2023-2024学年安徽省六安市高三上学期期末教学质量检测数学试题(含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年安徽省六安市高三上学期期末教学质量检测数学试题(含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 132.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-18 20:37:43 | ||
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文档简介
2023-2024学年安徽省六安市高三上学期期末教学质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数的共轭复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为
( )
A. B. C. D.
3.已知向量，向量，则与的夹角大小为
( )
A. B. C. D.
4.等差数列的公差不为，其前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
5.函数，若，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.圆：上一点关于轴的对称点为，点，为圆上的两点，且满足，则直线的斜率为
( )
A. B. C. D.
8.某种生命体在生长一天后会分裂成个生命体和个生命体，个生命体生长一天后可以分裂成个生命体和个生命体，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂．假设从某个生命体的生长开始计算，记表示第天生命体的个数，表示第天生命体的个数，则，，则下列结论中正确的是
( )
A. B. 数列为递增数列
C. D. 若为等比数列，则
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
10.地震释放的能量与地震震级之间的关系式为，年月日我国台湾地区发生的级地震释放的能量为，年月日伊朗西北发生的级地震释放的能量为，年月日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的级地震释放的能量为，下列说法正确的是
( )
A. 约为的倍 B. 超过的倍
C. 超过的倍 D. 低于的倍
11.已知函数的导函数为，对任意的正数，都满足，则下列结论正确的是
( )
A. B.
C. D.
12.在棱长为的正方体中，为棱上一点，满足为定值，记点的个数为，则下列说法正确的是
( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.抛物线的焦点与轴上一点的连线的中点恰在抛物线上，则线段的长为__________．
14.如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积为__________．
15.已知函数的最小正周期为，将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则在上的值域为__________．
16.已知是双曲线：的右焦点，圆：与双曲线的渐近线在第一象限交于点，点在双曲线上，，则双曲线的渐近线方程为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列的前项和为，．
求证：数列为等比数列；
当时，设，求数列的前项和．
18.本小题分
在中，内角，，所对应的边分别为，，．
若，，求角的值；
若，且是和的等差中项，求的值．
19.本小题分
已知函数
若函数的图象在处的切线与轴平行，求函数的图象在处的切线方程；
讨论函数的单调性．
20.本小题分
如图，在三棱锥中，，垂足为点，平面，垂足在上，点在上，且．
证明：平面；
若，，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
平面内一动点到直线：的距离，是它到定点的距离的倍．
求动点的轨迹的方程；
经过点的直线不与轴重合与轨迹相交于，两点，过点作轴平行线交直线于点，求证：直线过定点．
22.本小题分
已知函数．
求函数的极值；
设函数有两个极值点，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的交集及其运算及一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
由题解不等式可得集合，，再根据交集的运算即可求解．
【解答】
解：因为，，
所以．
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
根据复数四则运算法则化简，即可根据复数定义得到虚部．
【解答】
解：由已知得，
，
则复数的虚部为．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题．
根据数量积的夹角公式进行求解，再结合平面向量夹角范围即可得到答案．
【解答】
解： ，
因为，所以，
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的前项和公式及等差数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．
由，根据等差数列的通项公式化简可得的值．
【解答】
解：设等差数列的公差为，所以，
则有，
即，
又，所以，
所以．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的单调性，是基础题．
由得，又因为在上单调递增，可得的取值范围．
【解答】
解：因为，
所以由得，
又因为在上单调递增，
所以，解得．
即实数的取值范围是．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系式，属于基础题．
由已知得，结合同角三角函数的基本关系式，化简整理即可得解．
【解答】
解：因为，所以，
则，即，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线斜率的求解，属于基础题．
有条件可得，根据即可得解．
【解答】
解：由知，
所以，
而，
．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查根据数列的递推公式求通项公式，属于中档题．
有条件可得，，进而可得，，即可判断选项正误．
【解答】
解：由题意可得，，
作差得，
则，
又，解得，，
故可判断选项B正确．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】【分析】
略
【解答】
略
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的几何性质，是基础题．
由抛物线定义知：点到焦点的距离等于它到准线的的距离，可得，再由，可得结果．
【解答】解：由抛物线定义知：点到焦点的距离等于它到准线的的距离，
所以，
则．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆台、圆锥的表面积，是基础题．
根据圆台、圆锥的结构特征求解即可．
【解答】解：作，，，为垂足，，，，，
所以该几何体的表面积为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了余弦函数性质，是基础题．
先由三角恒等变换和三角函数图像变换得，再由余弦函数性质可得在上的值域．
【解答】解：，
由，得，
则，所以，
由，得，
所以在上的值域为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的几何性质，是中档题．
易得点为的中点，再得出坐标，可得，由双曲线定义得出、关系，可得双曲线的渐近线方程．
【解答】解：由得到点为的中点，记为的左焦点，连接，
所以，
由，解得，
所以，
由双曲线定义得到，得，
所以双曲线的渐近线方程为．
17.【答案】证明：当时，．
由得，
两式作差得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
解：当时，由得，
则，
．
【解析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、递推关系、“裂项求和”方法、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由得，两式作差得，即可证明数列为等比数列；
当时，由得，再得出，根据裂项相消法可得．
18.【答案】解：由正弦定理得，
又，所以，
而，所以或；
由是和的等差中项得，
由余弦定理得，
化简得，即，得或，
因为，所以，，
由余弦定理得．
【解析】本题考查了利用正余弦定理解三角形，是中档题．
由正弦定理得，又，得出，可得角的值；
由余弦定理得，，再由余弦定理得出的值．
19.【答案】解：，
由题意，解得，
所以，，．
在处的切线方程为，
．
当时，，在上单调递增．
当时，由得，在上的变化情况如下表：
， ，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由上表可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，增区间为，无减区间
当时，增区间为和，减区间为
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，切线方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
由，求得的值，再求直线的斜率及切线方程即可，
依题意，然后分和，再讨论单调性即可．
20.【答案】解：由平面，平面，得，
又，而平面，平面，，
所以平面，
又平面，
所以．
再由平面，平面得，，
又，所以，即．
又因为平面，平面，，
所以平面．
由条件知，所以．
在中，，所以．
由知∽，所以，得，可知为的中点．
过点作交于点，易得，，两两垂直，
分别以、、分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示
由题意可知，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
所以平面的一个法向量，
所以，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题考查了线面垂直的判定和直线与平面所成角的向量求法，是中档题．
先得出平面，所以，再证明，由线面垂直的判定即可得证；
建立空间直角坐标系，得出平面的法向量，利用空间向量求解即可．
21.【答案】解：由题意，设动点的坐标为，
则，
平方整理得，
所以点的轨迹方程为．
由题意，设直线的方程为，，，则．
将代入得，
所以，，
所以
因为直线的方程为，
令，则
，
因此，直线过定点
【解析】本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系和椭圆中的定点问题，是较难题．
由题意，设动点的坐标为，则，可得动点的轨迹的方程；
设直线的方程为，与椭圆联立，得出直线的方程，化简可得直线过定点．
22.【答案】解：，
若，则，时，时，
所以，无极小值，
若，则，在上单调递增，无极值．
若，由得或，
时，时，时，
所以，．
若，由得或，
时，时，时，
所以，，
综上，当时，，无极小值
当时，，
当时，无极值
当时，，．
由知函数有两个极值点时，
所以，
因为，所以，
所以，
即
【解析】本题考查利用导数研究函数的极值以及导数法证明不等式，属于较难题．
求导数，结合函数定义域对进行分类讨论可得函数的极值情况；
由得出的范围，表示出和，利用作差法比较大小．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数的共轭复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为
( )
A. B. C. D.
3.已知向量，向量，则与的夹角大小为
( )
A. B. C. D.
4.等差数列的公差不为，其前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
5.函数，若，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.圆：上一点关于轴的对称点为，点，为圆上的两点，且满足，则直线的斜率为
( )
A. B. C. D.
8.某种生命体在生长一天后会分裂成个生命体和个生命体，个生命体生长一天后可以分裂成个生命体和个生命体，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂．假设从某个生命体的生长开始计算，记表示第天生命体的个数，表示第天生命体的个数，则，，则下列结论中正确的是
( )
A. B. 数列为递增数列
C. D. 若为等比数列，则
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
10.地震释放的能量与地震震级之间的关系式为，年月日我国台湾地区发生的级地震释放的能量为，年月日伊朗西北发生的级地震释放的能量为，年月日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的级地震释放的能量为，下列说法正确的是
( )
A. 约为的倍 B. 超过的倍
C. 超过的倍 D. 低于的倍
11.已知函数的导函数为，对任意的正数，都满足，则下列结论正确的是
( )
A. B.
C. D.
12.在棱长为的正方体中，为棱上一点，满足为定值，记点的个数为，则下列说法正确的是
( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.抛物线的焦点与轴上一点的连线的中点恰在抛物线上，则线段的长为__________．
14.如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积为__________．
15.已知函数的最小正周期为，将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则在上的值域为__________．
16.已知是双曲线：的右焦点，圆：与双曲线的渐近线在第一象限交于点，点在双曲线上，，则双曲线的渐近线方程为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列的前项和为，．
求证：数列为等比数列；
当时，设，求数列的前项和．
18.本小题分
在中，内角，，所对应的边分别为，，．
若，，求角的值；
若，且是和的等差中项，求的值．
19.本小题分
已知函数
若函数的图象在处的切线与轴平行，求函数的图象在处的切线方程；
讨论函数的单调性．
20.本小题分
如图，在三棱锥中，，垂足为点，平面，垂足在上，点在上，且．
证明：平面；
若，，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
平面内一动点到直线：的距离，是它到定点的距离的倍．
求动点的轨迹的方程；
经过点的直线不与轴重合与轨迹相交于，两点，过点作轴平行线交直线于点，求证：直线过定点．
22.本小题分
已知函数．
求函数的极值；
设函数有两个极值点，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的交集及其运算及一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
由题解不等式可得集合，，再根据交集的运算即可求解．
【解答】
解：因为，，
所以．
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
根据复数四则运算法则化简，即可根据复数定义得到虚部．
【解答】
解：由已知得，
，
则复数的虚部为．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题．
根据数量积的夹角公式进行求解，再结合平面向量夹角范围即可得到答案．
【解答】
解： ，
因为，所以，
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的前项和公式及等差数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．
由，根据等差数列的通项公式化简可得的值．
【解答】
解：设等差数列的公差为，所以，
则有，
即，
又，所以，
所以．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的单调性，是基础题．
由得，又因为在上单调递增，可得的取值范围．
【解答】
解：因为，
所以由得，
又因为在上单调递增，
所以，解得．
即实数的取值范围是．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系式，属于基础题．
由已知得，结合同角三角函数的基本关系式，化简整理即可得解．
【解答】
解：因为，所以，
则，即，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线斜率的求解，属于基础题．
有条件可得，根据即可得解．
【解答】
解：由知，
所以，
而，
．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查根据数列的递推公式求通项公式，属于中档题．
有条件可得，，进而可得，，即可判断选项正误．
【解答】
解：由题意可得，，
作差得，
则，
又，解得，，
故可判断选项B正确．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】【分析】
略
【解答】
略
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的几何性质，是基础题．
由抛物线定义知：点到焦点的距离等于它到准线的的距离，可得，再由，可得结果．
【解答】解：由抛物线定义知：点到焦点的距离等于它到准线的的距离，
所以，
则．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆台、圆锥的表面积，是基础题．
根据圆台、圆锥的结构特征求解即可．
【解答】解：作，，，为垂足，，，，，
所以该几何体的表面积为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了余弦函数性质，是基础题．
先由三角恒等变换和三角函数图像变换得，再由余弦函数性质可得在上的值域．
【解答】解：，
由，得，
则，所以，
由，得，
所以在上的值域为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的几何性质，是中档题．
易得点为的中点，再得出坐标，可得，由双曲线定义得出、关系，可得双曲线的渐近线方程．
【解答】解：由得到点为的中点，记为的左焦点，连接，
所以，
由，解得，
所以，
由双曲线定义得到，得，
所以双曲线的渐近线方程为．
17.【答案】证明：当时，．
由得，
两式作差得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
解：当时，由得，
则，
．
【解析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、递推关系、“裂项求和”方法、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由得，两式作差得，即可证明数列为等比数列；
当时，由得，再得出，根据裂项相消法可得．
18.【答案】解：由正弦定理得，
又，所以，
而，所以或；
由是和的等差中项得，
由余弦定理得，
化简得，即，得或，
因为，所以，，
由余弦定理得．
【解析】本题考查了利用正余弦定理解三角形，是中档题．
由正弦定理得，又，得出，可得角的值；
由余弦定理得，，再由余弦定理得出的值．
19.【答案】解：，
由题意，解得，
所以，，．
在处的切线方程为，
．
当时，，在上单调递增．
当时，由得，在上的变化情况如下表：
， ，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由上表可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，增区间为，无减区间
当时，增区间为和，减区间为
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，切线方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
由，求得的值，再求直线的斜率及切线方程即可，
依题意，然后分和，再讨论单调性即可．
20.【答案】解：由平面，平面，得，
又，而平面，平面，，
所以平面，
又平面，
所以．
再由平面，平面得，，
又，所以，即．
又因为平面，平面，，
所以平面．
由条件知，所以．
在中，，所以．
由知∽，所以，得，可知为的中点．
过点作交于点，易得，，两两垂直，
分别以、、分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示
由题意可知，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
所以平面的一个法向量，
所以，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题考查了线面垂直的判定和直线与平面所成角的向量求法，是中档题．
先得出平面，所以，再证明，由线面垂直的判定即可得证；
建立空间直角坐标系，得出平面的法向量，利用空间向量求解即可．
21.【答案】解：由题意，设动点的坐标为，
则，
平方整理得，
所以点的轨迹方程为．
由题意，设直线的方程为，，，则．
将代入得，
所以，，
所以
因为直线的方程为，
令，则
，
因此，直线过定点
【解析】本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系和椭圆中的定点问题，是较难题．
由题意，设动点的坐标为，则，可得动点的轨迹的方程；
设直线的方程为，与椭圆联立，得出直线的方程，化简可得直线过定点．
22.【答案】解：，
若，则，时，时，
所以，无极小值，
若，则，在上单调递增，无极值．
若，由得或，
时，时，时，
所以，．
若，由得或，
时，时，时，
所以，，
综上，当时，，无极小值
当时，，
当时，无极值
当时，，．
由知函数有两个极值点时，
所以，
因为，所以，
所以，
即
【解析】本题考查利用导数研究函数的极值以及导数法证明不等式，属于较难题．
求导数，结合函数定义域对进行分类讨论可得函数的极值情况；
由得出的范围，表示出和，利用作差法比较大小．
第1页，共1页