江苏省盐城市大丰区新丰中学等五校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题(含解析）
文档属性
| 名称 | 江苏省盐城市大丰区新丰中学等五校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题(含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 58.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-19 17:44:07 | ||
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文档简介
2023-2024学年江苏省盐城市大丰区新丰中学等五校高二上学期期末联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
3.以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为
A. B.
C. D.
4.设是等差数列的前项和，已知，，则( )
A. B. C. D.
5.两圆与的公切线有
( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
6.已知函数的导数为，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点，，，共面的是( )
A. B.
C. D.
8.若存在，，使得直线与，的图象均相切，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在等比数列中，，，则的公比可能为
( )
A. B. C. D.
10.关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是
( )
A. 实轴长相等 B. 离心率相等
C. 焦距相等 D. 焦点到渐近线的距离相等
11.已知函数，则
( )
A. 的极值点为 B. 的极大值为
C. 的最大值为 D. 只有个零点
12.已知抛物线的焦点坐标为，过点的直线与抛物线相交于，两点，点在抛物线上．则
( )
A.
B. 当轴时，
C. 为定值
D. 若，则直线的斜率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，，且，则实数 ．
14.设两个等差数列和的前项和分别为和，且，则 ．
15.已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
16.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于，两点，，，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知点，，，是的垂心．
求点的坐标
求的外接圆的方程．
18.本小题分
已知椭圆的长轴长为，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为．
求椭圆的标准方程
倾斜角为的直线过椭圆的左焦点并交椭圆于，两点为坐标原点，求的面积．
19.本小题分
在数列中，已知，．
求数列的通项公式
设，求数列的前项和．
20.本小题分
已知函数．
若的图象在点处的切线经过点，求
，为的极值点，若，求实数的取值范围．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．
求双曲线的标准方程
若点在直线上，点在双曲线上，且焦点在以线段为直径的圆上，分别记直线，的斜率为，，求的值．
22.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性
当时，若为函数的正零点，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角，属于基础题．
先求直线斜率，再求倾斜角．
【解答】
解：设直线的倾斜角为，斜率为，
则，
又，
所以．
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列性质，属于基础题，
利用等差数列性质直接求解即可．
【解答】
解：依题意，根据等差数列的性质，，
解得，
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的方程的求解，两平行线间的距离，属于基础题．
【解答】
解：平行线间的距离为，
，圆的方程为，故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由于是等差数列的前项和，可得，，，，成等差数列．代入即可得出．
【解答】
解：由等差数列前项和的性质可知，，，，，成等差数列，
所以，得，
则，所以．
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系及判定和两圆的公切线的条数及方程确定，利用圆与圆的位置关系得圆与圆两圆相交，再利用两圆的公切线的条数得结论．
【解答】
解：因为圆，它的圆心坐标，半径为；
圆，它的圆心坐标，半径为；
因为，
所以两个圆相交，
所以两个圆的公切线有条．
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题重点考查导数的运算，属容易题．
【解答】
解：因为，所以，
解得，所以，故．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量共面定理的应用，属于基础题．
先证明结论：若，且，则，，，共面，然后检验各选项即可求解．
【解答】
解：已知，，三点不共线，对平面外的任一点，
下面证明结论：若，且，则，，，共面，
因为，
所以
，
所以，
所以，，，共面，
逐一检验，，，选项，只有符合．
故选D．
8.【答案】
【解析】解：设与图象上的切点分别为，，
则过这两点处的切线方程分别为，，
则，，
，
设，则，
设，则，
为单调递增函数，又，
可得时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，可得实数的取值范围是．
故选：．
设，图象上的切点分别为，，可得出过这两点处的切线方程，联立得，构造函数，利用导数判断出的单调性可得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为在等比数列中，，，
设等比数列的公比为，则，所以．
故选：．
根据等比数列的通项公式即可求解．
本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】本题考查双曲线的基本概念和简单性质，属于较易题．
根据双曲线的概念性质逐项判断即可得出结果．
【解答】解：
双曲线 中，实轴长为 ，虚轴长为 ，焦距长为 ，右焦点为 ，
所以离心率 ，渐近线方程为 ，不妨取 即 ，
所以焦点到渐近线的距离为 ，
双曲线 中实轴长为 ，虚轴长为 ，焦距长为 ，右焦点为 ，
所以离心率 ，渐近线方程为 ，不妨取 即 ，
所以焦点到渐近线的距离为 ，
综上，两条双曲线只有焦距相等，
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】
本题重点考查利用导数研究函数的性质，属中档题．
【解答】
解：因为，且，所以当时，为增函数，
当时，为减函数，所以为函数的极大值点，
为的极大值，且为的最大值，所以不正确，BC正确
因为，且当时，，当时，，所以D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
将点代入可判断；求出焦点可判断；设直线的方程为，将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断；由向量的坐标表示以及韦达定理可判断．
【解答】
解：对于选项A，将点代入抛物线方程，可得，故选项A错误；
对于选项B，焦点，点在抛物线上，可得，故选项B正确；
对于选项C，设点，的坐标分别为，，
易得直线的斜率存在，则设直线的方程为，
联立方程
消去后整理为，
可得，
有，故选项C正确；
对于选项D，由选项结合，有，
可得，由有解得，故选项D正确．
故选BCD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标运算，空间向量垂直的坐标表示，属于基础题．
利用向量坐标运算法则求出 ，，再由，能求出即可．
【解答】
解：，，
， ，
，
，
解得：．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的前项和及等差数列的性质，属于中档题；
运用等差数列前项和公式，结合等差数列性质求解即可．
【解答】
解：由题意可得．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，令，，根据函数的单调性求出的范围即可．
【解答】
解：，
若在递增，
则在恒成立，
即在上恒成立，
令，
在上恒成立，
所以在上单调递增，，
所以，解得，即实数的取值范围是
故答案为：，．
16.【答案】
【解析】【分析】本题考查椭圆的性质的应用及勾股定理的应用，属于中档题．
设椭圆的焦距为，，，由椭圆的定义和余弦定理得出、，可得椭圆的离心率．
【解答】解：设椭圆的焦距为，，，
有，，，
在中，由余弦定理有，
有，可得，，，
有．
在中，由余弦定理有，
可得．
17.【答案】因为点，，，是的垂心．
所以，所以，
故直线的方程为，即，
又，所在直线与轴垂直，故直线的方程为，
联立直线与的方程得点的坐标为
边的中垂线方程为，
因为，所以边的中垂线的斜率等于，
因为边的中点为，
故AC边的中垂线的方程为：，
所以联立两条中垂线得
所以圆心坐标为，半径，
则的外接圆的标准方程为，
【解析】本题考查了两条直线的交点坐标，圆的标准方程 的求法，是中档题．
先求得直线与的方程，故可求得点的坐标；
由、边的中垂线的交点可得圆心坐标，再求得圆的半径，故得的外接圆的方程．
18.【答案】解：因为，，，所以，，
椭圆的标准方程
依题意，椭圆的左焦点，直线的方程为，
把直线：代入椭圆，得：，
设，，，，，
点到直线的距离为，
的面积．
【解析】【分析】本题考查椭圆的性质，标准方程及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
由，，求出，，再由即可求解；
求出直线方程，设，，直线方程与椭圆方程联立，由韦达定理，弦长公式，求出和到直线的距离，由面积公式即可求解．
19.【答案】解：因为，
所以，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
，，
由可知，
，
所以．
【解析】本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式以及利用裂项相消求和，属于中档题．将，变形可得，数列是首项为，公比为的等比数列，由此确定通项公式；
由可知，利用裂项相消求和得到所求．
20.【答案】解：函数，求导得，
于是函数的图象在点处的切线方程为，
即，而切线过点，
因此，整理得，解得或，
或．
由知，方程，即有两个不等实根，，则，解得，
且，于是
，
由，得，解得，因此，
实数的取值范围是．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及切线方程、方程思想方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解作答．
利用极值点的意义，结合韦达定理、根的判别式列出不等式，求解作答．
21.【答案】解：由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得，
又由点在双曲线上，代入双曲线的方程，有，
联立方程解得
故双曲线的标准方程为
设点的坐标为，设点的坐标为，
由点在双曲线上，有，
又由点在以线段为直径的圆上，可得，
由，有，，有，可得，
又由，
，
有，
故的值为．
【解析】本题考查了双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系及其应用，属于中档题．
根据条件列出关于，的方程组，求出，的值，即可得到双曲线的方程；
设点的坐标为，设点的坐标为，由点在以线段为直径的圆上，可得，有，可得，最后代入求值．
22.【答案】解：函数的定义域为
，
当即时，，函数单调递增，增区间为，没有减区间
当时，由，，
可得函数的减区间为，
增区间为，
当时，由，，
可得函数的减区间为，增区间为
证明：当时，由及函数的减区间为，增区间为，
可知等价于
又由，等价于证明，
又由，
令，有，
可得
，
令，
有，
可得函数单调递减，有，
可得当时，．
故有，可得得证．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和零点问题，以及与函数有关的不等式证明，属于较难题．
求导之后根据导函数的符号判断函数的单调性，注意分类讨论思想的应用；
当时，由等价于又由，等价于证明，令，有，可得，令，利用导数研究函数的单调性证明．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
3.以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为
A. B.
C. D.
4.设是等差数列的前项和，已知，，则( )
A. B. C. D.
5.两圆与的公切线有
( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
6.已知函数的导数为，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点，，，共面的是( )
A. B.
C. D.
8.若存在，，使得直线与，的图象均相切，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在等比数列中，，，则的公比可能为
( )
A. B. C. D.
10.关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是
( )
A. 实轴长相等 B. 离心率相等
C. 焦距相等 D. 焦点到渐近线的距离相等
11.已知函数，则
( )
A. 的极值点为 B. 的极大值为
C. 的最大值为 D. 只有个零点
12.已知抛物线的焦点坐标为，过点的直线与抛物线相交于，两点，点在抛物线上．则
( )
A.
B. 当轴时，
C. 为定值
D. 若，则直线的斜率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，，且，则实数 ．
14.设两个等差数列和的前项和分别为和，且，则 ．
15.已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
16.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于，两点，，，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知点，，，是的垂心．
求点的坐标
求的外接圆的方程．
18.本小题分
已知椭圆的长轴长为，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为．
求椭圆的标准方程
倾斜角为的直线过椭圆的左焦点并交椭圆于，两点为坐标原点，求的面积．
19.本小题分
在数列中，已知，．
求数列的通项公式
设，求数列的前项和．
20.本小题分
已知函数．
若的图象在点处的切线经过点，求
，为的极值点，若，求实数的取值范围．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．
求双曲线的标准方程
若点在直线上，点在双曲线上，且焦点在以线段为直径的圆上，分别记直线，的斜率为，，求的值．
22.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性
当时，若为函数的正零点，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角，属于基础题．
先求直线斜率，再求倾斜角．
【解答】
解：设直线的倾斜角为，斜率为，
则，
又，
所以．
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列性质，属于基础题，
利用等差数列性质直接求解即可．
【解答】
解：依题意，根据等差数列的性质，，
解得，
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的方程的求解，两平行线间的距离，属于基础题．
【解答】
解：平行线间的距离为，
，圆的方程为，故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由于是等差数列的前项和，可得，，，，成等差数列．代入即可得出．
【解答】
解：由等差数列前项和的性质可知，，，，，成等差数列，
所以，得，
则，所以．
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系及判定和两圆的公切线的条数及方程确定，利用圆与圆的位置关系得圆与圆两圆相交，再利用两圆的公切线的条数得结论．
【解答】
解：因为圆，它的圆心坐标，半径为；
圆，它的圆心坐标，半径为；
因为，
所以两个圆相交，
所以两个圆的公切线有条．
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题重点考查导数的运算，属容易题．
【解答】
解：因为，所以，
解得，所以，故．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量共面定理的应用，属于基础题．
先证明结论：若，且，则，，，共面，然后检验各选项即可求解．
【解答】
解：已知，，三点不共线，对平面外的任一点，
下面证明结论：若，且，则，，，共面，
因为，
所以
，
所以，
所以，，，共面，
逐一检验，，，选项，只有符合．
故选D．
8.【答案】
【解析】解：设与图象上的切点分别为，，
则过这两点处的切线方程分别为，，
则，，
，
设，则，
设，则，
为单调递增函数，又，
可得时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，可得实数的取值范围是．
故选：．
设，图象上的切点分别为，，可得出过这两点处的切线方程，联立得，构造函数，利用导数判断出的单调性可得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为在等比数列中，，，
设等比数列的公比为，则，所以．
故选：．
根据等比数列的通项公式即可求解．
本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】本题考查双曲线的基本概念和简单性质，属于较易题．
根据双曲线的概念性质逐项判断即可得出结果．
【解答】解：
双曲线 中，实轴长为 ，虚轴长为 ，焦距长为 ，右焦点为 ，
所以离心率 ，渐近线方程为 ，不妨取 即 ，
所以焦点到渐近线的距离为 ，
双曲线 中实轴长为 ，虚轴长为 ，焦距长为 ，右焦点为 ，
所以离心率 ，渐近线方程为 ，不妨取 即 ，
所以焦点到渐近线的距离为 ，
综上，两条双曲线只有焦距相等，
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】
本题重点考查利用导数研究函数的性质，属中档题．
【解答】
解：因为，且，所以当时，为增函数，
当时，为减函数，所以为函数的极大值点，
为的极大值，且为的最大值，所以不正确，BC正确
因为，且当时，，当时，，所以D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
将点代入可判断；求出焦点可判断；设直线的方程为，将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断；由向量的坐标表示以及韦达定理可判断．
【解答】
解：对于选项A，将点代入抛物线方程，可得，故选项A错误；
对于选项B，焦点，点在抛物线上，可得，故选项B正确；
对于选项C，设点，的坐标分别为，，
易得直线的斜率存在，则设直线的方程为，
联立方程
消去后整理为，
可得，
有，故选项C正确；
对于选项D，由选项结合，有，
可得，由有解得，故选项D正确．
故选BCD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标运算，空间向量垂直的坐标表示，属于基础题．
利用向量坐标运算法则求出 ，，再由，能求出即可．
【解答】
解：，，
， ，
，
，
解得：．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的前项和及等差数列的性质，属于中档题；
运用等差数列前项和公式，结合等差数列性质求解即可．
【解答】
解：由题意可得．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，令，，根据函数的单调性求出的范围即可．
【解答】
解：，
若在递增，
则在恒成立，
即在上恒成立，
令，
在上恒成立，
所以在上单调递增，，
所以，解得，即实数的取值范围是
故答案为：，．
16.【答案】
【解析】【分析】本题考查椭圆的性质的应用及勾股定理的应用，属于中档题．
设椭圆的焦距为，，，由椭圆的定义和余弦定理得出、，可得椭圆的离心率．
【解答】解：设椭圆的焦距为，，，
有，，，
在中，由余弦定理有，
有，可得，，，
有．
在中，由余弦定理有，
可得．
17.【答案】因为点，，，是的垂心．
所以，所以，
故直线的方程为，即，
又，所在直线与轴垂直，故直线的方程为，
联立直线与的方程得点的坐标为
边的中垂线方程为，
因为，所以边的中垂线的斜率等于，
因为边的中点为，
故AC边的中垂线的方程为：，
所以联立两条中垂线得
所以圆心坐标为，半径，
则的外接圆的标准方程为，
【解析】本题考查了两条直线的交点坐标，圆的标准方程 的求法，是中档题．
先求得直线与的方程，故可求得点的坐标；
由、边的中垂线的交点可得圆心坐标，再求得圆的半径，故得的外接圆的方程．
18.【答案】解：因为，，，所以，，
椭圆的标准方程
依题意，椭圆的左焦点，直线的方程为，
把直线：代入椭圆，得：，
设，，，，，
点到直线的距离为，
的面积．
【解析】【分析】本题考查椭圆的性质，标准方程及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
由，，求出，，再由即可求解；
求出直线方程，设，，直线方程与椭圆方程联立，由韦达定理，弦长公式，求出和到直线的距离，由面积公式即可求解．
19.【答案】解：因为，
所以，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
，，
由可知，
，
所以．
【解析】本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式以及利用裂项相消求和，属于中档题．将，变形可得，数列是首项为，公比为的等比数列，由此确定通项公式；
由可知，利用裂项相消求和得到所求．
20.【答案】解：函数，求导得，
于是函数的图象在点处的切线方程为，
即，而切线过点，
因此，整理得，解得或，
或．
由知，方程，即有两个不等实根，，则，解得，
且，于是
，
由，得，解得，因此，
实数的取值范围是．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及切线方程、方程思想方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解作答．
利用极值点的意义，结合韦达定理、根的判别式列出不等式，求解作答．
21.【答案】解：由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得，
又由点在双曲线上，代入双曲线的方程，有，
联立方程解得
故双曲线的标准方程为
设点的坐标为，设点的坐标为，
由点在双曲线上，有，
又由点在以线段为直径的圆上，可得，
由，有，，有，可得，
又由，
，
有，
故的值为．
【解析】本题考查了双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系及其应用，属于中档题．
根据条件列出关于，的方程组，求出，的值，即可得到双曲线的方程；
设点的坐标为，设点的坐标为，由点在以线段为直径的圆上，可得，有，可得，最后代入求值．
22.【答案】解：函数的定义域为
，
当即时，，函数单调递增，增区间为，没有减区间
当时，由，，
可得函数的减区间为，
增区间为，
当时，由，，
可得函数的减区间为，增区间为
证明：当时，由及函数的减区间为，增区间为，
可知等价于
又由，等价于证明，
又由，
令，有，
可得
，
令，
有，
可得函数单调递减，有，
可得当时，．
故有，可得得证．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和零点问题，以及与函数有关的不等式证明，属于较难题．
求导之后根据导函数的符号判断函数的单调性，注意分类讨论思想的应用；
当时，由等价于又由，等价于证明，令，有，可得，令，利用导数研究函数的单调性证明．
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