2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试数学试题（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“，”是“”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则
A. B. C. D.
4.如图，在平行四边形中，，，是边上一点，且，则
A. B. C. D.
5.若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是
A. B.
C. D.
6.已知，，若命题“，或”为真命题，则的取值范围是
A. B. C. D.
7.已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为
A. B. C. D.
8.若且，则可以记；若且，则可以记实数，且，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知关于的不等式的解集为，或，则
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集是
10.设正实数，满足，则
( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，函数的图象由图象向右平移个单位长度得到，则下列关于函数的说法正确的有
( )
A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递增 D. 在上单调递减
12.定义在上的函数满足，为偶函数，，函数满足，若与恰有个交点，从左至右依次为，，，，则下列说法正确的是
A. 为奇函数 B. 为的一个周期
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数的图象过点，则________．
14.已知向量，满足，，则 ．
15.若，则的值为__________．
16.已知，，分别是函数与的零点，若，则的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算；
．
18.本小题分
解下列不等式：
；
．
19.本小题分
如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转圈，筒车的轴心距离水面的高度为设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：在水面下则为负数，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间单位：之间的关系为
求，，，的值；
盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
20.本小题分
已知函数的最小正周期为，
求函数的单调递增区间；
设，求不等式的解集．
21.本小题分
已知函数，对于任意的，，都有，当时，，且．
判断的奇偶性和单调性；
设函数，若方程有个不同的解，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数是偶函数．
求的值；
设函数，若不等式对任意的恒成立．求实数的取值范围；
设，当为何值时，关于的方程有实根？
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查交集及其运算，涉及一元二次不等式的解法，函数的定义域，属于基础题．
解集合中的不等式，求中函数的定义域，可得集合，，再根据交集的运算即可得到结论．
【解答】
解：由 ，得，
由 ，得
则，，
所以．
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．
根据互推，即可求出结果．
【解答】
解：当 时， ，满足充分性，
当 时， 或 ，不满足必要性，
所以 是 的充分不必要条件．
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
由任意角的三角函数的定义可得的值．
【解答】解：在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的加法运算与数乘运算，是基础题．
结合图形利用平面向量的加法运算与数乘运算，计算即可．
【解答】
解：平行四边形中，，，
则，
又是边上一点，且，
则．
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的图象，涉及知识点有指数函数的性质，对数函数的图象和性质等．
根据函数图象过点，可得出，根据函数是偶函数，关于轴对称，结合对数函数的单调性，可得答案．
【解答】解：由于函数，且的图象过点，
，即，
则，
函数的图象关于轴对称．
时，，在上是减函数且，
因此根据对称性，的图象应大致为选项B
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了命题的真假和不等式恒成立问题，属于中档题．
易知当时，，由于题中条件可得，对恒成立，对进行分类讨论，综合得出的取值范围．
【解答】
解：当时，，
由于题中条件可得，对恒成立，
当时，显然不符合条件；
当时，的个根为，，
和大前提取，交集结果为，
故答案为．
7.【答案】
【解析】【分析】本题考查函数的零点和单调性的应用，属于中档题．
设 ，则 ，方程等价为，因为函数单调，所以值唯一，所以 令 即可得出答案．
【解答】解：设 ，则 ，
方程等价为，
令，则，满足方程，
函数单调递减，
值唯一， ，
由 解得，
故函数的零点为．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二倍角公式，新定义，属于中档题．
设 ， ，则 且 ，由 可得 ，则 ，代入化简即可．
【解答】
解：因为 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
由 可得 ，
所以 ，
由可得 ，
所以 ．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用一元二次不等式的解集求参数，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于中档题．
根据已知条件判断出的符号，由韦达定理得到 、与的等量关系，可判断出、选项的正误，通过解不等式可判断、选项的正误，综合可得出结论．
【解答】
解：由关于的不等式解集为或，知和是方程的两个实根，且，故A正确；
根据根与系数的关系知：，，，，，
选项B：不等式化简为，解得：，故B不正确；
选项C：，故C不正确；
选项D：不等式化简为：解得：，故D正确；故选AD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于基础题．
结合基本不等式分别检验各选项即可判断．
【解答】
解：因为正实数，满足，
所以，当且仅当时取等号，A错误；
，当且仅当时取等号，
所以，B正确；
由，
所以，当且仅当时取等号，C正确；
，当且仅当时取等号，D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了的图象变换和性质，属于一般题．
由条件利用的图象变换规律求得所得函数的解析式，再根据正弦型三角函数的性质得出结论．
【解答】解：
将函数的图象向右平移个单位长度，
所得图象对应的函数为，
对于，当，可得，正确；
对于，当时，，正确；
对于，当时，，递增，故正确；
对于，当时，，递增，故错误，
故选ABC．
12.【答案】
【解析】【分析】本题考查了抽象函数及其应用，属于中档题．
由已知可推得，关于直线对称以及关于点中心对称，进而得出函数的周期为，即可得出项和项；根据的对称性推导，可判断项；由已知可知与有共同的对称中心，进而可判断．
【解答】为偶函数，则函数的图象关于直线对称，
，则函数的图象关于点中心对称，
即．
选项，令 ，则，即，所以为奇函数，A正确；
选项，，所以函数是周期函数，为其一个周期，
，，显然，故B错误；
选项，，所以函数的图象关于直线对称，因此函数与的交点也关于对称，则，故C正确；
选项，，故D正确．故选ACD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．
由题意利用幂函数的定义，求得和的值，可得结论．
【解答】
解：依题意，，解得，则，
将代入得．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的数量积的运算，属于基础题．
根据向量的模和向量的数量积计算即可
【解答】
解：因为，，
所以，
所以，
则，
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查诱导公式、二倍角余弦公式的应用，属于基础题．
利用二倍角余弦公式把要求的式子化为，再利用诱导公式化为，将条件代入运算求得结果．
【解答】
解：由，
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数零点所在区间，属于较难题．
先根据题干判断出与 的图象关于直线对称，画出图像得到．
【解析】
解：依题意，，分别是函数与的零点，
则，分别为、 与图象交点的横坐标，
而与 的图象关于直线对称，如图所示：
，
．
17.【答案】解：原式；
原式

【解析】本题考查对数和指数幂的运算，属于中档题．
根据指数幂的运算律计算，即可得到答案
根据对数的运算律计算，即可得到答案．
18.【答案】解：移项得，通分得，
可转化为且，
解得，不等式解集为．
令
当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
综上所述：不等式解集为．

【解析】本题主要考查了绝对值不等式和分式不等式的问题．
原不等式可化为，则且，即可求得结果．
化为分段函数，分段求解即可．
19.【答案】解：依题意，设函数表达式为，
水轮半径为，所以振幅，
水轮每分钟按逆时针方向转动圈，故角速度为，
水轮上点从水中浮现时开始计时，所以，且，
解得，
所以函数表达式为，
故，，，；
令，
可得．
盛水筒出水后至少约就可到达最高点．

【解析】本题考查了函数的图象与应用问题，理解函数解析式中参数的物理意义，是解题的关键．
水轮半径为，所以振幅，水轮每分钟按逆时针方向转动圈故角速度为，，水轮上点从水中浮现时开始计时，所以， ，平衡位置为，所以即可得到表达式．
令，即可求得答案．
20.【答案】解：由题意，函数 ，
因为的最小正周期，所以，
所以函数，
令，，解得，，
所以函数单调递增区间为；
因为，所以，
所以，，
解得，，
因为，当时，，
当时，，
所以原不等式的解集为

【解析】考查三角函数的单调性、周期性等性质，属于中档题．
利用三角恒等变换化简 的解析式，再利用正弦函数的周期性求得的值，从而确定 的解析式，再根据正弦函数的单调性求出函数 的单调递减区间．
利用正弦函数的图象和性质，求出的解集．
21.【答案】解：令，代入可得，
令，代入，可得，
所以，可得函数为奇函数；
任取，，且，，
因为，即，
令，，则，可得，
又因为时，，且，所以，
所以，即，所以函数是上的减函数．
，即，
所以
，
令，即，
因为函数是上的减函数，所以，即，
令
则函数的图象，如图所示，
结合图象，可得：当时，函数有个零点，
即实数的取值范围为．

【解析】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性的判断，难点是利用定义解决实际问题的能力，属于较难题．
根据定义，判断函数的单调性，判断奇偶性；
得出，令即，根据单调性可得 ，，根据函数的图像及性质即可判断．
22.【答案】解：由函数是定义域在上的偶函数，
则对于，都有，
即，
即对于，都有，得．
结合可得，
则
，
令，
由在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，得，
则不等式对任意的恒成立等价于在上恒成立，
所以即可，
又，
由对勾函数的性质可得当时，取得最小值，
所以的最小值为，即，
所以实数的取值范围为．
令，，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值，
所以，则，
令，则，
则原问题转化为关于的方程的根的个数，
对于有解，令，则表示开口向上的抛物线，
，
当时，或，此时对称轴，
函数 在有唯一零点；
当且在有唯一零点时，
，可得：或；
当在有两个不相等零点时，
可得：．
综上：或．

【解析】本题主要考查函数性质的应用，不等式的解法，不等式恒成立问题，函数的零点与方程根的关系，属于难题．
利用偶函数的定义求出 的值；
原不等式可转化为 在 上恒成立，即求 的最小值即可；
利用换元法令 ， ，将原问题转化为关于 的一元二次方程 的解的个数即可．
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