分别为，，则．
由图象易知这两个交点关于二次函数的图象的对称轴对称．
设，与图象的交点为，
则点为与图象的交点，且
联立与，得，
则．
所以，解得，
即实数的取值范围是
故答案为
17.【答案】解：原式．
，，
所以．
【解析】本题主要考查指数对数运算，诱导公式、同角三角函数基本关系式等，属于基础题．
利用指数对数运算法则即可；
先利用诱导公式求出，然后利用同角三角函数基本关系式即可．
18.【答案】解：依题意，方程有解，
则恒成立，解得：，
所以集合．
又因为，
所以，
所以．
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以真包含于，
由知，则集合．
又，
则，解得：，
所以实数的取值范围为：．
【解析】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，集合间的包含关系，属于基础题．依题意，可知方程有解，由可求出集合，然后解分式不等式求出集合，再利用交集的运算求解即可；
由已知可确定真包含于，根据集合的包含关系，列出不等式求解即可．
19.【答案】解：结合题意可得：，
所以，，
因为函数的图象经过点，
所以，即，
所以，，即，，
因为，所以当时，，满足题意，
故函数的解析式为．
由问可得，
令，因为，所以，
由的图象可知：
在上单调递增，
所以，解得：，所以在单调递增
在单调递增，
所以，解得：，所以在单调递增
函数在上的单调递增区间为，
【解析】本题考查函数的图象与性质，涉及二倍角公式及其应用，两角和与差的三角公式，属于一般题．
利用三角恒等变换化简可得，根据题意函数的图象经过点，可得，可得解析式；
令，因为，所以，由的单调递增区间得出的单调递增区间即可．
20.【答案】解：选择方案，
如图，矩形内接于扇形，
在中，设，则，，
在中，
所以，
，
设矩形的面积为，
则
由，得，
所以当，即时，平方米
因此，当时，活动场地面积取得最大值，最大值为平方米．
选择方案，
如图，矩形内接于扇形，
过点作的垂线分别交，于，，
由对称性可知，平分，
在中，设，则，，
在中，，
所以，
设矩形的面积为，
则
，
由，得，
所以当，即时，平方米．
因此，当时，活动场地面积取得最大值，最大值为平方米．
【解析】本题考查三角函数的应用，属于中档题．
方案，如图所示，设，将，都用表示，再根据矩形的面积公式结合三角恒等变换化简，再根据三角函数得性质即可得出结论
方案，如图所示，过点作的垂线分别交，于，，设，将，都用表示，从而可将矩形的面积表示成的函数，最后由三角函数的性质即可得解．
21.【答案】解：的图象存在对称中心
则的图象关于原点成中心对称，
因为的定义域为，所以恒成立，
即恒成立，解得．
因为在区间上单调递减，值域为，即最大值为，
又，，，
所以，，
又，，
当，即时，在区间单调递减，
所以，解得，舍去
当，即，在单调递增，单调递减，
所以，解得，所以，
当，即，在单调递增，
所以，解得，舍，
综上所述：

【解析】本题考查了函数的对称性、单调性及函数的值域问题，属于中档题．
根据恒成立，即可得解；
由题意得，，又，，分、、三种情况分析，从而可得出答案．
22.【答案】解：方程，
则
所以，即，
当时方程有唯一解，满足，所以符合条件
当时方程有两相等解，满足，所以符合条件
当且时方程有两不等解，，
若满足，则，
若满足，则，
所以当时方程恰有一个实根
综上所述，实数的取值范围为，．
因为在都是减函数，在都是增函数，
则在是减函数，
当，时，满足，
则，
所以，即对任意恒成立，
设，，
因为，则函数在上单调递增，
则，
所以．
故实数的取值范围为．
【解析】本题考查复合函数的单调性、函数零点与方程的关系，属于较难题．
根据方程恰有个实数根分类讨论可得；
根据复合函数的单调性得到在上是减函数，恒成立等价于，研究关于的函数即可得出结果．
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